半直積について1 半直積の定義と例

$G$が補群$H$を持つとすると$\pi:H\to G/K$, $h\mapsto hK$は同型である.
単射性を見る. $hK=K$とすると$h\in K\cap H=\{e\}$となり$h=e$.
全射性を見る.任意に$g\in G$を取る. 仮定から$g=hk$, $h\in H$, $k\in K$と表せる. $h^{-1}g=k\in K$から$hK=gK$であり$\pi (h)=gK$である.

(1)$\Rightarrow$(2)
$Q$を補群として$ax=a^{\prime}x^{\prime}$, $a,\ a^{\prime}\in K$, $x,\ x^{\prime}\in Q$とする. $a^{\prime -1}a=x^{\prime}x^{-1}\in K\cap Q=\{e\}$なので$a=a^{\prime}$, $x=x^{\prime}$.よって一意に表せる.
(2)$\Rightarrow$(3)
仮定を用いて$s:G/K\to G$を$Kx$ ($x\in Q$)と表したとき$s(Kx)=x$として定める. $Kx=Kx^{\prime}, x,\ x^{\prime}\in Q$とする.ここから一つ元をとると$kx=k^{\prime}x^{\prime}$ , $k,\ k^{\prime}\in K$と2通りに表せるが, 仮定の一意性から$k=k^{\prime}$, $x=x^{\prime}$なので$s$はwell-defined. $Q$が部分群をなすことと商群の積の定義から準同型であることは明らか. $g\in Q$とすると$\pi\circ s(Kg)=\pi(g)=Kg$なので$\pi\circ s=1_{G/K}$.
(3)$\Rightarrow$(4)
$s\circ \pi$が条件を満たすことを見る. $s(Kg)=s(Kg^{\prime})$ , $g,\ g^{\prime}\in G$とすると仮定から$Kg=\pi\circ s(Kg)=\pi\circ s(Kg^{\prime})=Kg^{\prime}$となり$s$は単射.よって
$g\in\text{Ker}\ s\circ\pi\Leftrightarrow Kg\in\text{Ker}\ s\Leftrightarrow g\in K$となり$\text{Ker}\ s\circ\pi=K$.
また$g\in \text{Im}\ s\circ\pi$とし$g=s\circ\pi(g^{\prime})$, $g^{\prime}\in G$とすると$s\circ\pi(s\circ\pi(g^{\prime}))=s\circ(\pi\circ s)\circ\pi(g^{\prime})=s\circ\pi(g^{\prime})$.
(4)$\Rightarrow$(1)
$g\in G$に対し$r(gr(g)^{-1})=r(g)r(r(g))^{-1}=e$なので$gr(g)^{-1}\in \text{Ker}\ r$. $g=gr(g)^{-1}r(g)$なので$\text{Im}\ r$は$K$の補群である.