0

牛刀割鶏 3 (多項式の合同式)

304
0
$$$$

導入

 今回は,合同式というものについて考えてみたいと思います.合同式といえば,整数の話題として知っている人が多いでしょう.2つの整数$a$$b$をある整数$p$で割った余りが等しいなら,$a \equiv b$と書いて合同とする(等しいとみなす)というアレです.
 しかし多項式にも余りがあるので,多項式にも合同式というものが定義されます.本稿では,整数の合同式からはじめて多項式の合同式を導入し,これを使って大学入試の問題を解いていきます.いつもの通り,大学数学すげえ!となりたいだけ

牛刀の準備

整数の割り算と合同式

整数の商と余り

 2つの整数$a$$b\ (b \neq 0)$に対して$a = b q + r$となる整数$q$$r$(ただし$0 \leqq r < b$)の組がただ一つ存在する.この$q$$a$$b$で割った商と呼び,$r$$a$$b$で割った余りと呼ぶ.

小学校でもやりましたよね,割り算の商と余りの話です.これは今さら書くまでもないことかもしれません.

商と余りの一意性

 「商と余りがただ一つ存在する」ということが少々気になる人もいるかと思います.そこで以下に証明を書いておきます.

証明

 まず商と余りが存在することを証明する.$b > 0$としても一般性を失わないので以下この下で考える.数$\dfrac{a}{b}$は実数ゆえ,$q \leq \dfrac{a}{b} < q + 1$となる整数$q$が存在する.よって$r = a - b q$とおけば$a = b q + r$が得られる.そして$\dfrac{a}{b} - 1 < q \leq \dfrac{a}{b}$より$0 \leq r < b$を得る.よって商と余りの存在が示せた.
 次に一意性を証明する.そこで相異なる商と余りのペアが2個以上存在すると仮定し,そのうちの2つを$(q_1,\ r_1)$$(q_2,\ r_2)$としてとる.すると
$$ a = b q_1 + r_1 = b q_2 + r_2, \qquad \therefore b (q_1 - q_2) = r_2 - r_1 $$
左辺は$b$の倍数ゆえ右辺も$b$の倍数.そして$0 \leq r_1,\ r_2 < b$であることより$- b < r_2 - r_1 < b$となるので$r_2 - r_1 = 0$,つまり$r_1 = r_2$と分かる.これを用いると$b(q_1 - q_2) = 0$となり$b \neq 0$ゆえ$q_1 = q_2$と分かる.以上より$(q_1,\ r_1) = (q_2,\ r_2)$となってしまうが,これは仮定に矛盾する.背理法より示された.

ここから(整数に対する)合同式が定義できます.

整数の合同

 2つの整数$a$$b$を自然数$p$で割った余りが等しいことを
$$ a \equiv b \quad (\mathrm{mod}\ p) $$
と書き,$a$$b$$p$を法として合同であるという.

合同式の別定義

 $a \equiv b \ (\mathrm{mod}\ p)$を「$a - b$$p$の倍数となる」と定義する流派もあるようです.

また,以下の性質が成り立ちます.証明は容易なのでやってみてください.

整数の合同式における性質

 以下,$p$を法とする.$a \equiv b$かつ$c \equiv d$が成り立つとき
$$ a \pm c \equiv b \pm d, \qquad ac \equiv bd, \qquad a^n \equiv b^n \ (n \in \mathbb{N}) $$
も成り立つ.

多項式の割り算と合同式

 多項式にも,整数と同様に割り算が定義できます.

多項式の割り算

 多項式$A(x)$$B(x)$に対して
$$ A(x) = B(x) Q(x) + R(x), \qquad 0 \leq \deg{R(x)} < \deg{B(x)} $$
となる多項式$Q(x)$$R(x)$がただ一つ存在する.この$Q(x)$$A(x)$$B(x)$で割った商と呼び,$R(x)$$A(x)$$B(x)$で割った余りと呼ぶ.

記号$\deg$について

 記号$\deg$は多項式の次数を表す.つまり$m$次多項式$P(x)$に対して$\deg{P(x)} = m$

ここから,整数と同様に,多項式にも合同式が定義できます.

多項式の合同

 2つの多項式$A(x)$$B(x)$を多項式$P(x)$で割った余りが等しいことを
$$ A(x) \equiv B(x) \quad (\mathrm{mod}\ P(x)) $$
と書き,$A(x)$$B(x)$$P(x)$を法として合同であるという.

また,整数の合同式と同様の性質が成り立ちます.

多項式の合同式における性質

 以下,$P(x)$を法とする.$A(x) \equiv B(x)$かつ$C(x) \equiv D(x)$が成り立つとき
\begin{align} A(x) \pm C(x) &\equiv B(x) \pm D(x), \\ A(x)C(x) &\equiv B(x)D(x), \\ \{A(x)\}^n &\equiv \{B(x)\}^n \qquad (n \in \mathbb{N}) \end{align}
も成り立つ.

大学入試問題で牛刀割鶏

2021 早稲田大

2021 早稲田大学 基幹・創造・先進理工学部 第2問

 整式$f(x) = x^4 - x^2 + 1$について,以下の問いに答えよ.
(1) $x^6$$f(x)$で割ったときの余りを求めよ.
(2) $x^{2021}$$f(x)$で割ったときの余りを求めよ.
(3) 自然数$n$$3$の倍数であるとき,$(x^2 - 1)^n - 1$$f(x)$で割り切れることを示せ.

