素イデアルによる局所化の交わり

$a/b\in\bigcap_\pe\oo_\pe$ $(a, b\in\oo, b\neq 0)$とし, $\oo$のイデアル
$$ \aaa=\{x\in\oo\mid xa\in b\oo\} $$
を考える. $\pe\in\Spec\oo$を任意にとる(実際には極大イデアルだけを考えれば十分). このとき, $a/b\in\bigcap_\pe\oo_\pe\subseteq\oo_\pe$だから, $a/b=c/s$ $(c\in\oo, s\in\oo\setminus\pe)$と表せる. すると, $sa=bc\in b\oo$より$s\in\aaa\setminus\pe$となるので, $\aaa\not\subseteq\pe$が従う. 以上より, $\aaa$を含む$\oo$の極大イデアルが存在しないので, $\aaa=\oo$となる. すると, $1\in\oo$より$a\in b\oo$, したがって$a/b\in\oo$となる.