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半直積について1 半直積の定義と例

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何回かに分けて半直積の性質を調べていきたいと思います.この記事はRotman,An Introduction to the Theory of Groupsのコピペ(和訳)です.

Gを群, GNとする. Gの部分群H
G=NH, NH={e}
を満たすときNHの補群という.

Gを群, GKとする. Gの部分群H
G=KH, KH={e}
を満たすときGをKとHの半直積という.つまりKが補群Hを持つ.

ここで, GがいつG/K(と同型な部分群)とKの半直積になるか考えてみます.(直積は二つの正規部分群の元同士が可換でなければならずこの条件は多くに場合に満たしそうにありません.)
この条件はKが補群を持つことと同値です.

GKとする.GKHの半直積ならHG/Kに同型である.

Gが補群Hを持つとするとπ:HG/K, hhKは同型である.
単射性を見る. hK=KとするとhKH={e}となりh=e.
全射性を見る.任意にgGを取る. 仮定からg=hk, hH, kKと表せる. h1g=kKからhK=gKでありπ(h)=gKである.

逆にGKG/Kに同型な部分群の半直積ならKが補群を持つことは定義から明らかです.

ところで, 上のように半直積にならないことはあるのでしょうか.

2ZZにおいて, ZZ/2Zと同型な部分群を持たないので半直積にならない.

Zの元は0以外位数が無限なので割ることで初めて有限群になります.

4元数群Q3に対し{1, 1}Q3を考えると商はクラインの4群に同型だが, 位数2の元は1のみなのでQ3はクラインの4群と同型な部分群を含まない.

では, いつ半直積になるのでしょうか.次の同値な条件が存在します.

Gを群, GKとする.次の4条件は同値.
(1)KGで補群を持つ.
(2)あるQGが存在して任意のgGg=ax, aK, xQと一意に表せる.
(3)ある準同型s:G/KGが存在してπs=1G/Kを満たす.
(短完全列1KGG/K1が分裂する.)
(4)ある準同型r:GGが存在してKer r=K, r(g)=g, gim rを満たす.

(1)(2)
Qを補群としてax=ax, a, aK, x, xQとする. a1a=xx1KQ={e}なのでa=a, x=x.よって一意に表せる.
(2)(3)
仮定を用いてs:G/KGKx (xQ)と表したときs(Kx)=xとして定める. Kx=Kx,x, xQとする.ここから一つ元をとるとkx=kx , k, kKと2通りに表せるが, 仮定の一意性からk=k, x=xなのでsはwell-defined. Qが部分群をなすことと商群の積の定義から準同型であることは明らか. gQとするとπs(Kg)=π(g)=Kgなのでπs=1G/K.
(3)(4)
sπが条件を満たすことを見る. s(Kg)=s(Kg) , g, gGとすると仮定からKg=πs(Kg)=πs(Kg)=Kgとなりsは単射.よって
gKer sπKgKer sgKとなりKer sπ=K.
またgIm sπとしg=sπ(g), gGとするとsπ(sπ(g))=s(πs)π(g)=sπ(g).
(4)(1)
gGに対しr(gr(g)1)=r(g)r(r(g))1=eなのでgr(g)1Ker r. g=gr(g)1r(g)なのでIm rKの補群である.

最後の条件が示すようにべき等な自己準同型が存在して像が核Kの補群になっているんですね.
次回は十分条件を調べたいと思います.

投稿日:2024116
更新日:25
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