分母に中央二項係数の4乗が入った級数を2変数に拡張する
今回は
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\Bigg(\frac{(4n+3)\left(\frac 12+x,\frac 32-x,\frac 12+y,\frac 32-y\right)_n}{\left(x,1-x,y,1-y\right)_{n+1}}-\frac{8\cot\pi x\cot\pi y}{(1-2x)(1-2y)}\left(\frac 1{n+\frac 12}+\frac 1{n+1}\right)\Bigg)
\end{align}
を三角関数とディガンマ関数を用いて表す公式を与えたいと思う. $x=y=\frac 12$とすると, これは前の記事(
シフトした6φ5の漸近公式
)の最後に導出した, 分母に中央二項係数の4乗を含むAuの等式の一般化である.
導出
前の記事(
シフトした6φ5の漸近公式
)の定理2において, $a=\frac 32, b=\frac 12+y,c=\frac 32-y,d=\frac 12+x,e=\frac 32-x$とすると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\Bigg(\frac{(4n+3)\left(\frac 12+x,\frac 32-x,\frac 12+y,\frac 32-y\right)_n}{2\left(1+x,2-x,1+y,2-y\right)_n}-\frac{\Gamma(1+y)\Gamma(2-y)}{\Gamma\left(\frac 12+x\right)\Gamma\left(\frac 32-x\right)}\frac{\left(\frac 12+y,\frac 32-y\right)_n}{\left(1+x,2-x\right)_n}\\
&\qquad\qquad\qquad-\frac{\Gamma(1+x)\Gamma(2-x)\Gamma(1+y)\Gamma(2-y)}{\Gamma\left(\frac 12+x\right)\Gamma\left(\frac 32-x\right)\Gamma\left(\frac 12+y\right)\Gamma\left(\frac 32-y\right)}\frac 1{n+\frac 12}\Bigg)\\
&=-x(1-x)\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 12+x,\frac 32-x\right)_n}{\left(1+y,2-y\right)_n}\frac 1{n+\frac 12}
\end{align}
を得る. Ramanujan-Evans-Stantonの漸近公式(
前の記事
の定理2)において$a=\frac 12+y,b=\frac 32-y,c=1,d=1+x,e=2-x$とすると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\left(\frac{\Gamma\left(\frac 12+y\right)\Gamma\left(\frac 32-y\right)}{\Gamma(1+x)\Gamma(2-x)}\frac{\left(\frac 12+y,\frac 32-y\right)_n}{(1+x,2-x)_n}-\frac 1{n+1}\right)\\
&=-2\gamma-\psi\left(\frac 12+y\right)-\psi\left(\frac 32-y\right)+\sum_{0< n}\frac{(x,1-x)_n}{n\left(\frac 12+y,\frac 32-y\right)_n}
\end{align}
となるから, 冒頭の式は
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\Bigg(\frac{(4n+3)\left(\frac 12+x,\frac 32-x,\frac 12+y,\frac 32-y\right)_n}{2\left(1+x,2-x,1+y,2-y\right)_n}\\
&\qquad\qquad\qquad-\frac{\Gamma(1+x)\Gamma(2-x)\Gamma(1+y)\Gamma(2-y)}{\Gamma\left(\frac 12+x\right)\Gamma\left(\frac 32-x\right)\Gamma\left(\frac 12+y\right)\Gamma\left(\frac 32-y\right)}\left(\frac 1{n+\frac 12}+\frac 1{n+1}\right)\Bigg)\\
&=-x(1-x)\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 12+x,\frac 32-x\right)_n}{\left(n+\frac 12\right)\left(1+y,2-y\right)_n}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(1+x)\Gamma(2-x)\Gamma(1+y)\Gamma(2-y)}{\Gamma\left(\frac 12+x\right)\Gamma\left(\frac 32-x\right)\Gamma\left(\frac 12+y\right)\Gamma\left(\frac 32-y\right)}\\
&\qquad\cdot\left(-2\gamma-\psi\left(\frac 12+y\right)-\psi\left(\frac 32-y\right)+\sum_{0< n}\frac{(x,1-x)_n}{n\left(\frac 12+y,\frac 32-y\right)_n}\right)
\end{align}
と書き換えられる. 両辺を$\frac 12x(1-x)y(1-y)$で割ってガンマ関数の相反公式を用いて整理すると
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\Bigg(\frac{(4n+3)\left(\frac 12+x,\frac 32-x,\frac 12+y,\frac 32-y\right)_n}{\left(x,1-x,y,1-y\right)_{n+1}}-\frac{8\cot\pi x\cot\pi y}{(1-2x)(1-2y)}\left(\frac 1{n+\frac 12}+\frac 1{n+1}\right)\Bigg)\\
&=-2\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 12+x,\frac 32-x\right)_n}{\left(n+\frac 12\right)\left(y,1-y\right)_{n+1}}\\
&\qquad+\frac{8\cot\pi x\cot\pi y}{(1-2x)(1-2y)}\left(-2\gamma-\psi\left(\frac 12+y\right)-\psi\left(\frac 32-y\right)+\sum_{0< n}\frac{(x,1-x)_n}{n\left(\frac 12+y,\frac 32-y\right)_n}\right)
\end{align}
となる. ここで, 補題を用意する.
