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複素解析で現れる被覆写像と、道及びホモトピーの持ち上げ定理の具体例：穴あき平面のループのホモトピーと回転数の関係

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次の複素解析からの二つの問題を扱います。
ここでは、閉曲線といえば、区分的 $C^{1}$ 閉曲線のこととします。

一点穴あき平面内のループと回転数

$C^{*} = C ∖ {0}$ とする。このとき、 $C^{*}$ 内の $1$ を始点とする閉曲線 $γ$ に対して、次の同値性が成り立つ。

$γ$ が $C^{*}$ 内で一点とホモトピック $⟺$ $n (γ, 0) = 0$

ただし、 $z \notin Im γ$ に対し、 $γ$ の $z$ まわりの回転数を $n (γ, z) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{d ζ}{ζ - z}$ とする。

一方で、 $C ∖ {0, 1}$ の場合では、 $0, 1$ まわりのループの回転数が $0$ であっても、一点とホモトピックとは限らないです。次のような例が考えられます。

二点穴あき平面内のループと回転数

二つの領域を $D = C ∖ {0, 1}, \tilde{D} = C ∖ Z$ とする。
$p (z) = e^{2 π i z} : \tilde{D} \to D$ とする。 $\tilde{γ} (t)$ を $\tilde{D}$ 内の閉曲線で $n (\tilde{γ}, 0) = 1, n (\tilde{γ}, 1) = - 1$ をみたす適当な $8$ の字曲線とし、次の順に沿って、 $D$ 内の閉曲線 $γ$ であって $n (γ, 0) = n (γ, 1) = 0$ だが一点とホモトピックでないものを作れ。

$γ = p \circ \tilde{γ}$ とおくと、これは $D$ 内の閉曲線で、 $n (γ, 0) = n (γ, 1) = 0$ を満たすことを示す。
$γ$ が $D$ 内で一点とホモトピックと仮定すると、 $\tilde{γ}$ は $\tilde{D}$ 内で一点とホモトピックとなることを示す。
実際には $\tilde{γ}$ が $\tilde{D}$ 内で一点とホモトピックでないことを示し、 $2$ を用いて、 $γ$ が $D$ 内で一点とホモトピックでないことを示す。

上の二つの問題の背景には、次の被覆空間の理論があります。
以下、 $X, \tilde{X}$ を位相空間とします。

被覆空間、被覆写像

$p : \tilde{X} \to X$ を連続写像とする。

$X$ の開集合 $U$ が、 $p$ に均一に被覆される(evenly covered)とは、 $p^{- 1} (U) = ⨆_{λ \in Λ} V_{λ} : disjoint$ $\forall λ \in Λ : V_{λ} \subset X; open, p |_{V_{λ}} : V_{λ} \to U; homeo .$ となることをいう。
$p$ が $X$ 上の被覆写像(covering map)であるとは、次の二つの条件を満たすことをいう。

$p$ は全射である。
任意の $x \in X$ に対し、ある $X$ 内の $x$ の開近傍 $U_{x}$ が存在し、 $U_{x}$ は $p$ に均一に被覆される。

$p : \tilde{X} \to X$ が被覆写像であるとき、 $\tilde{X}$ は $X$ の被覆空間(covering space)、 $X$ は $\tilde{X}$ の底空間(base space)という。

最初に挙げた問題の $e^{z} : C \to C^{*}$ が被覆写像になっていることを確かめてみましょう。位相空間論と複素解析の結果を使います。

被覆写像の例

$p (z) = e^{z} : C \to C^{*}$ は被覆写像である。

連続全射であることはok。 $w = r e^{i θ} \in C^{*} (r > 0, θ = \arg w)$ とする。ただし、偏角は $2 π$ の整数倍足したものも同一視する。 $w$ の原点に関して反対側に $C^{*}$ に切れ込みを入れた集合を、 $U_{θ} = {z \in C^{*} | \arg (- z) \neq θ}$ とすると、これは $w$ の $C^{*}$ 内の開近傍である。 $\arg (e^{z}) = Im z$ なので、 $V_{n} = {θ - π + 2 n π < Im z < θ + π + 2 n π} (n \in Z)$ とおけば、これらは $C$ 内の開集合であり、 $p^{- 1} (U_{θ}) = ⨆_{n \in Z} V_{n}$ である。（このことは、下の図を見ると分かりやすい。横長の帯が $V_{n}$ である。）
色相を偏角、絶対値を輝度に対応させて描いた!FORMULA[72][36349799][0]の図（この図は以下のリンクを用いた：
https://samuelj.li/complex-function-plotter/）色相を偏角、絶対値を輝度に対応させて描いた $e^{z}$ の図（この図は以下のリンクを用いた：
https://samuelj.li/complex-function-plotter/）
あとは、 $e^{z} : V_{n} \to U_{θ}$ が同相写像であることを示す。連続全単射であることは定義からok。
また、複素解析における開写像定理より、領域上の定数でない正則関数は開写像であるから、これは開写像である。よって、同相である。
したがって、 $e^{z} : C \to C^{*}$ は被覆写像である。（証明終）

