右正則表現の既約分解
右正則表現の既約分解を，指標を使わずに行います．この方法の利点として，重複度 (=表現の射のなす空間の次元) だけではなく，ベクトル空間としての標準的な同型という追加の情報が得られるという点が挙げられます．
この証明のアイデアは表現論の授業で習ったものですが，授業では左正則表現への射のなす空間を調べたのに対し，ここでは右正則表現からの射のなす空間を調べます．これにより，定理 4 の同型と米田の補題の標準的な証明との対応がわかりやすくなります．
以下，$G$を群 (有限と限らない)，$K$を体とします．$G$の単位元を$e$と書きます．
$K$ベクトル空間$V$と群準同型写像$\pi \colon G \to \operatorname{GL}(V)$の組$(V,\pi)$を$G$の表現という．
$\pi \colon G \to \operatorname{End}(V)$がモノイド準同型写像ならば，$\pi$の値域は$\operatorname{GL}(V)$に含まれ，$\pi$の終域を$\operatorname{GL}(V)$に取り換えたものは群準同型写像となる．
$(V_1,\pi_1),(V_2,\pi_2)$を$G$の表現とする．
線形写像$T \colon V_1 \to V_2$が表現$(V_1,\pi_1)$から表現$(V_2,\pi_2)$への射であるとは，任意の$g \in G$に対し$T \circ \pi_1(g) = \pi_2(g) \circ T$が成り立つことである．
$(V_1,\pi_1)$から$(V_2,\pi_2)$への射全体の集合は，$\operatorname{Hom}(V_1,V_2)$の部分空間をなす．この部分空間を$\operatorname{Hom}_G(V_1,V_2)$と書く．
$(V_1,\pi_1)$から$(V_2,\pi_2)$への射$T$が全単射であるとき，$T$は同型射であるという．
$(V_1,\pi_1)$から$(V_2,\pi_2)$への同型射が存在するとき，表現$(V_1,\pi_1)$と$(V_2,\pi_2)$は同型であるという．
$(V_1,\pi_1),(V_2,\pi_2),(V_3,\pi_3)$を$G$の表現，$T_{12} \in \operatorname{Hom}_G(V_1,V_2), T_{23} \in \operatorname{Hom}_G(V_2,V_3)$とする．このとき$T_{23} \circ T_{12} \in \operatorname{Hom}_G(V_1,V_3)$．
$K[G]$で群環$\{f \colon G \to K \mid |\{g \in G \mid f(g) \neq 0)\}| < \infty\}$を表す．$K[G]$を各点の和とスカラー倍によりベクトル空間とみなす．
$g \in G$に対し，$K[G]$の元$f \colon G \to K, x \mapsto \begin{cases} 1 & (x=g) \\ 0 & (x \neq g) \end{cases}$を$\delta_g$と書く．このとき$(\delta_g)_{g \in G}$はベクトル空間$K[G]$の基底となるので，ベクトル空間$V$に対し，線形写像$K[G] \to V$を定めることは各$\delta_g$の像を定めることと等価であることに注意する．
写像$\rho \colon G \to \operatorname{GL}(K[G])$を
$$\rho(g)(\delta_x) = \delta_{xg^{-1}} \quad (g,x \in G)$$
と定めると，$(K[G],\rho)$は$G$の表現となる．この表現を$G$の右正則表現という．
$(K[G],\rho)$が$G$の表現となることを示す．
$x \in G$とすると，$\rho(e)(\delta_x) = \delta_{xe^{-1}} = \delta_x$であるから，$\rho(e) = \mathrm{id}_{K[G]}$である．
次に$g,h \in G$とする．$x \in G$とすると，$(\rho(g)\circ\rho(h))(\delta_x) = \delta_{xh^{-1}g^{-1}} = \delta_{x(gh)^{-1}} = \rho(gh)(\delta_x)$であるから，$\rho(g) \circ \rho(h)=\rho(gh)$である．
以下，$K[G]$の表現は右正則表現を考える．
$g \in G$に対し，線形写像$\lambda(g) \colon K[G] \to K[G]$を
$$\lambda(g)(\delta_x) = \delta_{gx}$$
と定めると，以下が成り立つ:
- $\lambda(e) = \mathrm{id}_{K[G]}$
- $\lambda(g) \circ \lambda(h) = \lambda(gh) \quad (g,h \in G)$
- $\lambda(g) \in \operatorname{Hom}_G(K[G],K[G]) \quad (g \in G)$
- $x \in G$とすると$\lambda(e)(\delta_x) = \delta_{ex} = \delta_x$．よって$\lambda(e) = \operatorname{id}_{K[G]}$．
- $g,h \in G$とする．$x \in G$とすると$(\lambda(g)\circ\lambda(h))(\delta_x) = \delta_{ghx} = \lambda(gh)(\delta_x)$．よって$\lambda(g) \circ \lambda(h) = \lambda(gh)$．
- $g \in G, h \in G$とする．$x \in G$とすると$(\lambda(g) \circ \rho(h))(\delta_x) = \lambda(g)(\delta_{xh^{-1}}) = \delta_{ghx^{-1}} = \rho(h)(\delta_{gh}) = (\rho(h) \circ \lambda(g))(\delta_x)$．よって$\lambda(g) \circ \rho(h) = \rho(h) \circ \lambda(g)$．
$(V,\pi)$を$G$の表現とする．表現$\pi^\ast \colon G \to \operatorname{GL}(\operatorname{Hom}_G(K[G],V))$を
$$\pi^\ast(g)(\varphi) = \varphi \circ \lambda(g^{-1}) \quad (g \in G, \varphi \in \operatorname{Hom}_G(K[G],V))$$
