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大学数学基礎解説
文献あり

複素解析で現れる被覆写像と、道及びホモトピーの持ち上げ定理の具体例:穴あき平面のループのホモトピーと回転数の関係

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次の複素解析からの二つの問題を扱います。
ここでは、閉曲線といえば、区分的$C^1$閉曲線のこととします。

一点穴あき平面内のループと回転数

$\mathbb{C}^*=\mathbb{C}\setminus \lbrace0 \rbrace$とする。このとき、$\mathbb{C}^*$内の$1$を始点とする閉曲線$\gamma$に対して、次の同値性が成り立つ。

$\gamma$$\mathbb{C}^*$内で一点とホモトピック$ \Longleftrightarrow$ $n(\gamma,0)=0$

ただし、$z\notin \mathrm{Im}\gamma$に対し、$\gamma$$z$まわりの回転数を$n(\gamma,z)=\frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma}\frac{d\zeta}{\zeta-z}$とする。

一方で、$\mathbb{C}\setminus \lbrace 0,1 \rbrace$の場合では、$0,1$まわりのループの回転数が$0$であっても、一点とホモトピックとは限らないです。次のような例が考えられます。

二点穴あき平面内のループと回転数

二つの領域を$D=\mathbb{C}\setminus \lbrace 0,1 \rbrace,\tilde{D}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{Z}$とする。
$p(z)= e^{2\pi iz}:\tilde{D}\rightarrow D$とする。$\tilde{\gamma}(t)$$\tilde{D}$内の閉曲線で$n(\tilde{\gamma},0)=1,n(\tilde{\gamma},1)=-1$をみたす適当な$8$の字曲線とし、次の順に沿って、$D$内の閉曲線$\gamma$であって$n(\gamma,0)=n(\gamma,1)=0$だが一点とホモトピックでないものを作れ。

  1. $\gamma=p\circ \tilde{\gamma}$とおくと、これは$D$内の閉曲線で、$n(\gamma,0)=n(\gamma,1)=0$を満たすことを示す。
  2. $\gamma$$D$内で一点とホモトピックと仮定すると、$\tilde{\gamma}$$\tilde{D}$内で一点とホモトピックとなることを示す。
  3. 実際には$\tilde{\gamma}$$\tilde{D}$内で一点とホモトピックでないことを示し、$2$を用いて、$\gamma$$D$内で一点とホモトピックでないことを示す。

上の二つの問題の背景には、次の被覆空間の理論があります。
以下、$X,\tilde{X}$を位相空間とします。

被覆空間、被覆写像

$p:\tilde{X}\rightarrow X$を連続写像とする。

  • $X$の開集合$U$が、$p$均一に被覆される(evenly covered)とは、$p^{-1}(U)=\bigsqcup _{\lambda\in \Lambda}V_{\lambda}:\mathrm{disjoint}$ $\forall \lambda \in \Lambda :V_{\lambda}\subset X ;\mathrm{open }, p|_{V_{\lambda}}:V_{\lambda}\rightarrow U;\mathrm{homeo.}$ となることをいう。
  • $p$$X$上の被覆写像(covering map)であるとは、次の二つの条件を満たすことをいう。
  1. $p$は全射である。
  2. 任意の$x\in X$に対し、ある$X$内の$x$の開近傍$U_x$が存在し、$U_x$$p$に均一に被覆される。
  • $p:\tilde{X}\rightarrow X$が被覆写像であるとき、$\tilde{X}$$X$被覆空間(covering space)$X$$\tilde{X}$底空間(base space)という。

最初に挙げた問題の$e^z:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}^*$が被覆写像になっていることを確かめてみましょう。位相空間論と複素解析の結果を使います。

