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大学数学基礎解説
1次元Noether環でPIDではない例
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$$\newcommand{Ast}[0]{\operatorname{Ast}}
\newcommand{Aut}[0]{\operatorname{Aut}}
\newcommand{floor}[1]{\lfloor #1 \rfloor}
\newcommand{Hom}[0]{\operatorname{Hom}}
\newcommand{Im}[0]{\operatorname{Im}}
\newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}}
\newcommand{Max}[0]{\operatorname{Max}}
\newcommand{Spec}[0]{\operatorname{Spec}}
$$
$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$は$1$次元のNoether環であるが, PIDではない.
$A = \mathbb{Z}, B = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$とする. このとき, $B$は$A$の整拡大だから$\dim{B} = \dim{A} = 1$である. しかし, $6 = 2 \cdot 3 = (1 - \sqrt{-5}) (1 + \sqrt{-5})$であり, $B / (2), B / (3)$はどちらも明らかに整域で$1 \pm \sqrt{-5}$は$2, 3$どちらの倍数でもないから$B$はUFDではなく, それゆえPIDでもない.
投稿日：3月12日
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