SPRC001 全問解説(全20問)+よく使う手法・類題集

${x}$に関する${2025}$次方程式
$${2026x^{2025}-2025x^{2024}-2x+1=0}$$
の重複を含めた${2025}$個の複素数解を${α_1, α_2, ...,α_{2025}}$とします．以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{2025}α_k$$

${x}$に関する${100}$次方程式
$${x^{100}+27x^{99}+9x^{98}+243=0}$$
の重複を含めた${100}$個の複素数解を${α_1, α_2, ...,α_{100}}$とします．以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{100}α_k^2$$

$x$に関する$10$次方程式
$${x^{10}+2x^9+4x^2+3x-2026=0}$$
の重複を含めた$10$個の複素数解を$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{10}$とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{10}\frac{1}{\alpha_k}}$$

${x}$に関する${2026}$次方程式
$${x^{2026}+2025x-2024=0}$$
の重複を含めた${2026}$個の複素数解を${α_1,α_2,...,α_{2026}}$とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{2026}α_k^{2026}}$$

$x$に関する$7$次方程式
$${x^7+x^6+x^5+x^4+3x^3+3x^2+3x+3=0}$$
の重複を含めた$7$個の複素数解を$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_7$とします．
$${S_n=\sum_{k=1}^{7}\alpha_{k}^{n}}$$
とするとき，以下の値を求めてください．
$${\prod_{n=1}^{8}\frac{S_{n+4}+S_{n+5}+S_{n+6}+S_{n+7}}{S_n+S_{n+1}+S_{n+2}+S_{n+3}}}$$
ただし，${S_n+S_{n+1}+S_{n+2}+S_{n+3}}$が$n=1,2,...,8$の範囲で$0$にならないことが証明できます．

$x$に関する$4$次方程式
$${x^4+4x^3+6x^2+8x-2357=0}$$
の重複を含めた${4}$個の複素数解を${\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4}$とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{4} (\alpha_{k}+1)^4}$$

$x$に関する$2$次方程式
$${x^2+3x+9=0}$$
の$2$つの複素数解を$\alpha,\beta$とします．
$${S_n=\alpha^n+\beta^n}$$
とするとき，以下の値は整数になるので，その正の約数の個数を求めてください．
$${\prod_{n=1}^{243}S_n}$$

$x$に関する$100$次方程式
$$x^{100}+x^{98}+x^{96}+...+x^4+x^2+2026=0$$
の重複を含めた$100$個の複素数解を$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$とします．
$$S_n=\sum_{k=1}^{100}\alpha_k^n$$
とするとき，以下の値を求めてください．
$$\sum_{n=1}^{100}{S_n}$$

$x$に関する$100$次方程式
$${x^{100}-20x^2+26x+2026=0}$$
の重複を含めた$100$個の複素数解を$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{100}\alpha_{k}^{98}}$$

$x$に関する$6$次方程式
$${x^6+3x^5+9x^4+27x^3+81x^2+243x+2026=0}$$
の重複を含めた$6$個の複素数解を$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_6$とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{6}\alpha_{k}^{14}}$$

$x$に関する$12$次方程式
$${x^{12}-12x^{11}+66x^{10}-220x^{9}+...+66x^2-12x+1\left(=\sum_{n=0}^{12}{}_{12}\mathrm{C}_n(-x)^n\right)=2}$$
の$12$個の複素数解を$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{12}$とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{12}\alpha_{k}^{15}}$$

いずれも$0$でない$4$個の複素数$x,y,z,w$が
$$x+y+z+w=30$$
$$x^2+y^2+z^2+w^2={30}^2-2$$
$$x^3+y^3+z^3+w^3=30^3$$
$$x^4+y^4+z^4+w^4=2026$$
を満たします．このとき，$xyzw$の値を求めてください．

$x$に関する$2025$次方程式
$${x^{2025}+x^{2024}+...+x+1=0}$$
の$2025$個の複素数解を${\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{2025}}$とします．
$${S_n=\sum_{k=1}^{2025}\alpha_k^n}$$
とするとき，以下の値を求めてください．
$${\sum_{n=0}^{20261231}S_n}$$