さて、被覆写像の理論で重要な定理を二つ紹介します。まず、連続写像の持ち上げを定義します。

連続写像の持ち上げ

$p : \tilde{X} \to X$ を被覆写像とする。また、 $Z$ を位相空間、 $f : Z \to X$ を連続写像とする。このとき、連続写像 $\tilde{f} : Z \to \tilde{X}$ が $f$ の持ち上げ(lift)であるとは、 $p \circ \tilde{f} = f$ を満たすことをいう。
連続写像!FORMULA[81][37794][0]が!FORMULA[82][-2038834830][0]に持ち上がっている連続写像 $f$ が $\tilde{f}$ に持ち上がっている

一つ目の定理として、道の持ち上げ定理という重要な定理を紹介します。

道の持ち上げ定理(Path Lifting Theorem)

$p : \tilde{X} \to X$ を被覆写像、 $γ : [0, 1] \to X$ を $X$ 内の曲線とする。
また、 $w \in p^{- 1} (γ (0))$ とする。
このとき、 $\tilde{X}$ 内の曲線 $\tilde{γ} : [0, 1] \to \tilde{X}$ がただ一つ存在し、 $\tilde{γ} (0) = w$ かつ $\tilde{γ}$ は $γ$ の持ち上げである。
道の持ち上げ定理の様子。ただし、!FORMULA[92][1404361749][0]が閉曲線でも、上の図のようにその持ち上げ!FORMULA[93][2130971949][0]も閉曲線になるとは限らない。道の持ち上げ定理の様子。ただし、 $γ$ が閉曲線でも、上の図のようにその持ち上げ $\tilde{γ}$ も閉曲線になるとは限らない。

証明は、参考文献や代数トポロジーの本に任せます。上の定理の具体例を、問題1を通して見ていきましょう。

道の持ち上げ定理の例（問題1）

$C^{*}$ 内の $1$ を始点とする閉曲線 $γ$ に対して、

$γ$ が $C^{*}$ 内で一点とホモトピック $⟺$ $n (γ, 0) = 0$

被覆写像

e^{z}

で持ち上げて、被覆空間の方でホモトピーを作る！

$⟹$ はホモトピー型のコーシーの積分定理から直ちに従うので、 $⟸$ を示す。既に示したように、 $e^{z} : C \to C^{*}$ は被覆写像である。よって、 $e^{z}$ による $γ$ の持ち上げ $\tilde{γ}$ が存在することが道の持ち上げ定理から分かるが、具体的に $\tilde{γ}$ を作ってみよう。ここで、 $γ (0) = 1$ より、 $\tilde{γ} (0) = 0$ となるようにすることにする。 $\tilde{γ} (t) = \log γ (t)$ という感じで構成したいので、 $γ_{t} = γ |_{[0, t]}$ とし、 $\tilde{γ} (t) = \int_{γ_{t}} \frac{d ζ}{ζ}$ と定めると、 $\tilde{γ} : [0, t] \to C$ は $C$ 内の曲線で、 $\tilde{γ} (0) = 0$ を満たす。
さらに、 $e^{\tilde{γ} (t)} = γ (t)$ となることを示す。微積分学の基本定理より、 ${\tilde{γ}}^{'} = γ^{'} / γ$ であるから、
$(e^{\tilde{γ}} / γ)^{'} = \frac{e^{\tilde{γ}} ({\tilde{γ}}^{'} γ - γ^{'})}{γ^{2}} = 0$ となる。よって、 $e^{\tilde{γ}} / γ = const .$
$e^{\tilde{γ} (0)} / γ (0) = e^{0} / 1 = 1$ なので、 $e^{\tilde{γ}} = γ$ である。

今、仮定より $n (γ, 0) = 0$ であるから、 $\tilde{γ} (1) = 2 π i \cdot \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{d ζ}{ζ} = 2 π i \cdot n (γ, 0) = 0 = \tilde{γ} (0)$ となり、 $\tilde{γ}$ が閉曲線になることが分かる。（つまり、底空間 $C^{*}$ での $0$ のまわりの回転数が $0$ なら、持ち上げの終点が、始点の階層から別の階層に移動してしまうことがない！（※図3））

さて今、被覆空間 $C$ は単連結領域であるから、 $\tilde{γ}$ は $C$ 内で一点にホモトピックである。そのホモトピーを $\tilde{Φ}$ とする。このとき、 $Φ = e^{\tilde{Φ}}$ とおくと、これは $C^{*}$ 内の連続写像である。
$Φ (0, t) = e^{\tilde{Φ} (0, t)} = e^{\tilde{γ} (t)} = γ (t), Φ (1, t) = e^{\tilde{Φ} (1, t)} = e^{0} = 1$ $Φ (s, 0) = e^{\tilde{Φ} (s, 0)} = e^{0} = 1, Φ (s, 1) = e^{\tilde{Φ} (s, 1)} = e^{0} = 1$
より、 $Φ$ は、 $C^{*}$ 内で $γ$ を一点に縮めるホモトピーである。（証明終）

次で紹介する定理により、ホモトピーも被覆写像によって持ち上げることができます。
以下、単位閉区間を $I = [0, 1]$ とします。

ホモトピーの持ち上げ定理(Homotopy Lifting Theorem)

