複素解析で現れる被覆写像と、道及びホモトピーの持ち上げ定理の具体例：穴あき平面のループのホモトピーと回転数の関係

連続全射であることはok。$w=re^{i \theta}\in \mathbb{C}^*(r>0,\theta=\mathrm{arg} w)$とする。ただし、偏角は$2\pi$の整数倍足したものも同一視する。$w$の原点に関して反対側に$\mathbb{C}^*$に切れ込みを入れた集合を、$U_{\theta}=\lbrace z\in \mathbb{C}^* | \mathrm{arg}(-z)\neq \theta \rbrace$とすると、これは$w$の$\mathbb{C}^*$内の開近傍である。$\mathrm{arg}(e^z)=\mathrm{Im}z$なので、$V_n=\lbrace \theta -\pi +2n \pi<\mathrm{Im}z<\theta +\pi +2n\pi \rbrace(n\in \mathbb{Z})$とおけば、これらは$\mathbb{C}$内の開集合であり、$p^{-1}(U_{\theta})=\bigsqcup _{n\in \mathbb{Z}}V_n$である。（このことは、下の図を見ると分かりやすい。横長の帯が$V_n$である。）
色相を偏角、絶対値を輝度に対応させて描いた$e^z$の図（この図は以下のリンクを用いた：
https://samuelj.li/complex-function-plotter/）
あとは、$e^z:V_n \rightarrow U_{\theta}$が同相写像であることを示す。連続全単射であることは定義からok。
また、複素解析における開写像定理より、領域上の定数でない正則関数は開写像であるから、これは開写像である。よって、同相である。
したがって、$e^z:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}^*$は被覆写像である。（証明終）

$ \Longrightarrow $はホモトピー型のコーシーの積分定理から直ちに従うので、$ \Longleftarrow $を示す。既に示したように、$e^z:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}^*$は被覆写像である。よって、$e^z$による$\gamma$の持ち上げ$\tilde{\gamma}$が存在することが道の持ち上げ定理から分かるが、具体的に$\tilde{\gamma}$を作ってみよう。ここで、$\gamma (0)=1$より、$\tilde{\gamma}(0)=0$となるようにすることにする。$\tilde{\gamma}(t)=\mathrm{log}\gamma(t)$という感じで構成したいので、$\gamma_t=\gamma|_{ \lbrack 0,t \rbrack}$とし、$\tilde{\gamma}(t)= \int_{\gamma_t}\frac{d\zeta}{\zeta}$と定めると、$\tilde{\gamma}:\lbrack 0,t \rbrack \rightarrow \mathbb{C}$は$\mathbb{C}$内の曲線で、$\tilde{\gamma}(0)=0$を満たす。
さらに、$e^{\tilde{\gamma}(t)}=\gamma (t)$となることを示す。微積分学の基本定理より、$\tilde{\gamma}'=\gamma '/\gamma$であるから、
$(e^{\tilde{\gamma}}/\gamma)'=\frac{e^{\tilde{\gamma}}(\tilde{\gamma}' \gamma-\gamma ')}{\gamma ^2}=0$となる。よって、$e^{\tilde{\gamma}}/\gamma=\mathrm{const.}$
$e^{\tilde{\gamma}(0)}/\gamma (0)=e^0/1=1$なので、$e^{\tilde{\gamma}}=\gamma $である。

今、仮定より$n(\gamma,0)=0$であるから、$\tilde{\gamma}(1)=2\pi i \cdot \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma}\frac{d\zeta}{\zeta}=2\pi i \cdot n(\gamma,0)=0=\tilde{\gamma}(0)$となり、$\tilde{\gamma}$が閉曲線になることが分かる。（つまり、底空間$\mathbb{C}^*$での$0$のまわりの回転数が$0$なら、持ち上げの終点が、始点の階層から別の階層に移動してしまうことがない！（※図3））

