牛刀割鶏 3 (多項式の合同式)

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導入

　今回は，合同式というものについて考えてみたいと思います．合同式といえば，整数の話題として知っている人が多いでしょう．２つの整数 $a$ ， $b$ をある整数 $p$ で割った余りが等しいなら， $a \equiv b$ と書いて合同とする（等しいとみなす）というアレです．
　しかし多項式にも余りがあるので，多項式にも合同式というものが定義されます．本稿では，整数の合同式からはじめて多項式の合同式を導入し，これを使って大学入試の問題を解いていきます．~~いつもの通り，大学数学すげえ！となりたいだけ~~．

牛刀の準備

整数の割り算と合同式

整数の商と余り

　２つの整数 $a$ ， $b (b \neq 0)$ に対して $a = b q + r$ となる整数 $q$ ， $r$ （ただし $0 ≦ r < b$ ）の組がただ一つ存在する．この $q$ を $a$ を $b$ で割った商と呼び， $r$ を $a$ を $b$ で割った余りと呼ぶ．

小学校でもやりましたよね，割り算の商と余りの話です．これは今さら書くまでもないことかもしれません．

商と余りの一意性

　「商と余りがただ一つ存在する」ということが少々気になる人もいるかと思います．そこで以下に証明を書いておきます．

証明

　まず商と余りが存在することを証明する． $b > 0$ としても一般性を失わないので以下この下で考える．数 $\frac{a}{b}$ は実数ゆえ， $q \leq \frac{a}{b} < q + 1$ となる整数 $q$ が存在する．よって $r = a - b q$ とおけば $a = b q + r$ が得られる．そして $\frac{a}{b} - 1 < q \leq \frac{a}{b}$ より $0 \leq r < b$ を得る．よって商と余りの存在が示せた．
　次に一意性を証明する．そこで相異なる商と余りのペアが２個以上存在すると仮定し，そのうちの２つを $(q_{1}, r_{1})$ と $(q_{2}, r_{2})$ としてとる．すると
$a = b q_{1} + r_{1} = b q_{2} + r_{2}, ∴ b (q_{1} - q_{2}) = r_{2} - r_{1}$
左辺は $b$ の倍数ゆえ右辺も $b$ の倍数．そして $0 \leq r_{1}, r_{2} < b$ であることより $- b < r_{2} - r_{1} < b$ となるので $r_{2} - r_{1} = 0$ ，つまり $r_{1} = r_{2}$ と分かる．これを用いると $b (q_{1} - q_{2}) = 0$ となり $b \neq 0$ ゆえ $q_{1} = q_{2}$ と分かる．以上より $(q_{1}, r_{1}) = (q_{2}, r_{2})$ となってしまうが，これは仮定に矛盾する．背理法より示された．

ここから（整数に対する）合同式が定義できます．

整数の合同

　２つの整数 $a$ ， $b$ を自然数 $p$ で割った余りが等しいことを
$a \equiv b (\mod p)$
と書き， $a$ と $b$ は $p$ を法として合同であるという．

合同式の別定義

　 $a \equiv b (\mod p)$ を「 $a - b$ が $p$ の倍数となる」と定義する流派もあるようです．

また，以下の性質が成り立ちます．証明は容易なのでやってみてください．

整数の合同式における性質

　以下， $p$ を法とする． $a \equiv b$ かつ $c \equiv d$ が成り立つとき
$a \pm c \equiv b \pm d, a c \equiv b d, a^{n} \equiv b^{n} (n \in N)$
も成り立つ．

多項式の割り算と合同式

　多項式にも，整数と同様に割り算が定義できます．

多項式の割り算

　多項式 $A (x)$ ， $B (x)$ に対して
$A (x) = B (x) Q (x) + R (x), 0 \leq \deg R (x) < \deg B (x)$
となる多項式 $Q (x)$ ， $R (x)$ がただ一つ存在する．この $Q (x)$ を $A (x)$ を $B (x)$ で割った商と呼び， $R (x)$ を $A (x)$ を $B (x)$ で割った余りと呼ぶ．

記号

\deg

について

　記号 $\deg$ は多項式の次数を表す．つまり $m$ 次多項式 $P (x)$ に対して $\deg P (x) = m$ ．

ここから，整数と同様に，多項式にも合同式が定義できます．

多項式の合同

　２つの多項式 $A (x)$ ， $B (x)$ を多項式 $P (x)$ で割った余りが等しいことを
$A (x) \equiv B (x) (\mod P (x))$
と書き， $A (x)$ と $B (x)$ は $P (x)$ を法として合同であるという．

また，整数の合同式と同様の性質が成り立ちます．

多項式の合同式における性質

　以下， $P (x)$ を法とする． $A (x) \equiv B (x)$ かつ $C (x) \equiv D (x)$ が成り立つとき
$\begin{aligned} A (x) \pm C (x) & \equiv B (x) \pm D (x), \\ A (x) C (x) & \equiv B (x) D (x), \\ {A (x)}^{n} & \equiv {B (x)}^{n} (n \in N) \end{aligned}$
も成り立つ．

大学入試問題で牛刀割鶏

2021 早稲田大

2021 早稲田大学基幹・創造・先進理工学部第２問

　整式 $f (x) = x^{4} - x^{2} + 1$ について，以下の問いに答えよ．
(1) $x^{6}$ を $f (x)$ で割ったときの余りを求めよ．
(2) $x^{2021}$ を $f (x)$ で割ったときの余りを求めよ．
(3) 自然数 $n$ が $3$ の倍数であるとき， $(x^{2} - 1)^{n} - 1$ が $f (x)$ で割り切れることを示せ．

