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京大数学科院試過去問解答例(2015専門01)

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ここでは京大数学教室・RIMSの修士課程の院試の2015専門01の解答例を解説していきます(但し解説の都合上少し問題を改変しています)。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2015専門01

非可換群Gが次の条件

  1. Gの相異なる非自明な正規部分群N1,N2をどのように取っても、包含関係N1N2は成り立たない。

次の問いに答えなさい。

  1. Gが相異なる非自明な部分群N1,N2を持つとする。このときG=N1×N2を示しなさい。
  2. Gの非自明な部分群の個数は2個以下であることを示しなさい。
  1. まず二つの非自明な正規部分群N1,N2を取ったとき、N1N2も正規部分群なので(i)よりN1N2={1}である。次にN1N2で生成される部分群も正規部分群なので条件(i)よりG=N1N2である。またN1及びN2の正規性から
    [N1:N2]=N1N2={1}
    であるからN1の元とN2の元は可換である。以上からG=N1×N2が従う。
  2. 初めにGが相異なる非自明な正規部分群を2つ以上持つとし、これらのうち2つをN1,N2する。N1及びN2は非自明な正規部分群を持たない。ここでNGの非自明な正規部分群とする。ここでN1の部分群
    H1={n1N1|bN2 s.t. (n1,b)N}
    N1の正規部分群であるから、N1,{1}のいずれかになる。後者のときN={1},N2が従う。またH2を同様に定義したとき、これもN2,{1}のいずれかになり、後者のときN={1},N1が従う。以下
    H1=N1
    H2=N2
    として矛盾を導く。ここでNN1=NN2={1}であることを考慮すると、ある群同型f:N1N2が存在して
    N={(n,f(n))|nN1}
    である。このときnを固定すると、N1の中心は自明であるから、jN1
    inni
    を満たすように取ることができる。このとき
    (i,1)(n,f(n))(i1,1)=(ini1,f(n))N
    であるからNの非正規性が従い矛盾する。以上から条件(i)を満たすG=N1×N2の部分群はN1,N2のみである。以上で結果が示せた。
投稿日:2024102
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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