素イデアルによる局所化の交わり

$a/b\in \bigcap _{\mathfrak{p}}{\mathcal{o}}_{\mathfrak{p}}$ $(a,b\in \mathcal{o},b\ne 0)$とし, $\mathcal{o}$のイデアル
$$\mathfrak{a}=\{x\in \mathcal{o}\mid xa\in b\mathcal{o}\}$$
を考える. $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}\mathcal{o}$を任意にとる(実際には極大イデアルだけを考えれば十分). このとき, $a/b\in \bigcap _{\mathfrak{p}}{\mathcal{o}}_{\mathfrak{p}}\subseteq {\mathcal{o}}_{\mathfrak{p}}$だから, $a/b=c/s$ $(c\in \mathcal{o},s\in \mathcal{o}\setminus \mathfrak{p})$と表せる. すると, $sa=bc\in b\mathcal{o}$より$s\in \mathfrak{a}\setminus \mathfrak{p}$となるので, $\mathfrak{a}⊈\mathfrak{p}$が従う. 以上より, $\mathfrak{a}$を含む$\mathcal{o}$の極大イデアルが存在しないので, $\mathfrak{a}=\mathcal{o}$となる. すると, $1\in \mathcal{o}$より$a\in b\mathcal{o}$, したがって$a/b\in \mathcal{o}$となる.