多様体の向き付け
多様体と可微分構造の定義
$M$を第二可算公理を充たすHausdorff空間，$\{U_j\}_{j\in J}$を$M$の開被覆，$\{V_j\}_{j\in J}$を${\R}^n(n\ge 0)$の開集合族，$\{\vphi_j\}_{j\in J}$を同相写像$\vphi_j\colon U_j\to V_j$の族とする．このとき，組$(M,\mathcal{S})$を$n$次元位相多様体という．また，
$\mathcal{S}:=\{(U_j,\vphi_j)\}_{j\in J}$を$M$の座標近傍系，
$(U_j,\vphi_j)$を局所チャート，
$U_j$を局所座標近傍，
$\vphi_j$を局所座標
という．局所チャート$(U,\vphi)$に対し，$\vphi=(x^1,⋯,x^n )$によって定まる$U$上の関数$x^i$を局所座標関数という．
組$(M,\mathcal{S})$を位相多様体，$\mathcal{S}=\{(U_j,\phi_j)\}_{j\in J}$，$r\ge0$ とする．$U_i\cap U_j\ne\emptyset$のとき，座標変換関数
$$\phi_j\circ\phi_i^{-1}|_{\phi_i\left(U_i\cap U_j\right)}\ \colon\R^n\supset\phi_i\left(U_i\cap\ U_j\right)\to\phi_j\left(U_i\cap\ U_j\right)\subset\R^n$$
が$C^r$級であるならば，$\calS$は$C^r$級座標近傍系という．特に$r\ge 1$のとき可微分座標系という．
組$(M,\mathcal{S})$を位相多様体，$r\ge0$とする．また$\scrA_M$を$M$の$C^r$級座標近傍系の全体とする．$\scrA_M$上の関係$\sim$を，$\calS,\calS'\in \scrA_M$に対し，
$$\calS\sim\calS'\ :\lra \ \calS\cup\calS'\in\scrA_M$$
で定めるとこれは同値関係である．$\calD=[\calS]\in\scrA_M/\sim$を$M$上の$C^r$構造($C^r$-structure)，特に$r\ge 1$のとき可微分構造(differentiable structure)という．$M$と$C^r$構造$\calD\in \scrA_M/\sim$の組$(M,\calD)$を$C^r$多様体($C^r$-manifold)，特に$r\ge 1$のとき可微分多様体(differentiable manifold)という．という．
$C^0$多様体$(r=0)$は位相多様体である．また$C^\infty$多様体$(r=\infty)$を滑らかな多様体，$C^\omega$多様体$(r=\omega)$を解析的多様体という．
可微分多様体の向き付け
ここでは$n\ge 1$とする．
$(M,\calD)$を$n$次元$C^\infty$多様体，$\calD=[\calS],\calS=\{(U_j,\phi_j)\}_{j\in J}$とする．$x\in U_i\cap U_j$に対して，$a_{ji}(x)$を
$$\phi_j\circ\phi_i^{-1}\colon \phi_i(U_i\cap U_j)\to \R^n$$
の$\phi_i(x)$におけるJacobi行列とする；
$$a_{ji}(x):=D(\phi_j\circ\phi_i^{-1})_{\phi_i(x)},\ x\in U_i\cap U_j$$
このとき$x\in U_i\cap U_j\cap U_k$に対して，
\begin{align}
a_{kj}(x)a_{ji}(x)
&=D(\phi_k\circ\phi_j^{-1})_{\phi_j(x)}D(\phi_j\circ\phi_i^{-1})_{\phi_i(x)}\\
&=D(\phi_k\circ\phi_j^{-1}\circ\phi_j\circ\phi_i^{-1})_{\phi_i(x)}\\
&=D(\phi_k\circ\phi_i^{-1})_{\phi_i(x)}\\
&=a_{ki}(x)
\end{align}
である．ここで，$k=i$とおけば，
$$a_{ij}(x)a_{ji}(x)=a_{ii}(x)=D(\id)_{\phi_i(x)}=E_n$$
$$a_{ji}(x)a_{ij}(x)=a_{jj}(x)=D(\id)_{\phi_j(x)}=E_n$$
より$a_{ji}(x)^{-1}=a_{ij}(x)$で$a_{ji}(x)\in\GL(n,\R)$．よって，
$$a_{ji}\colon U_i\cap U_j\to\GL(n,\R),\ x\mapsto a_{ji}(x)$$
なる$C^\infty$写像(多様体間の$C^\infty$写像はここでは定義していないが座標を介して$C^\infty$級になっていることとして定義される．)を得る．
可微分座標系$\calS=\{(U_j,\phi_j)\}_{j\in J}\in\scrA_M$は，
$$\all i,j\in J,\all x\in U_i\cap U_j,\ \det{a_{ij}(x)}>0$$
を充たすとき，向き付けられている(oriented)という．