$x$に関する$2028$次方程式
$$x^{2028}-x^{2026}-3x^{1000}+3x^{998}-5x^2+5=0$$
の重複を含めた$2028$個の複素数解を$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{2028}$とします．以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{2028}\alpha_k^{2026}$$

$x$に関する$243$次方程式
$${x^{243}+3x^{242}+5x^{241}+...+485x+487\left(=\sum_{m=0}^{243}(2m+1)x^{243-m}\right)=243}$$
の重複を含めた$243$個の複素数解を$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{243}$とします．以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{243}\alpha_k^{243}$$

$x$に関する$n$次方程式$(n \ge 1)$
$${x^n+nx^{n-1}+n(n-1)x^{n-2}+...+n!\left(=\sum_{k=0}^{n}{}_n\mathrm{P}_{n-k} x^k\right)=0}$$
の重複を含めた$n$個の複素数解を$\alpha_{n,1},\alpha_{n,2},...,\alpha_{n,n}$とし，これらが$1$でないことが証明できるので，
$${g(m)=\prod_{n=1}^{m}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\alpha_{n,k}-1}\right)}$$とします．以下の値を求めてください．
$$\frac{g(2025)g(2026)}{g(2025)+g(2026)}$$

以下の値を求めてください．
$$\lim_{m → \infty} |g(m)|$$

$1,2,...,102$の並び替え$\sigma=(\sigma(1),\sigma(2),...,\sigma(102))$について，多項式$F_{\sigma}$を
$${F_{\sigma}=x^{200}+x^{199}+\sum_{m=1}^{102}m\sigma(m)x^{m-1}}$$
で定めます．$x$に関する$200$次方程式
$$F_{\sigma}=0$$
の重複を含めた$200$個の複素数解を$\alpha_{\sigma_1},\alpha_{\sigma_2},...,\alpha_{\sigma_{200}}$とし，
$$\sum_{k=1}^{200}\alpha_{\sigma_k}^{100}$$
の値を$\sigma$の$\boldsymbol{\mathsf{スコア}}$とします．このとき，$\sigma$としてありうるもの$102!$通りすべてについての$\boldsymbol{\mathsf{スコア}}$の平均値を求めてください．

$x$に関する$2026$次方程式
$${2026^2{}_{2026}\mathrm{C}_{2026}x^{2026}+2025^2{}_{2026}\mathrm{C}_{2025} x^{2025}+...+1^2{}_{2026}\mathrm{C}_{1}x \left(=\sum_{k=1}^{2026}(k^2 {}_{2026}\mathrm{C}_k) x^k\right)=1000x+2026}$$
の重複を含めた$2026$個の複素数解を$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{2026}$とします．
$$S_m=\sum_{k=1}^{2026}\alpha_{k}^{m}$$
とするとき，以下の値を求めてください．
$$\prod_{n=1}^{2024}\left(\left(\sum_{m=0}^{n} {}_{n}\mathrm{C}_{m}S_{m}\right)-1\right)$$

$2027$次の多項式$f(x)$は，$0$ 以上 $2027$ 以下の任意の整数$n$について$f(n)=\frac{243}{n+1}$をみたします．また，
$${f(x)=0}$$
の重複を含めた$2027$個の複素数解を$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{2027}$とします． $${S_n=\sum_{k=1}^{2027}\alpha_{k}^{n}}$$
とするとき，以下の値は整数になるので，これを素数$2029$で割ったあまりを$M$とします．
$${\sum_{n=1}^{2027}S_n}$$
以下の値を求めてください．
$$M+S_1$$

数列${\lbrace F_n \rbrace(n=0,1,...)}$を${F_0=1,F_1=1,F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$ ${(n \ge 2)}$で定めます．
$x$に関する$15$次方程式
$${x^{14}+x^{13}+2x^{12}+...+233x^2+377x+610\left(=\sum_{m=0}^{14}F_{m}x^{14-m}\right)=-x^{15}+2026}$$
の重複を含めた$15$個の複素数解を$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{15}$とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{15}\alpha_{k}^{15}}$$