1次元Noether環でPIDではない例

$A=\mathbb{Z},B=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$とする. このとき, $B$は$A$の整拡大だから$\dim B=\dim A=1$である. しかし, $6=2\cdot 3=(1-\sqrt{-5})(1+\sqrt{-5})$であり, $B/(2),B/(3)$はどちらも明らかに整域で$1\pm \sqrt{-5}$は$2,3$どちらの倍数でもないから$B$はUFDではなく, それゆえPIDでもない.