向き付けられている可微分座標系の全体を$\scrO_M\;(\subset\scrA_M)$とする．このとき，$\scrO_M$上の関係$\approx$を，
$\calS=\{(U_j,\phi_j)\}_{j\in J},\calS'=\{(U'_k,\phi'_k)\}_{k\in K}\in \scrO_M$に対し，
\begin{align}
\calS\approx\calS'\
&:\lra\ \calS\cup\calS'\in\scrO_M\\
&\lra\ \all (j,k)\in J\times K,\all x\in U_j\cap U'_k,\ \det{D(\phi'_k\circ\phi_j^{-1})_{\phi_j(x)}}>0
\end{align}
で定めるとこれは同値関係である．
反射律と対称律は明らか．
$$\calS=\{(U_i,\phi_i)\}_{i\in I},\calS'=\{(U'_j,\phi'_j)\}_{j\in J},\calS''=\{(U''_k,\phi''_k)\}_{k\in K}\in \scrO_M$$
に対し，$\calS\approx\calS',\calS'\approx\calS''$とする．
$(i,k)\in I\times K,x\in U_i\cap U''_k$に対し，$x\in U'_j$なる$j\in J$を選択すると，
\begin{align}
\det{D(\phi''_k\circ\phi_i^{-1})_{\phi_i(x)}}
&=\det{D(\phi''_k\circ{\phi'}_j^{-1}\circ\phi'_j\circ\phi_i^{-1})_{\phi_i(x)}}\\
&=\det{D(\phi''_k\circ{\phi'}_j^{-1})_{\phi'_j(x)}D(\phi'_j\circ\phi_i^{-1})_{\phi_i(x)}}\\
&=\det{D(\phi''_k\circ{\phi'}_j^{-1})_{\phi'_j(x)}}\det{D(\phi'_j\circ\phi_i^{-1})_{\phi_i(x)}}>0
\end{align}
より$\calS\approx\calS''$．
$M$が連結と仮定すると，
$$\calS \not\approx\calS' \lra\ \all (i,j)\in J\times K,\all x\in U_i\cap U'_j,\ \det{D(\phi'_j\circ\phi_i^{-1})_{\phi_i(x)}}<0$$
であるから，$\scrO_M\ne\emptyset$なら$\#(\scrO_M/\approx)=2$である．
$M$が非連結なら成り立つとは限らない．実際，
$$M=\R^2\amalg\R^2=(\R^2\times\{0\})\cup(\R^2\times\{1\})$$
$$U_0=\R^2\times\{0\},\ U_1=\R^2\times\{1\},\ \phi_0:U_0\to\R^2,\ (x,y,0)\mapsto (x,y),$$
$$\phi_1:U_1\to\R^2,\ (x,y,1)\mapsto (x,y),\ \phi'_1:U_1\to\R^2,\ (x,y,1)\mapsto (x,-y),$$
$$\calS=\{(U_0,\phi_0),(U_1,\phi_1)\},\ \calS'=\{(U_0,\phi_0),(U_1,\phi'_1)\}$$
とすると$\calS,\calS'\in\scrO_M$である．このとき$U_0$上で変換関数のJacobianは正だが，$U_1$上では負なので，
$$\all (j,k),\all x,\det{D(\phi'_k\circ\phi_j^{-1})_{\phi_j(x)}}<0$$
と
$$\all (j,k),\all x,\det{D(\phi'_k\circ\phi_j^{-1})_{\phi_j(x)}}>0$$
はどちらも成立しない．
$\scrO_M\ne\emptyset$のとき，$M$は向き付け可能(orientable)といい，$\scrO_M/\approx$の元を$M$の向き付け(orientation)という．向き付け可能な$M$の向き付けを1つ固定し付随させて考えるとき，$M$は向き付けられている(oriented)という．
$S^n$の例
$n\ge 1$とする．$n$次元球面
$$S^n=\{x\in\R^{n+1}\mid\|x\|=1 \}$$
は向き付け可能である．
まず立体射影を考えるために，$x^{+}=(0,\cd,0,1),x^{-}=(0,\cd,0,-1)\in S^n$，$U^{+}=S^n\setminus \{x^{+}\},U^{-}=S^n\setminus \{x^{-}\}$とし，
$$\phi^{+}\colon U^{+}\to \R^{n},\ \phi^{+}(x):=\br{\fr{x_1}{1-x_{n+1}},\cd,\fr{x_n}{1-x_{n+1}}}$$
$$\phi^{-}\colon U^{-}\to \R^{n},\ \phi^{-}(x):=\br{\fr{x_1}{1+x_{n+1}},\cd,\fr{x_n}{1+x_{n+1}}}$$
