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大学数学基礎解説

東大数理院試2024年度専門A問3解答

大学院入試
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$$\newcommand{Aut}[0]{\operatorname{Aut}} \newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{FF}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{Gal}[0]{\mathrm{Gal}} \newcommand{IIm}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{NN}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{PP}[0]{\mathbb{P}} \newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{RR}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{RRe}[0]{\operatorname{Re}} \newcommand{tr}[0]{\operatorname{tr}} \newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}} $$

東大数理の院試（2024年度専門A問3）の解答です．
自分が作った解答は ここ に置いてあります．

（東大数理2024年度専門A問3）

正の整数$n$に対して，以下の条件を満たす最大の整数$m$を求めよ．
(条件)$a_1, \dots, a_m \in \RR^n$が存在して，全ての相異なる$1 \leq i, j \leq m$に対して$a_i$と$a_j$のユークリッド内積が負である．

$u = (1, \dots, 1) \in \RR^n$とし，$e_i \, (i = 1, \dots, n)$を$\RR^n$の標準基底とする．$c > n^2$となる$c > 0$を取り，
\begin{align*} a_i &= ce_i - u \quad (i = 1, \dots, n) \\ a_{n + 1} &= -u \end{align*}
とすると$i < j \leq n$に対し$\left< a_i, a_j\right> = -2c + n^2 < 0,$$i \leq n$に対し$\left< a_i, a_{n + 1}\right> = -c + n^2 < 0$だから条件を満たす．
よって$m \geq n + 1$だが，$m \geq n + 2$の時は条件を満たさないことが 京大数理研平成22度基礎問2 と同様にして示せる．

従って答えは$m = n + 1.$

投稿日：2024年3月26日
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