被覆写像の例

$p(z)=e^z:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}^*$は被覆写像である。

連続全射であることはok。$w=re^{i \theta}\in \mathbb{C}^*(r>0,\theta=\mathrm{arg} w)$とする。ただし、偏角は$2\pi$の整数倍足したものも同一視する。$w$の原点に関して反対側に$\mathbb{C}^*$に切れ込みを入れた集合を、$U_{\theta}=\lbrace z\in \mathbb{C}^* | \mathrm{arg}(-z)\neq \theta \rbrace$とすると、これは$w$$\mathbb{C}^*$内の開近傍である。$\mathrm{arg}(e^z)=\mathrm{Im}z$なので、$V_n=\lbrace \theta -\pi +2n \pi<\mathrm{Im}z<\theta +\pi +2n\pi \rbrace(n\in \mathbb{Z})$とおけば、これらは$\mathbb{C}$内の開集合であり、$p^{-1}(U_{\theta})=\bigsqcup _{n\in \mathbb{Z}}V_n$である。(このことは、下の図を見ると分かりやすい。横長の帯が$V_n$である。)
色相を偏角、絶対値を輝度に対応させて描いた!FORMULA[72][36349799][0]の図(この図は以下のリンクを用いた:
https://samuelj.li/complex-function-plotter/) 色相を偏角、絶対値を輝度に対応させて描いた$e^z$の図(この図は以下のリンクを用いた:
https://samuelj.li/complex-function-plotter/)

あとは、$e^z:V_n \rightarrow U_{\theta}$が同相写像であることを示す。連続全単射であることは定義からok。
また、複素解析における開写像定理より、領域上の定数でない正則関数は開写像であるから、これは開写像である。よって、同相である。
したがって、$e^z:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}^*$は被覆写像である。(証明終)

さて、被覆写像の理論で重要な定理を二つ紹介します。まず、連続写像の持ち上げを定義します。

連続写像の持ち上げ

$p:\tilde{X}\rightarrow X$を被覆写像とする。また、$Z$を位相空間、$f:Z\rightarrow X$を連続写像とする。このとき、連続写像$\tilde{f}:Z\rightarrow \tilde{X}$$f$持ち上げ(lift)であるとは、$p\circ \tilde{f}=f$を満たすことをいう。
連続写像!FORMULA[81][37794][0]が!FORMULA[82][-2038834830][0]に持ち上がっている 連続写像$f$$\tilde{f}$に持ち上がっている

一つ目の定理として、道の持ち上げ定理という重要な定理を紹介します。

道の持ち上げ定理(Path Lifting Theorem)

$p:\tilde{X}\rightarrow X$を被覆写像、$\gamma : \lbrack 0,1 \rbrack \rightarrow X$$X$内の曲線とする。
また、$w\in p^{-1}(\gamma (0))$とする。
このとき、$\tilde{X}$内の曲線$\tilde{\gamma}:\lbrack 0,1 \rbrack \rightarrow \tilde{X}$がただ一つ存在し、$\tilde{\gamma}(0)=w$かつ$\tilde{\gamma}$$\gamma$の持ち上げである。
道の持ち上げ定理の様子。ただし、!FORMULA[92][1404361749][0]が閉曲線でも、上の図のようにその持ち上げ!FORMULA[93][2130971949][0]も閉曲線になるとは限らない。 道の持ち上げ定理の様子。ただし、$\gamma$が閉曲線でも、上の図のようにその持ち上げ$\tilde{\gamma}$も閉曲線になるとは限らない。

証明は、参考文献や代数トポロジーの本に任せます。上の定理の具体例を、問題1を通して見ていきましょう。

道の持ち上げ定理の例(問題1)

$\mathbb{C}^*$内の$1$を始点とする閉曲線$\gamma$に対して、

$\gamma$$\mathbb{C}^*$内で一点とホモトピック$ \Longleftrightarrow$ $n(\gamma,0)=0$

被覆写像$e^z$で持ち上げて、被覆空間の方でホモトピーを作る!

$ \Longrightarrow $はホモトピー型のコーシーの積分定理から直ちに従うので、$ \Longleftarrow $を示す。既に示したように、$e^z:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}^*$は被覆写像である。よって、$e^z$による$\gamma$の持ち上げ$\tilde{\gamma}$が存在することが道の持ち上げ定理から分かるが、具体的に$\tilde{\gamma}$を作ってみよう。ここで、$\gamma (0)=1$より、$\tilde{\gamma}(0)=0$となるようにすることにする。$\tilde{\gamma}(t)=\mathrm{log}\gamma(t)$という感じで構成したいので、$\gamma_t=\gamma|_{ \lbrack 0,t \rbrack}$とし、$\tilde{\gamma}(t)= \int_{\gamma_t}\frac{d\zeta}{\zeta}$と定めると、$\tilde{\gamma}:\lbrack 0,t \rbrack \rightarrow \mathbb{C}$$\mathbb{C}$内の曲線で、$\tilde{\gamma}(0)=0$を満たす。
さらに、$e^{\tilde{\gamma}(t)}=\gamma (t)$となることを示す。微積分学の基本定理より、$\tilde{\gamma}'=\gamma '/\gamma$であるから、
$(e^{\tilde{\gamma}}/\gamma)'=\frac{e^{\tilde{\gamma}}(\tilde{\gamma}' \gamma-\gamma ')}{\gamma ^2}=0$となる。よって、$e^{\tilde{\gamma}}/\gamma=\mathrm{const.}$
$e^{\tilde{\gamma}(0)}/\gamma (0)=e^0/1=1$なので、$e^{\tilde{\gamma}}=\gamma $である。