さて今、被覆空間$\mathbb{C}$は単連結領域であるから、$\tilde{\gamma}$は$\mathbb{C}$内で一点にホモトピックである。そのホモトピーを$\tilde{\Phi}$とする。このとき、$\Phi=e^{\tilde{\Phi}}$とおくと、これは$\mathbb{C}^*$内の連続写像である。
$\Phi(0,t)=e^{\tilde{\Phi}(0,t)}=e^{\tilde{\gamma}(t)}=\gamma(t),\Phi(1,t)=e^{\tilde{\Phi}(1,t)}=e^0=1$ $\Phi(s,0)=e^{\tilde{\Phi}(s,0)}=e^0=1,\Phi(s,1)=e^{\tilde{\Phi}(s,1)}=e^0=1$
より、$\Phi$は、$\mathbb{C}^*$内で$\gamma$を一点に縮めるホモトピーである。（証明終）

$p(z)=e^{2\pi iz}:\tilde{D}\rightarrow D$は被覆写像である。
$\tilde{\gamma}(t)$を、$\tilde{D}$内の曲線で以下の図のような$1/2\in \tilde{D}$を始点とする四角い$8$の字曲線とする。
$\tilde{\gamma}_1$は青線で左回りの閉曲線、$\tilde{\gamma}_2$は赤線で右回りの閉曲線、$\tilde{\gamma}$はそれらの和でできる$8$の字曲線とする

このとき、上図より$n(\tilde{\gamma},0)=1,n(\tilde{\gamma},1)=-1$であることが分かる。

1.$\gamma=p\circ \tilde{\gamma}$とおくと、これは大体下図のような、$-1\in D$を始点とする$D$内の閉曲線になることが確かめられる。（実際の曲線の形は各自確かめよ。）
上の図では、$\tilde{\gamma}$は分かりやすいように丸めて書いている。
$\gamma$も分かりやすいように大げさに書いている。

上の図から回転数を計算すると、$n(\gamma,0)=n(\gamma,1)=0$であることが分かる。例えば、$1$まわりの回転数は、$\gamma$の右側の非有界領域から$1$に向かう線に沿って考えれば、図の青線で$+1$され、赤線で$-1$されるので、$0$となる。

2.$\gamma$が$D$内で一点とホモトピックと仮定し、その$\gamma$を一点に縮めるホモトピーを$\Phi:I \times I\rightarrow D$とする。例1と同様にして、各$s\in I$を固定するごとに、$\tilde{\Phi}_s(t)=\frac{1}{2\pi i} \int_{\Phi_s| \lbrack 0,t \rbrack}\frac{d\zeta}{\zeta}+\tilde{\gamma}(0)$と定めれば、これは$\tilde{D}$内の連続写像$\tilde{\Phi}:I \times I\rightarrow \tilde{D}$となる。これが、$e^{2\pi i\tilde{\Phi}}=\Phi$を満たすことは、例1と同様に微分して分かる。まず、$\tilde{\Phi}_s(0)=\tilde{\Phi}_1(t)=\tilde{\gamma}(0)$である。$\Phi$は$\gamma$を一点に縮めるホモトピーなので、$\Phi_s$は一点にホモトピックであり、よって、コーシーの積分定理より、$\tilde{\Phi}_s(1)=\tilde{\gamma}(0)$である。また、$\tilde{\Phi}_0(t)=\frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma| \lbrack 0,t \rbrack}\frac{d\zeta}{\zeta}+\tilde{\gamma}(0)$であるが、これは例1と同様に微分することで、$e^{2\pi i\tilde{\Phi}_0(t)}=\gamma(t)$ が分かる。$\tilde{\Phi}_0(0)=\tilde{\gamma}(0)$であるから、道の持ち上げ定理の一意性の部分より、$\tilde{\Phi}_0(t)=\tilde{\gamma}(t)$となる。
以上より、$\tilde{\Phi}$は$\tilde{D}$内で$\tilde{\gamma}$を一点に縮めるホモトピーである。

3.一方で、$\tilde{\gamma}$は$\tilde{D}$内で一点とホモトピックでない。
実際、$n(\tilde{\gamma},0)=1\neq 0,\mathbb{C}\setminus \mathbb{Z}\subset \mathbb{C}^*$なので、例1の結果より従う。\

したがってこれは、2.の結果と矛盾するので、$\gamma$は$D$内で一点とホモトピックでない。（証明終）