で定めると，$(\operatorname{Hom}_G(K[G],V),\pi^\ast)$は$G$の表現である．
$g \in G, \varphi \in \operatorname{Hom}_G(K[G],V)$とする．補題 2 より$\lambda(g^{-1}) \in \operatorname{Hom}_G(K[G],K[G])$であるから，$\varphi \circ \lambda(g^{-1}) \in \operatorname{Hom}_G(K[G],V)$である．
$g \in G$とすると，写像$\operatorname{Hom}_G(K[G],V) \to \operatorname{Hom}_G(K[G],V), \varphi \mapsto \varphi \circ \lambda(g^{-1})$は線形写像である．
$\varphi \in \operatorname{Hom}_G(K[G],V)$とする．補題 2 より $\pi^\ast(e)(\varphi) = \varphi \circ \lambda(e) = \varphi$であるから$\pi^\ast(e) = \mathrm{id}_{\operatorname{Hom}_G(K[G],V)}$．
$g,h \in G, \varphi \in \operatorname{Hom}_G(K[G],V)$とする．補題 2 より$(\pi^\ast(g)\circ\pi^\ast(h))(\varphi) = \varphi \circ \lambda(h^{-1}) \circ \lambda(g^{-1}) = \varphi\circ\lambda((gh)^{-1}) = \pi^\ast(gh)(\varphi)$であるから$\pi^\ast(g)\pi^\ast(h) = \pi^\ast(gh)$．
$(V,\pi)$を$G$の表現とする．このとき$(\operatorname{Hom}_G(K[G],V),\pi^\ast)$と$(V,\pi)$は同型である．
線形写像$\Phi \colon \operatorname{Hom}_G(K[G],V) \to V$を$\Phi(\varphi) = \varphi(\delta_e) \quad (\varphi \in \operatorname{Hom}_G(K[G],V))$と定める．この$\Phi$が表現の同型射となっていることを示す．
$\Phi$が全単射であることを示すために，$\Phi$の逆写像を構成する．線形写像$\Psi \colon V \to \operatorname{Hom}_G(K[G],V)$を$\Psi(v)(\delta_g) = \pi(g^{-1})(v) \quad (v \in V, g \in G)$と定める．
$\Psi$が well-defined であることを示す．そのためには$v \in V$とし，線形写像$\varphi \colon K[G] \to V, \delta_g \mapsto \pi(g^{-1})(v)$が表現の射であることを示せばよい．$h \in G$とする．$g \in G$とすると，
\begin{align*}(\pi(h) \circ \varphi)(\delta_g) &= \pi(h)(\pi(g^{-1})(v)) \\ &= \pi(hg^{-1})(v) \\ &= \pi((gh^{-1})^{-1})(v) \\ &= \varphi(\delta_{gh^{-1}}) \\ &= \varphi(\rho(h)(\delta_g)) \\ &= (\varphi \circ \rho(h))(\delta_g)\end{align*}
であるから，$\pi(h) \circ \varphi = \varphi \circ \rho(h)$．
$\Psi \circ \Phi = \mathrm{id}_{\operatorname{Hom}_G(K[G],V)}$を示す．
$\varphi \in \operatorname{Hom}_G(K[G],V)$とする．$(\Psi \circ \Phi)(\varphi)=\varphi$を示せばよい．$g \in G$とすると，
\begin{align*}(\Psi \circ \Phi)(\varphi)(\delta_g) &= (\Psi(\varphi(\delta_e)))(\delta_g) \\ &= \pi(g^{-1})(\varphi(\delta_e)) \\ &= \varphi(\rho(g^{-1})(\delta_e)) \\ &= \varphi(\delta_g)\end{align*}
であるから，$(\Psi \circ \Phi)(\varphi)=\varphi$．
$\Phi \circ \Psi = \mathrm{id}_V$を示す．
$v \in V$とすると，
\begin{align*}(\Phi \circ \Psi)(v) &= \Phi(\Psi(v)) \\ &= \Psi(v)(\delta_e) \\ &= \pi(e^{-1})(v) \\ &= v\end{align*}
よって$\Psi$は$\Phi$の逆写像であり，特に$\Phi$は全単射である．
$\Phi$が表現の射であることを示す．
$g \in G$とする．$\varphi \in \operatorname{Hom}_G(K[G],V)$とすると，
\begin{align*}(\Phi \circ \pi^\ast(g))(\varphi) &= \Phi(\varphi \circ \lambda(g^{-1})) \\ &= (\varphi \circ \lambda(g^{-1}))(\delta_e) \\ &= \varphi(\delta_{g^{-1}}) \\ &= \varphi(\rho(g)(\delta_e)) \\ &= \pi(g)(\varphi(\delta_e)) \\ &= (\pi(g) \circ \Phi)(\varphi)\end{align*}
であるから，$\Phi \circ \pi^\ast(g) = \pi(g) \circ \Phi$．
$G$を有限群，$K$を標数$0$の代数閉体，$(V,\pi)$を$G$の既約表現とする．このとき右正則表現$(K[G],\rho)$における$V$の重複度は$\dim V$に等しい．
Maschke の定理，Schur の補題と定理 4 より従う．
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