Bessel関数による冪の展開公式
\begin{align} \left(\frac z2\right)^{\mu}&=\sum_{0\leq n}\frac{(\mu+2n)\Gamma(\mu+n)}{n!}J_{\mu+2n}(z) \end{align}
\begin{align}
&\left(\frac z2\right)^{-\mu}\sum_{0\leq n}\frac{(\mu+2n)\Gamma(\mu+n)}{n!}J_{\mu+2n}(z)\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(\mu+2n)\Gamma(\mu+n)}{n!}\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^m}{m!\Gamma(\mu+2n+m+1)}\left(\frac{x}2\right)^{2n+2m}\\
&=\sum_{0\leq m}(-1)^m\left(\frac x2\right)^{2m}\sum_{n=0}^m\frac{(-1)^n(\mu+2n)\Gamma(\mu+n)}{n!(m-n)!\Gamma(\mu+n+m+1)}\qquad m\mapsto m-n
\end{align}
ここで, $m\geq 1$のとき望遠鏡和より
\begin{align}
&\sum_{n=0}^m\frac{(-1)^n(\mu+2n)\Gamma(\mu+n)}{n!(m-n)!\Gamma(\mu+n+m+1)}\\
&=\frac 1m\sum_{n=0}^m\frac{(-1)^n((n+m+\mu)n+(m-n)(n+\mu))\Gamma(\mu+n)}{n!(m-n)!\Gamma(\mu+n+m+1)}\\
&=\frac 1m\sum_{n=0}^m\left(\frac{(-1)^n\Gamma(\mu+n)}{(n-1)!(m-n)!\Gamma(\mu+n+m)}-\frac{(-1)^{n+1}\Gamma(\mu+n+1)}{n!(m-n-1)!\Gamma(\mu+n+m+1)}\right)\\
&=0
\end{align}
であり, また$m=0$のときはこの和は$1$である. よって
\begin{align}
&\left(\frac z2\right)^{-\mu}\sum_{0\leq n}\frac{(\mu+2n)\Gamma(\mu+n)}{n!}J_{\mu+2n}(z)=1
\end{align}
を得る.
前の記事 で示したBessel関数の積の積分表示と定理1を用いると, 以下のような展開公式を示すことができる.
\begin{align} \left(\frac z2\right)^{\mu+\nu}&=\frac{\Gamma(\mu+1)\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(\mu+\nu+1)}\sum_{0\leq m}\frac{(\mu+\nu+2m)\Gamma(\mu+\nu+m)}{m!}J_{\mu+m}(z)J_{\nu+m}(z) \end{align}
定理1より,
\begin{align}
(z\cos\theta)^{\mu+\nu}&=\sum_{0\leq n}\frac{(\mu+\nu+2m)\Gamma(\mu+\nu+m)}{m!}J_{\mu+\nu+2m}(2z\cos\theta)
\end{align}
両辺に$\cos(\mu-\nu)\theta$を掛けて積分すると, 左辺は
Cauchyのベータ積分
より
\begin{align}
&z^{\mu+\nu}\int_0^{\pi/2}(\cos\theta)^{\mu+\nu}\cos(\mu-\nu)\theta\,d\theta\\
&=\frac{\pi\Gamma(\mu+\nu+1)}{2\Gamma(\mu+1)\Gamma(\nu+1)}\left(\frac z2\right)^{\mu+\nu}
\end{align}
である. 一方右辺は,
前の記事
で示したBessel関数の積の積分表示より,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(\mu+\nu+2m)\Gamma(\mu+\nu+m)}{m!}\int_0^{\pi/2}J_{\mu+\nu+2m}(2z\cos\theta)\cos(\mu-\nu)\theta\,d\theta\\
&=\frac{\pi}{2}\sum_{0\leq n}\frac{(\mu+\nu+2m)\Gamma(\mu+\nu+m)}{m!}J_{\mu+m}(z)J_{\nu+m}(z)
\end{align}
となる. これらを比較して定理を得る.
Bessel関数の展開公式
定理1の応用として, 以下のようなBessel関数をBessel関数の無限和で展開する公式が得られる.
\begin{align} \left(\frac z2\right)^{-\nu}J_{\nu}(z)&=\left(\frac z2\right)^{-\mu}\sum_{0\leq n}\frac{(\mu+2n)\Gamma(\nu+1-\mu)\Gamma(\mu+n)}{n!\Gamma(\nu+1-\mu-n)\Gamma(\nu+n+1)}J_{\mu+2n}(z) \end{align}
定理1より,
\begin{align}
\left(\frac z2\right)^{\mu-\nu}J_{\nu}(z)&=\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^m}{m!\Gamma(\nu+m+1)}\left(\frac z2\right)^{\mu+2m}\\
&=\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^m}{m!\Gamma(\nu+m+1)}\sum_{0\leq k}\frac{(\mu+2m+2k)\Gamma(\mu+2m+k)}{k!}J_{\mu+2m+2k}(z)\\
&=\sum_{0\leq k}(\mu+2k)J_{\mu+2k}(z)\sum_{m=0}^k\frac{(-1)^m\Gamma(\mu+m+k)}{m!\Gamma(\nu+m+1)(k-m)!}
\end{align}
ここで, Vandermondeの恒等式より,
\begin{align}
\sum_{m=0}^k\frac{(-1)^m\Gamma(\mu+m+k)}{m!\Gamma(\nu+m+1)(k-m)!}&=\frac{\Gamma(\mu+k)}{k!\Gamma(\nu+1)}\F21{\mu+k,-k}{\nu+1}{1}\\
&=\frac{\Gamma(\mu+k)}{k!\Gamma(\nu+1)}\frac{(\nu+1-\mu-k)_k}{(\nu+1)_k}\\
&=\frac{\Gamma(\nu+1-\mu)\Gamma(\mu+k)}{k!\Gamma(\nu+1-\mu-k)\Gamma(\nu+k+1)}
\end{align}
であるから, これを代入して定理を得る.
特に, $\nu=\mu+m$とすると
\begin{align}
\left(\frac z2\right)^{-m}J_{\mu+m}(z)&=\sum_{n=0}^m\binom mn\frac{(\mu+2n)\Gamma(\mu+n)}{\Gamma(\mu+m+n+1)}J_{\mu+2n}(z)
\end{align}
を得る. これはSonineによって1880年に示された公式である.
