ここでは京大数学教室・RIMSの修士課程の院試の2015専門01の解答例を解説していきます(但し解説の都合上少し問題を改変しています)。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
2015専門01
非可換群が次の条件
- の相異なる非自明な正規部分群をどのように取っても、包含関係は成り立たない。
次の問いに答えなさい。
- が相異なる非自明な部分群を持つとする。このときを示しなさい。
- の非自明な部分群の個数は個以下であることを示しなさい。
- まず二つの非自明な正規部分群を取ったとき、も正規部分群なので(i)よりである。次にとで生成される部分群も正規部分群なので条件(i)よりである。また及びの正規性から
であるからの元との元は可換である。以上からが従う。 - 初めにが相異なる非自明な正規部分群をつ以上持つとし、これらのうちつをする。及びは非自明な正規部分群を持たない。ここでをの非自明な正規部分群とする。ここでの部分群
はの正規部分群であるから、のいずれかになる。後者のときが従う。またを同様に定義したとき、これものいずれかになり、後者のときが従う。以下
として矛盾を導く。ここでであることを考慮すると、ある群同型が存在して
である。このときを固定すると、の中心は自明であるから、を
を満たすように取ることができる。このとき
であるからの非正規性が従い矛盾する。以上から条件(i)を満たすの部分群はのみである。以上で結果が示せた。