解答

　以下， $f (x)$ を法とする．すると $x^{4} - x^{2} + 1 \equiv 0$ より $x^{4} \equiv x^{2} - 1$ が成り立つ．
(1) $x^{4} \equiv x^{2} - 1$ と $x^{2} \equiv x^{2}$ より， $x^{6} \equiv x^{4} - x^{2} \equiv (x^{2} - 1) - x^{2} = - 1$ ．よって求める余りは $- 1$ ．
(2) 前問の結果より $x^{6} \equiv - 1$ で，これと $x^{4} \equiv x^{2} - 1$ を用いると， $x^{2021} \equiv x \cdot x^{4} \cdot (x^{6})^{336} \equiv x (x^{2} - 1)$ ．よって求める余りは $x (x^{2} - 1) = x^{3} - x$ ．
(3) $n = 3 k (k \in N)$ とおける． $x^{6} \equiv - 1$ および $x^{4} \equiv x^{2} - 1$ を用いると $(x^{2} - 1)^{n} - 1 \equiv x^{12 k} - 1 = (x^{6})^{2 k} - 1 \equiv (- 1)^{2 k} - 1 = 0$ ．よって示された．

2019 京都大

2019 京都大学文系第１問 (1)

　 $a$ は実数とする． $x$ に関する整式 $x^{5} + 2 x^{4} + a x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2$ を整式 $x^{3} + x^{2} + x + 1$ で割ったときの商を $Q (x)$ ，余りを $R (x)$ とする． $R (x)$ の $x$ の $1$ 次の項の係数が $1$ のとき， $a$ の値を定め，さらに $Q (x)$ と $R (x)$ を求めよ．

解答

　以下， $P (x) := x^{3} + x^{2} + x + 1$ を法とする．このとき $x^{3} + x^{2} + x + 1 \equiv 0$ であり
$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) \equiv 0, ∴ x^{4} \equiv 1$
となる．このとき
$\begin{aligned} x^{5} + 2 x^{4} + a x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2 & \equiv x + 2 + a (- x^{2} - x - 1) + 3 x^{2} + 3 x + 2 \\ \equiv (3 - a) x^{2} + (4 - a) x + 4 - a . \end{aligned}$
これが $R (x)$ となる．これの $1$ 次の係数が $1$ ゆえ $4 - a = 1$ ，よって $a = 3$ ．このとき
$R (x) = x + 1.$
そして
$\begin{aligned} (x^{5} + 2 x^{4} + a x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2) - R (x) & = x^{5} + 2 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 1 \\ = (x^{2} + x + 1) P (x) \end{aligned}$
ゆえ $Q (x) = x^{2} + x + 1$ ．

2018 東京慈恵会医科大

2018 東京慈恵会医科大医学部第３問

　自然数 $n$ に対して，整式 $f_{n} (x)$ を次のように定める．
$\begin{aligned} f_{1} (x) & = x^{2} + x - \frac{1}{4}, \\ f_{n} (x) & = f_{1} (f_{n - 1} (x)) (n ≧ 2) \end{aligned}$
$f_{n} (x)$ を $x^{2}$ で割った余りを $a_{n} x + b_{n}$ とするとき，次の問いに答えよ．
(1) $a_{2}$ ， $b_{2}$ を求めよ．
(2) 極限値 $lim_{n \to \infty} a_{n}$ を求めよ．

解答

　以下， $x^{2}$ を法とする．このとき
$\begin{aligned} f_{n + 1} (x) & = {f_{n} (x)}^{2} + f_{n} (x) - \frac{1}{4} \\ \equiv (a_{n} x + b_{n})^{2} + (a_{n} x + b_{n}) - \frac{1}{4} \\ \equiv (2 b_{n} + 1) a_{n} x + {b_{n}}^{2} + b_{n} - \frac{1}{4} \end{aligned}$
を得るので
$\begin{aligned} a_{n + 1} & = (2 b_{n} + 1) a_{n}, \\ b_{n + 1} & = {b_{n}}^{2} + b_{n} - \frac{1}{4} \end{aligned}$
を得る．
(1) $a_{1} = 1$ ， $b_{1} = - 1 / 4$ なので，調べることにより $a_{2} = 1 / 2$ ， $b_{2} = - 7 / 16$ ．
(2) 漸化式より $b_{n + 1} + \frac{1}{2} = {(b_{n} + \frac{1}{2})}^{2}$ ゆえ
$b_{n} + \frac{1}{2} = {(b_{1} + \frac{1}{2})}^{2^{n - 1}} = 2^{- 2^{n}}, ∴ b_{n} = 2^{- 2^{n}} - \frac{1}{2} .$
よって $a_{n + 1} = 2^{1 - 2^{n}} a_{n}$ なので， $\prod_{k = 1}^{n - 1} \frac{a_{k + 1}}{a_{k}} = \frac{a_{n}}{a_{1}}$ を考えると
$\frac{a_{n}}{a_{1}} = 2^{\sum_{k = 1}^{n - 1} (1 - 2^{k})} = 2^{(n - 1) - 2 (2^{n - 1} - 1)} = 2^{n + 1 - 2^{n}}, ∴ a_{n} = 2^{n + 1 - 2^{n}} .$
ここで $n + 1 - 2^{n} = 2^{n} (\frac{n + 1}{2^{n}} - 1) \to - \infty (n \to \infty)$ であるから
$lim_{n \to \infty} a_{n} = 0.$