今、仮定より$n(\gamma,0)=0$であるから、$\tilde{\gamma}(1)=2\pi i \cdot \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma}\frac{d\zeta}{\zeta}=2\pi i \cdot n(\gamma,0)=0=\tilde{\gamma}(0)$となり、$\tilde{\gamma}$が閉曲線になることが分かる。(つまり、底空間$\mathbb{C}^*$での$0$のまわりの回転数が$0$なら、持ち上げの終点が、始点の階層から別の階層に移動してしまうことがない!(※図3))

さて今、被覆空間$\mathbb{C}$は単連結領域であるから、$\tilde{\gamma}$$\mathbb{C}$内で一点にホモトピックである。そのホモトピーを$\tilde{\Phi}$とする。このとき、$\Phi=e^{\tilde{\Phi}}$とおくと、これは$\mathbb{C}^*$内の連続写像である。
$\Phi(0,t)=e^{\tilde{\Phi}(0,t)}=e^{\tilde{\gamma}(t)}=\gamma(t),\Phi(1,t)=e^{\tilde{\Phi}(1,t)}=e^0=1$ $\Phi(s,0)=e^{\tilde{\Phi}(s,0)}=e^0=1,\Phi(s,1)=e^{\tilde{\Phi}(s,1)}=e^0=1$
より、$\Phi$は、$\mathbb{C}^*$内で$\gamma$を一点に縮めるホモトピーである。(証明終)

次で紹介する定理により、ホモトピーも被覆写像によって持ち上げることができます。
以下、単位閉区間を$I= \lbrack 0,1 \rbrack$とします。

ホモトピーの持ち上げ定理(Homotopy Lifting Theorem)

$p:\tilde{X}\rightarrow X$を被覆写像、$\Phi:I \times I\rightarrow X$を連続写像、$\tilde{\gamma} : \lbrack 0,1 \rbrack \rightarrow \tilde{X}$$\tilde{X}$内の曲線とする。任意の$t\in I$に対し、$p(\tilde{\gamma}(t))=\Phi(0,t)$とする。このとき、連続写像$\tilde{\Phi}:I \times I\rightarrow \tilde{X}$がただ一つ存在し、$\forall t\in I :\tilde{\Phi}(0,t)=\tilde{\gamma}(t),p \circ \tilde{\Phi}=\Phi$を満たす。

この定理の複素解析版は、モノドロミー定理と呼ばれ、正則関数の解析接続で重要な定理です。証明は代数トポロジーの本に任せることにし、問題2を通して具体的な例を見ていくことにします。

ホモトピーの持ち上げ定理の例(問題2)

二つの領域を$D=\mathbb{C}\setminus \lbrace 0,1 \rbrace,\tilde{D}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{Z}$とする。
$p(z)= e^{2\pi iz}:\tilde{D}\rightarrow D$とする。$\tilde{\gamma}(t)$$\tilde{D}$内の閉曲線で$n(\tilde{\gamma},0)=1,n(\tilde{\gamma},1)=-1$をみたす適当な$8$の字曲線とし、次の順に沿って、$D$内の閉曲線$\gamma$であって$n(\gamma,0)=n(\gamma,1)=0$だが一点とホモトピックでないものを作れ。

  1. $\gamma=p\circ \tilde{\gamma}$とおくと、これは$D$内の閉曲線で、$n(\gamma,0)=n(\gamma,1)=0$を満たすことを示す。
  2. $\gamma$$D$内で一点とホモトピックと仮定すると、$\tilde{\gamma}$$\tilde{D}$内で一点とホモトピックとなることを示す。
  3. 実際には$\tilde{\gamma}$$\tilde{D}$内で一点とホモトピックでないことを示し、$2$を用いて、$\gamma$$D$内で一点とホモトピックでないことを示す。