$p : \tilde{X} \to X$ を被覆写像、 $Φ : I \times I \to X$ を連続写像、 $\tilde{γ} : [0, 1] \to \tilde{X}$ を $\tilde{X}$ 内の曲線とする。任意の $t \in I$ に対し、 $p (\tilde{γ} (t)) = Φ (0, t)$ とする。このとき、連続写像 $\tilde{Φ} : I \times I \to \tilde{X}$ がただ一つ存在し、 $\forall t \in I : \tilde{Φ} (0, t) = \tilde{γ} (t), p \circ \tilde{Φ} = Φ$ を満たす。

この定理の複素解析版は、モノドロミー定理と呼ばれ、正則関数の解析接続で重要な定理です。証明は代数トポロジーの本に任せることにし、問題2を通して具体的な例を見ていくことにします。

ホモトピーの持ち上げ定理の例（問題2）

$γ = p \circ \tilde{γ}$ とおくと、これは $D$ 内の閉曲線で、 $n (γ, 0) = n (γ, 1) = 0$ を満たすことを示す。
$γ$ が $D$ 内で一点とホモトピックと仮定すると、 $\tilde{γ}$ は $\tilde{D}$ 内で一点とホモトピックとなることを示す。
実際には $\tilde{γ}$ が $\tilde{D}$ 内で一点とホモトピックでないことを示し、 $2$ を用いて、 $γ$ が $D$ 内で一点とホモトピックでないことを示す。

$p (z) = e^{2 π i z} : \tilde{D} \to D$ は被覆写像である。
$\tilde{γ} (t)$ を、 $\tilde{D}$ 内の曲線で以下の図のような $1 / 2 \in \tilde{D}$ を始点とする四角い $8$ の字曲線とする。
!FORMULA[175][-835298949][0]は青線で左回りの閉曲線、!FORMULA[176][-835298918][0]は赤線で右回りの閉曲線、!FORMULA[177][2130971949][0]はそれらの和でできる!FORMULA[178][36368][0]の字曲線とする ${\tilde{γ}}_{1}$ は青線で左回りの閉曲線、 ${\tilde{γ}}_{2}$ は赤線で右回りの閉曲線、 $\tilde{γ}$ はそれらの和でできる $8$ の字曲線とする

このとき、上図より $n (\tilde{γ}, 0) = 1, n (\tilde{γ}, 1) = - 1$ であることが分かる。

1. $γ = p \circ \tilde{γ}$ とおくと、これは大体下図のような、 $- 1 \in D$ を始点とする $D$ 内の閉曲線になることが確かめられる。（実際の曲線の形は各自確かめよ。）
上の図では、!FORMULA[183][2130971949][0]は分かりやすいように丸めて書いている。
!FORMULA[184][1404361749][0]も分かりやすいように大げさに書いている。上の図では、 $\tilde{γ}$ は分かりやすいように丸めて書いている。
$γ$ も分かりやすいように大げさに書いている。

上の図から回転数を計算すると、 $n (γ, 0) = n (γ, 1) = 0$ であることが分かる。例えば、 $1$ まわりの回転数は、 $γ$ の右側の非有界領域から $1$ に向かう線に沿って考えれば、図の青線で $+ 1$ され、赤線で $- 1$ されるので、 $0$ となる。

2. $γ$ が $D$ 内で一点とホモトピックと仮定し、その $γ$ を一点に縮めるホモトピーを $Φ : I \times I \to D$ とする。例1と同様にして、各 $s \in I$ を固定するごとに、 ${\tilde{Φ}}_{s} (t) = \frac{1}{2 π i} \int_{Φ_{s} | [0, t]} \frac{d ζ}{ζ} + \tilde{γ} (0)$ と定めれば、これは $\tilde{D}$ 内の連続写像 $\tilde{Φ} : I \times I \to \tilde{D}$ となる。これが、 $e^{2 π i \tilde{Φ}} = Φ$ を満たすことは、例1と同様に微分して分かる。まず、 ${\tilde{Φ}}_{s} (0) = {\tilde{Φ}}_{1} (t) = \tilde{γ} (0)$ である。 $Φ$ は $γ$ を一点に縮めるホモトピーなので、 $Φ_{s}$ は一点にホモトピックであり、よって、コーシーの積分定理より、 ${\tilde{Φ}}_{s} (1) = \tilde{γ} (0)$ である。また、 ${\tilde{Φ}}_{0} (t) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ | [0, t]} \frac{d ζ}{ζ} + \tilde{γ} (0)$ であるが、これは例1と同様に微分することで、 $e^{2 π i {\tilde{Φ}}_{0} (t)} = γ (t)$ が分かる。 ${\tilde{Φ}}_{0} (0) = \tilde{γ} (0)$ であるから、道の持ち上げ定理の一意性の部分より、 ${\tilde{Φ}}_{0} (t) = \tilde{γ} (t)$ となる。
以上より、 $\tilde{Φ}$ は $\tilde{D}$ 内で $\tilde{γ}$ を一点に縮めるホモトピーである。