院解15 京大数学系 H24 数学I 5 積分で定義された複素関数の微分

${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left|{\displaystyle \frac{e^{-|x|}}{x-z}}\right|dx\le {\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left|{\displaystyle \frac{e^{-|x|}}{\text{Im}z}}\right|dx<\mathrm{\infty }}}$であり,絶対収束しているのでルベーグ積分であるとして考える.スカラー倍で正則性は変わらないから,平行移動により$z$は純虚数であるとして示せば十分である.そこで,$z=ib$,$b\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{0\}$とおく.すると
${\displaystyle \frac{f(z+h)-f(z)}{h}}={\displaystyle \frac{1}{2\pi hi}}{\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}({\displaystyle \frac{e^{-|x|}}{x-ib-h}}-{\displaystyle \frac{e^{-|x|}}{x-ib}})dx}$
$={\displaystyle \frac{1}{2\pi i}}{\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{e^{-|x|}}{(x-ib-h)(x-ib)}}dx}$,ここで$|b-h|<{\displaystyle \frac{|b|}{2}}$のとき
${\displaystyle \frac{1}{2\pi }}\left|{\displaystyle \frac{e^{-|x|}}{(x-ib-h)(x-ib)}}\right|\le {\displaystyle \frac{1}{2\pi }}{\displaystyle \frac{2e^{-|x|}}{|b{|}^2}}$であり,この右辺が可積分であることからLebesgueの収束定理を用いることができ
${\displaystyle \frac{f(z+h)-f(z)}{h}}\to {\displaystyle \frac{1}{2\pi i}}{\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{e^{-|x|}}{(x-ib{)}^2}}dx}$,($h\to 0$).よって$\mathbb{C}\mathrm{\setminus }\mathbb{R}$で$f(z)$は正則である.

次に,被積分関数は$x$についての偶関数だから
$f(iϵ)-f(-iϵ)={\displaystyle \frac{1}{i\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{e^{-x}}{x^2+{ϵ}^2}}dx={\displaystyle \frac{2}{i\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{e^{-x}}{x^2+{ϵ}^2}}dx}}$.ここで,$x=ϵ\text{tan}t$とおく.
$f(iϵ)-f(-iϵ)={\displaystyle \frac{2}{i\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{e}^{-ϵ\text{tan}t}dt}$.$ϵ>0$だから$t\in [0,\frac{\pi }{2})$に対し$|e^{-ϵ\text{tan}t}|\le 1$.よってLebesgueの収束定理により
$(\text{与式})={\displaystyle \frac{2}{i\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}1dt=-i}$.$◻$