牛刀割鶏 3 (多項式の合同式)
導入
今回は，合同式というものについて考えてみたいと思います．合同式といえば，整数の話題として知っている人が多いでしょう．２つの整数$a$，$b$をある整数$p$で割った余りが等しいなら，$a \equiv b$と書いて合同とする（等しいとみなす）というアレです．
しかし多項式にも余りがあるので，多項式にも合同式というものが定義されます．本稿では，整数の合同式からはじめて多項式の合同式を導入し，これを使って大学入試の問題を解いていきます．いつもの通り，大学数学すげえ！となりたいだけ．
牛刀の準備
整数の割り算と合同式
２つの整数$a$，$b\ (b \neq 0)$に対して$a = b q + r$となる整数$q$，$r$（ただし$0 \leqq r < b$）の組がただ一つ存在する．この$q$を$a$を$b$で割った商と呼び，$r$を$a$を$b$で割った余りと呼ぶ．
小学校でもやりましたよね，割り算の商と余りの話です．これは今さら書くまでもないことかもしれません．
「商と余りがただ一つ存在する」ということが少々気になる人もいるかと思います．そこで以下に証明を書いておきます．
証明
まず商と余りが存在することを証明する．$b > 0$としても一般性を失わないので以下この下で考える．数$\dfrac{a}{b}$は実数ゆえ，$q \leq \dfrac{a}{b} < q + 1$となる整数$q$が存在する．よって$r = a - b q$とおけば$a = b q + r$が得られる．そして$\dfrac{a}{b} - 1 < q \leq \dfrac{a}{b}$より$0 \leq r < b$を得る．よって商と余りの存在が示せた．
次に一意性を証明する．そこで相異なる商と余りのペアが２個以上存在すると仮定し，そのうちの２つを$(q_1,\ r_1)$と$(q_2,\ r_2)$としてとる．すると
$$
a = b q_1 + r_1 = b q_2 + r_2, \qquad \therefore b (q_1 - q_2) = r_2 - r_1
$$
左辺は$b$の倍数ゆえ右辺も$b$の倍数．そして$0 \leq r_1,\ r_2 < b$であることより$- b < r_2 - r_1 < b$となるので$r_2 - r_1 = 0$，つまり$r_1 = r_2$と分かる．これを用いると$b(q_1 - q_2) = 0$となり$b \neq 0$ゆえ$q_1 = q_2$と分かる．以上より$(q_1,\ r_1) = (q_2,\ r_2)$となってしまうが，これは仮定に矛盾する．背理法より示された．
ここから（整数に対する）合同式が定義できます．
２つの整数$a$，$b$を自然数$p$で割った余りが等しいことを
$$
a \equiv b \quad (\mathrm{mod}\ p)
$$
と書き，$a$と$b$は$p$を法として合同であるという．
$a \equiv b \ (\mathrm{mod}\ p)$を「$a - b$が$p$の倍数となる」と定義する流派もあるようです．
また，以下の性質が成り立ちます．証明は容易なのでやってみてください．
以下，$p$を法とする．$a \equiv b$かつ$c \equiv d$が成り立つとき
$$
a \pm c \equiv b \pm d, \qquad ac \equiv bd, \qquad a^n \equiv b^n \ (n \in \mathbb{N})
$$
も成り立つ．
多項式の割り算と合同式
多項式にも，整数と同様に割り算が定義できます．
多項式$A(x)$，$B(x)$に対して
$$
A(x) = B(x) Q(x) + R(x), \qquad 0 \leq \deg{R(x)} < \deg{B(x)}
$$
となる多項式$Q(x)$，$R(x)$がただ一つ存在する．この$Q(x)$を$A(x)$を$B(x)$で割った商と呼び，$R(x)$を$A(x)$を$B(x)$で割った余りと呼ぶ．
記号$\deg$は多項式の次数を表す．つまり$m$次多項式$P(x)$に対して$\deg{P(x)} = m$．
ここから，整数と同様に，多項式にも合同式が定義できます．
２つの多項式$A(x)$，$B(x)$を多項式$P(x)$で割った余りが等しいことを
$$
A(x) \equiv B(x) \quad (\mathrm{mod}\ P(x))
$$
と書き，$A(x)$と$B(x)$は$P(x)$を法として合同であるという．
また，整数の合同式と同様の性質が成り立ちます．
以下，$P(x)$を法とする．$A(x) \equiv B(x)$かつ$C(x) \equiv D(x)$が成り立つとき
\begin{align}
A(x) \pm C(x) &\equiv B(x) \pm D(x), \\
A(x)C(x) &\equiv B(x)D(x), \\
\{A(x)\}^n &\equiv \{B(x)\}^n \qquad (n \in \mathbb{N})
\end{align}
も成り立つ．
大学入試問題で牛刀割鶏
2021 早稲田大
整式$f(x) = x^4 - x^2 + 1$について，以下の問いに答えよ．
(1) $x^6$を$f(x)$で割ったときの余りを求めよ．
(2) $x^{2021}$を$f(x)$で割ったときの余りを求めよ．
(3) 自然数$n$が$3$の倍数であるとき，$(x^2 - 1)^n - 1$が$f(x)$で割り切れることを示せ．
解答
以下，$f(x)$を法とする．すると$x^4 - x^2 + 1 \equiv 0$より$x^4 \equiv x^2 - 1$が成り立つ．