解答

 以下,$f(x)$を法とする.すると$x^4 - x^2 + 1 \equiv 0$より$x^4 \equiv x^2 - 1$が成り立つ.
(1) $x^4 \equiv x^2 - 1$$x^2 \equiv x^2$より,$x^6 \equiv x^4 - x^2 \equiv (x^2 - 1) - x^2 = -1$.よって求める余りは$-1$
(2) 前問の結果より$x^6 \equiv - 1$で,これと$x^4 \equiv x^2 - 1$を用いると,$x^{2021} \equiv x \cdot x^4 \cdot (x^6)^{336} \equiv x(x^2 - 1)$.よって求める余りは$x(x^2 - 1) = x^3 - x$
(3) $n = 3 k \ (k \in \mathbb{N})$とおける.$x^6 \equiv -1$および$x^4 \equiv x^2 - 1$を用いると$(x^2 - 1)^n - 1 \equiv x^{12 k} - 1 = (x^6)^{2k} - 1 \equiv (-1)^{2k} - 1 = 0$.よって示された.

2019 京都大

2019 京都大学 文系 第1問 (1)

 $a$は実数とする.$x$に関する整式$x^5 + 2 x^4 + a x^3 + 3 x^2 + 3 x + 2$を整式$x^3 + x^2 + x + 1$で割ったときの商を$Q(x)$,余りを$R(x)$とする.$R(x)$$x$$1$次の項の係数が$1$のとき,$a$の値を定め,さらに$Q(x)$$R(x)$を求めよ.

解答

 以下,$P(x) := x^3 + x^2 + x + 1$を法とする.このとき$x^3 + x^2 + x + 1 \equiv 0$であり
$$ (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1) \equiv 0, \qquad \therefore x^4 \equiv 1 $$
となる.このとき
\begin{align} x^5 + 2 x^4 + a x^3 + 3 x^2 + 3 x + 2 &\equiv x + 2 + a (- x^2 - x - 1) + 3 x^2 + 3 x + 2 \\ &\equiv (3-a)x^2 + (4 - a) x + 4 - a. \end{align}
これが$R(x)$となる.これの$1$次の係数が$1$ゆえ$4 - a = 1$,よって$a = 3$.このとき
$$ R(x) = x + 1. $$
そして
\begin{align} (x^5 + 2 x^4 + a x^3 + 3 x^2 + 3 x + 2) - R(x) &= x^5 + 2 x^4 + 3 x^3 + 3 x^2 + 2 x + 1 \\ &= (x^2 + x + 1) P(x) \end{align}
ゆえ$Q(x) = x^2 + x + 1$

2018 東京慈恵会医科大

2018 東京慈恵会医科大 医学部 第3問

 自然数$n$に対して,整式$f_n(x)$を次のように定める.
\begin{align} f_1(x) &= x^2 + x - \frac{1}{4}, \\ f_{n}(x) &= f_1(f_{n-1}(x)) \qquad (n \geqq 2) \end{align}
$f_n(x)$$x^2$で割った余りを$a_n x + b_n$とするとき,次の問いに答えよ.
(1) $a_2$$b_2$を求めよ.
(2) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ.

解答

 以下,$x^2$を法とする.このとき
\begin{align} f_{n+1}(x) &= \{f_n(x)\}^2 + f_n(x) - \frac{1}{4} \\ &\equiv (a_n x + b_n)^2 + (a_n x + b_n) - \frac{1}{4} \\ &\equiv (2 b_n + 1)a_n x + {b_n}^2 + b_n - \frac{1}{4} \end{align}
を得るので
\begin{align} a_{n+1} &= (2 b_n + 1) a_n, \\ b_{n+1} &= {b_n}^2 + b_n - \frac{1}{4} \end{align}
を得る.
(1) $a_1 = 1$$b_1 = - 1/4$なので,調べることにより$a_2 = 1/2$$b_2 = -7/16$
(2) 漸化式より$b_{n+1} + \dfrac{1}{2} = \left(b_n + \dfrac{1}{2}\right)^2$ゆえ
$$ b_n + \frac{1}{2} = \left(b_1 + \frac{1}{2}\right)^{2^{n-1}} = 2^{-2^n}, \qquad \therefore b_n = 2^{-2^n} - \frac{1}{2}. $$
よって$a_{n+1} = 2^{1 - 2^n} a_n$なので,$\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{a_n}{a_1}$を考えると
$$ \frac{a_n}{a_1} = 2^{\sum_{k=1}^{n-1} (1 - 2^k)} = 2^{(n-1) - 2(2^{n-1} - 1)} = 2^{n+1-2^n}, \qquad \therefore a_n = 2^{n+1-2^n}. $$
ここで$n+1-2^n = 2^n \left(\dfrac{n+1}{2^n} - 1\right) \to - \infty \ (n \to \infty)$であるから
$$ \lim_{n \to \infty} a_n = 0. $$

投稿日:228
更新日:317
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

のんびりやります

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中