$p(z)=e^{2\pi iz}:\tilde{D}\rightarrow D$は被覆写像である。
$\tilde{\gamma}(t)$を、$\tilde{D}$内の曲線で以下の図のような$1/2\in \tilde{D}$を始点とする四角い$8$の字曲線とする。
!FORMULA[175][-835298949][0]は青線で左回りの閉曲線、!FORMULA[176][-835298918][0]は赤線で右回りの閉曲線、!FORMULA[177][2130971949][0]はそれらの和でできる!FORMULA[178][36368][0]の字曲線とする $\tilde{\gamma}_1$は青線で左回りの閉曲線、$\tilde{\gamma}_2$は赤線で右回りの閉曲線、$\tilde{\gamma}$はそれらの和でできる$8$の字曲線とする

このとき、上図より$n(\tilde{\gamma},0)=1,n(\tilde{\gamma},1)=-1$であることが分かる。

1.$\gamma=p\circ \tilde{\gamma}$とおくと、これは大体下図のような、$-1\in D$を始点とする$D$内の閉曲線になることが確かめられる。(実際の曲線の形は各自確かめよ。)
上の図では、!FORMULA[183][2130971949][0]は分かりやすいように丸めて書いている。
!FORMULA[184][1404361749][0]も分かりやすいように大げさに書いている。 上の図では、$\tilde{\gamma}$は分かりやすいように丸めて書いている。
$\gamma$も分かりやすいように大げさに書いている。

上の図から回転数を計算すると、$n(\gamma,0)=n(\gamma,1)=0$であることが分かる。例えば、$1$まわりの回転数は、$\gamma$の右側の非有界領域から$1$に向かう線に沿って考えれば、図の青線で$+1$され、赤線で$-1$されるので、$0$となる。

2.$\gamma$$D$内で一点とホモトピックと仮定し、その$\gamma$を一点に縮めるホモトピーを$\Phi:I \times I\rightarrow D$とする。例1と同様にして、各$s\in I$を固定するごとに、$\tilde{\Phi}_s(t)=\frac{1}{2\pi i} \int_{\Phi_s| \lbrack 0,t \rbrack}\frac{d\zeta}{\zeta}+\tilde{\gamma}(0)$と定めれば、これは$\tilde{D}$内の連続写像$\tilde{\Phi}:I \times I\rightarrow \tilde{D}$となる。これが、$e^{2\pi i\tilde{\Phi}}=\Phi$を満たすことは、例1と同様に微分して分かる。まず、$\tilde{\Phi}_s(0)=\tilde{\Phi}_1(t)=\tilde{\gamma}(0)$である。$\Phi$$\gamma$を一点に縮めるホモトピーなので、$\Phi_s$は一点にホモトピックであり、よって、コーシーの積分定理より、$\tilde{\Phi}_s(1)=\tilde{\gamma}(0)$である。また、$\tilde{\Phi}_0(t)=\frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma| \lbrack 0,t \rbrack}\frac{d\zeta}{\zeta}+\tilde{\gamma}(0)$であるが、これは例1と同様に微分することで、$e^{2\pi i\tilde{\Phi}_0(t)}=\gamma(t)$ が分かる。$\tilde{\Phi}_0(0)=\tilde{\gamma}(0)$であるから、道の持ち上げ定理の一意性の部分より、$\tilde{\Phi}_0(t)=\tilde{\gamma}(t)$となる。
以上より、$\tilde{\Phi}$$\tilde{D}$内で$\tilde{\gamma}$を一点に縮めるホモトピーである。

3.一方で、$\tilde{\gamma}$$\tilde{D}$内で一点とホモトピックでない。
実際、$n(\tilde{\gamma},0)=1\neq 0,\mathbb{C}\setminus \mathbb{Z}\subset \mathbb{C}^*$なので、例1の結果より従う。\

したがってこれは、2.の結果と矛盾するので、$\gamma$$D$内で一点とホモトピックでない。(証明終)

このように、二点穴あき平面$\mathbb{C}\setminus \lbrace 0,1 \rbrace$の場合では、$0,1$まわりの回転数が$0$であっても、一点とホモトピックではないようなループが存在します。
穴が一個から二個に増えるだけで、状況が複雑になってしまうわけです。

今回はこれで終わりたいと思います。お疲れ様でした。

参考文献

投稿日:20231031
OptHub AI Competition

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