\begin{align} &\sum_{0< n}\frac{(x,1-x)_n}{n\left(\frac 12+y,\frac 32-y\right)_n}\\ &=\psi\left(\frac 12+y\right)+\psi\left(\frac 32-y\right)-\psi\left(\frac 12-x+y\right)-\psi\left(\frac 32-x-y\right)\\ &\qquad+\frac{\sin\pi x}{\cos\pi y}\left(\psi\left(\frac 12-x+y\right)-\psi\left(\frac 32-x-y\right)-\psi\left(\frac 34-\frac x2+\frac y2\right)+\psi\left(\frac 54-\frac x2-\frac y2\right)\right)\\ &\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 12+x,\frac 32-x\right)_n}{\left(n+\frac 12\right)(y,1-y)_{n+1}}\\ &=\frac{4}{(1-2x)(1-2y)}\Bigg(\psi\left(\frac 12+x-y\right)-\psi\left(x+y-\frac 12\right)-\pi\cot\pi y\\ &\qquad-\frac{\cos \pi x}{2\sin\pi y}\left(\psi\left(\frac x2+\frac y2+\frac 14\right)-\psi\left(\frac x2+\frac y2-\frac 14\right)+\psi\left(\frac x2-\frac y2+\frac 14\right)-\psi\left(\frac x2-\frac y2+\frac 34\right)\right)\Bigg) \end{align}
1つ目は
Liの論文
における式(9)において$y\mapsto y-\frac 12$としたものである. 2つ目の式は, $y=v+\frac 12$とすると, 多重$t$値
\begin{align}
t(k_1,\dots,k_r):=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac 1{(2n_1-1)^{k_1}\cdots (2n_r-1)^{k_r}}
\end{align}
を用いて,
\begin{align}
&\frac{1-2x}{8}\cos\pi v\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 12+x,\frac 32-x\right)_n}{(y,1-y)_{n+1}}\frac 1{n+\frac 12}\\
&=\sum_{0\leq a,b}(-1)^{a+b}(2x)^{2a}(2v)^{2b}t(\{2\}^{a+b+1})\\
&\qquad-2x\sum_{0\leq a,b}(-1)^{a+b}(2x)^{2a}(2v)^{2b}t(\{2\}^a,3,\{2\}^b)
\end{align}
と展開できる. ここで, よく知られた公式
\begin{align}
t(\{2\}^r)=\frac{\pi^{2r}}{2^{2r}(2r)!}
\end{align}
と
MurakamiによるZagierの2-3-2公式の類似の母関数表示
\begin{align}
&\sum_{0\leq a,b}(-1)^{a+b}t(\{2\}^a,3,\{2\}^b)u^{2a}v^{2b}\\
&=\frac{\cos\frac{\pi v}2}{2uv}\left(A\left(\frac{u+v}2\right)-A\left(\frac{u-v}2\right)\right)\\
&\qquad+\frac{\cos\frac{\pi u}2}{2uv}\left(B\left(\frac{u+v}2\right)-B\left(\frac{u-v}2\right)\right)\\
&A(z):=\sum_{1\leq r}\zeta(2r+1)z^{2r}\\
&B(z):=\sum_{1\leq r}(1-2^{-2r})\zeta(2r+1)z^{2r}\\
\end{align}
を用いてディガンマ関数で書き換えることによって示すべき等式を得る.
補題2を用いて先ほどの式を評価してディガンマ関数の相反公式などを用いて整理すると以下を得る.
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\Bigg(\frac{(4n+3)\left(\frac 12+x,\frac 32-x,\frac 12+y,\frac 32-y\right)_n}{\left(x,1-x,y,1-y\right)_{n+1}}-\frac{8\cot\pi x\cot\pi y}{(1-2x)(1-2y)}\left(\frac 1{n+\frac 12}+\frac 1{n+1}\right)\Bigg)\\ &=-\frac{4}{(1-2x)(1-2y)\sin\pi x\sin\pi y}\\ &\qquad\cdot\Bigg(\cos\pi(x+y)\left(2\gamma+\psi\left(x+y-\frac 12\right)+\psi\left(\frac 32-x-y\right)\right)\\ &\qquad\qquad+\cos\pi(x-y)\left(2\gamma+\psi\left(\frac 12+x-y\right)+\psi\left(\frac 12-x+y\right)\right)\Bigg) \end{align}
定理2において$y\to\frac 12$とすると以下の系を得る.
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\left(\frac{(4n+3)n!^2\left(\frac 12+x,\frac 32-x\right)_n}{\left(\frac 12\right)_{n+1}^2(x,1-x)_{n+1}}-\frac{4\pi\cot\pi x}{1-2x}\left(\frac 1{n+\frac 12}+\frac 1{n+1}\right)\right)\\ &=-\frac 4{1-2x}\left(\psi'(x)-\psi'(1-x)+(2\gamma+\psi(x)+\psi(1-x))\pi\cot\pi x\right) \end{align}
