東大数理院試2024年度専門A問3解答

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東大数理の院試（2024年度専門A問3）の解答です．
自分が作った解答はここに置いてあります．

（東大数理2024年度専門A問3）

正の整数 $n$ に対して，以下の条件を満たす最大の整数 $m$ を求めよ．
(条件) $a_{1}, \dots, a_{m} \in R^{n}$ が存在して，全ての相異なる $1 \leq i, j \leq m$ に対して $a_{i}$ と $a_{j}$ のユークリッド内積が負である．

$u = (1, \dots, 1) \in R^{n}$ とし， $e_{i} (i = 1, \dots, n)$ を $R^{n}$ の標準基底とする． $c > n^{2}$ となる $c > 0$ を取り，
$\begin{aligned} a_{i} & = c e_{i} - u (i = 1, \dots, n) \\ a_{n + 1} & = - u \end{aligned}$
とすると $i < j \leq n$ に対し $⟨ a_{i}, a_{j} ⟩ = - 2 c + n^{2} < 0,$ $i \leq n$ に対し $⟨ a_{i}, a_{n + 1} ⟩ = - c + n^{2} < 0$ だから条件を満たす．
よって $m \geq n + 1$ だが， $m \geq n + 2$ の時は条件を満たさないことが京大数理研平成22度基礎問2 と同様にして示せる．

従って答えは $m = n + 1.$

投稿日：2024年3月26日

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