と定めると，$\calS:=\{(U^{+},\phi^{+}),(U^{-},\phi^{-})\}\in\scrA_{S^n}$だが，
$$\det{D(\phi^{-}\circ (\phi^{+})^{-1})_y}<0\ \ (y\in \phi^{+}(U^{+}\cap U^{-}))$$
であり（下で補足），$\calS\notin\scrO_{S^n}$，つまり向き付けられていない．そこで
$$R\colon \R^n\to\R^n,\ R(y_1,y_2,\cd,y_n)=(-y_1,y_2,\cdots,y_n)$$
と定め，
$$\til{\phi}^{-}:=R\circ\phi^{-} \colon U^{-}\to \R^{n}$$
とすれば，$\det{DR}=-1$から，
\begin{align}
\det{D(\til{\phi}^{-}\circ (\phi^{+})^{-1})_y}
&=\det{D(R\circ\phi^{-}\circ (\phi^{+})^{-1})_y}\\
&=\det{DR}\det{D(\phi^{-}\circ (\phi^{+})^{-1})_y}\\
&=-\det{D(\phi^{-}\circ (\phi^{+})^{-1})}_y>0
\end{align}
よって$\calS':=\{(U^{+},\phi^{+}),(U^{-},\til{\phi}^{-})\}\in\scrO_{S^n}$で，$\scrO_{S^n}\ne\emptyset.$
(補足) $y=(y_1,\cd,y_n)\in \phi^{+}(U^{+}\cap U^{-})\subset\R^n$に対し，
$$\phi^{-}\circ (\phi^{+})^{-1}(y)=\br{\fr{y_1}{\|y\|^2},\cd,\fr{y_n}{\|y\|^2}}$$
であるから，
$$D(\phi^{-}\circ (\phi^{+})^{-1})_y
=\br{\frac{\delta_{ij}\|y\|^2 - 2y_i y_j}{\|y\|^4}}_{(i,j)}
=\fr{1}{\|y\|^2}\br{E_n-\fr{2y^\top y}{\|y\|^2}}$$
ここで$p=(1,0,\cd,0)\in U^{+}\cap U^{-}$とすると，$\phi^{+}(p)=(1,0,\cd,0)$で，
$$\det{D(\phi^{-}\circ (\phi^{+})^{-1})_{\phi^{+}(p)}}=\det{
\begin{pmatrix}
-1 \\
& 1 & \\
& & \ddots \\
& & & 1
\end{pmatrix}
}=-1$$
ここで，
$$f:=\det{D(\phi^{-}\circ (\phi^{+})^{-1})}\colon U^{+}\cap U^{-}\to\R$$
は連続であり，$U^{+}\cap U^{-}$は連結なので像$f(U^{+}\cap U^{-})\subset\R$も連結．$\calS\in\scrA_{S^n}$より$0\notin f(U^{+}\cap U^{-})$で，先の計算から$-1\in f(U^{+}\cap U^{-})$なので， $f(U^{+}\cap U^{-})\subset (-\infty,0)$，つまり$f<0$を得る．
(補足の補足) 具体的にJacobianを計算することもできる．
$\dps P=\fr{y^\top y}{\|y\|^2}$（直線$\Span\{y\}$への正射影を表す行列．）とおくと，
$$yP=\fr{y(y^\top y)}{\|y\|^2}=\fr{\|y\|^2}{\|y\|^2}y=y,\ \ y(E_n-2P)=y-2y=-y$$
また$z\in(\Span\{y\})^{\bot}$に対し，
$$zP=\fr{z(y^\top y)}{\|y\|^2}=\fr{\yam{z,y}}{\|y\|^2}y=0,\ \ z(E_n-2P)=z$$
なので$E_n-2P$は固有値$-1$（固有空間は$\Span\{y\}$），固有値$1$（固有空間は$(\Span\{y\})^{\bot}$）を持つ．
$$\dim{\Span\{y\}}=1,\dim{(\Span\{y\})^{\bot}}=n-1$$
なので，
\begin{align}
\det{D(\phi^{-}\circ (\phi^{+})^{-1})(y)}
&=\det\br{\fr{1}{\|y\|^2}(E_n-2P)}\\
&=\br{\fr{1}{\|y\|^2}}^{n}\cdot (-1)\cdot 1^{n-1}\\
&=-\fr{1}{\|y\|^{2n}}<0
\end{align}
向き付け不可能な例
$[0,1]^2$上の関係$\sim$を
$$(t,s)\sim(t',s')\ \lra\ (t,s)=(t',s')\ \text{or}\ [\{t,t'\}=\{0,1\},s=1-s']$$
で定めると，$M=[0,1]^2/\sim$の開核$M^\circ$は2次元$C^\infty$多様体であり，これをMöbiusの帯という．
Möbiusの帯は向き付け不可能な多様体のもっとも重要な例の一つである．