(1) $x^4 \equiv x^2 - 1$と$x^2 \equiv x^2$より，$x^6 \equiv x^4 - x^2 \equiv (x^2 - 1) - x^2 = -1$．よって求める余りは$-1$．
(2) 前問の結果より$x^6 \equiv - 1$で，これと$x^4 \equiv x^2 - 1$を用いると，$x^{2021} \equiv x \cdot x^4 \cdot (x^6)^{336} \equiv x(x^2 - 1)$．よって求める余りは$x(x^2 - 1) = x^3 - x$．
(3) $n = 3 k \ (k \in \mathbb{N})$とおける．$x^6 \equiv -1$および$x^4 \equiv x^2 - 1$を用いると$(x^2 - 1)^n - 1 \equiv x^{12 k} - 1 = (x^6)^{2k} - 1 \equiv (-1)^{2k} - 1 = 0$．よって示された．
2019 京都大
$a$は実数とする．$x$に関する整式$x^5 + 2 x^4 + a x^3 + 3 x^2 + 3 x + 2$を整式$x^3 + x^2 + x + 1$で割ったときの商を$Q(x)$，余りを$R(x)$とする．$R(x)$の$x$の$1$次の項の係数が$1$のとき，$a$の値を定め，さらに$Q(x)$と$R(x)$を求めよ．
解答
以下，$P(x) := x^3 + x^2 + x + 1$を法とする．このとき$x^3 + x^2 + x + 1 \equiv 0$であり
$$
(x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1) \equiv 0, \qquad \therefore x^4 \equiv 1
$$
となる．このとき
\begin{align}
x^5 + 2 x^4 + a x^3 + 3 x^2 + 3 x + 2 &\equiv x + 2 + a (- x^2 - x - 1) + 3 x^2 + 3 x + 2 \\
&\equiv (3-a)x^2 + (4 - a) x + 4 - a.
\end{align}
これが$R(x)$となる．これの$1$次の係数が$1$ゆえ$4 - a = 1$，よって$a = 3$．このとき
$$
R(x) = x + 1.
$$
そして
\begin{align}
(x^5 + 2 x^4 + a x^3 + 3 x^2 + 3 x + 2) - R(x) &= x^5 + 2 x^4 + 3 x^3 + 3 x^2 + 2 x + 1 \\
&= (x^2 + x + 1) P(x)
\end{align}
ゆえ$Q(x) = x^2 + x + 1$．
2018 東京慈恵会医科大
自然数$n$に対して，整式$f_n(x)$を次のように定める．
\begin{align}
f_1(x) &= x^2 + x - \frac{1}{4}, \\
f_{n}(x) &= f_1(f_{n-1}(x)) \qquad (n \geqq 2)
\end{align}
$f_n(x)$を$x^2$で割った余りを$a_n x + b_n$とするとき，次の問いに答えよ．
(1) $a_2$，$b_2$を求めよ．
(2) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ．
解答
以下，$x^2$を法とする．このとき
\begin{align}
f_{n+1}(x) &= \{f_n(x)\}^2 + f_n(x) - \frac{1}{4} \\
&\equiv (a_n x + b_n)^2 + (a_n x + b_n) - \frac{1}{4} \\
&\equiv (2 b_n + 1)a_n x + {b_n}^2 + b_n - \frac{1}{4}
\end{align}
を得るので
\begin{align}
a_{n+1} &= (2 b_n + 1) a_n, \\
b_{n+1} &= {b_n}^2 + b_n - \frac{1}{4}
\end{align}
を得る．
(1) $a_1 = 1$，$b_1 = - 1/4$なので，調べることにより$a_2 = 1/2$，$b_2 = -7/16$．
(2) 漸化式より$b_{n+1} + \dfrac{1}{2} = \left(b_n + \dfrac{1}{2}\right)^2$ゆえ
$$
b_n + \frac{1}{2} = \left(b_1 + \frac{1}{2}\right)^{2^{n-1}} = 2^{-2^n}, \qquad \therefore b_n = 2^{-2^n} - \frac{1}{2}.
$$
よって$a_{n+1} = 2^{1 - 2^n} a_n$なので，$\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{a_n}{a_1}$を考えると
$$
\frac{a_n}{a_1} = 2^{\sum_{k=1}^{n-1} (1 - 2^k)} = 2^{(n-1) - 2(2^{n-1} - 1)} = 2^{n+1-2^n}, \qquad \therefore a_n = 2^{n+1-2^n}.
$$
ここで$n+1-2^n = 2^n \left(\dfrac{n+1}{2^n} - 1\right) \to - \infty \ (n \to \infty)$であるから
$$
\lim_{n \to \infty} a_n = 0.
$$
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