q-Ohno-Zagierの関係式
Ohno-Zagierの関係式
の$q$類似は, Okuda-Takeyamaの2007年の論文で示された. それは
\begin{align}
\zeta[\bk]:=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\prod_{i=1}^r\frac{q^{n_i(k_i-1)}}{(1-q^{n_i})^{k_i}}
\end{align}
を用いると, 以下のように書ける.
$I(k,r,s)$で重さ$k$, 深さ$r$, 高さ$s$のインデックス全体の集合を表すとする. $\alpha+\beta=u+v+uv-w, \alpha\beta=w$とするとき,
\begin{align}
\sum_{0< k,r,s}\left(\sum_{\bk\in I_0(k,r,s)}\zeta[\bk]\right)u^{k-r-s}v^{r-s}w^{s-1}&=\frac 1{uv-w}\left(1-\frac{((1+\alpha)q,(1+\beta)q;q)_{\infty}}{((1+u)q,(1+v)q;q)_{\infty}}\right)
\end{align}
が成り立つ.
Okuda-Takeyamaの論文においてはこの定理は$q$差分方程式を用いて示されているが, ここではより直接的な証明を与えることにする.
\begin{align}
&\sum_{0< k,r,s}\left(\sum_{\bk\in I_0(k,r,s)}\zeta[\bk]\right)u^{k-r-s}v^{r-s}w^{s-1}\\
&=\sum_{0\leq s,a_1,\dots,a_{s+1},b_1,\dots,b_{s+1}}\zeta[\{1\}^{a_1},b_1+2,\{1\}^{a_2},b_2+2,\dots,\{1\}^{a_{s+1}},b_{s+1}+2]u^{b_1+\cdots+b_{s+1}}v^{a_1+\cdots+a_{s+1}}w^s\\
&=\sum_{0\leq s}w^s\sum_{0< n_1<\cdots< n_{s}< n}\left(\prod_{i=1}^s\frac{q^{n_i}}{(1-q^{n_i})^2\left(1-u\frac{q^{n_i}}{1-q^{n_i}}\right)}\right)\left(\prod_{\substack{0< m< n\\m\neq n_1,\dots,m\neq n_s}}\left(1+\frac{v}{1-q^m}\right)\right)\frac{q^n}{(1-q^n)^2\left(1-u\frac{q^n}{1-q^n}\right)}\\
&=\sum_{0\leq s}w^s\sum_{0< n_1<\cdots< n_{s}< n}\left(\prod_{i=1}^s\frac{q^{n_i}}{(1-(1+u)q^{n_i})(1+v-q^{n_i})}\right)\left(\prod_{0< m< n}\left(1+\frac{v}{1-q^m}\right)\right)\frac{q^n}{(1-(1+u)q^n)(1-q^n)}\\
&=\sum_{0< n}\left(\prod_{0< m< n}\left(1+\frac{wq^{m}}{(1-(1+u)q^{m})(1+v-q^{m})}\right)\right)\left(\prod_{0< m< n}\left(1+\frac{v}{1-q^m}\right)\right)\frac{q^n}{(1-(1+u)q^n)(1-q^n)}\\
&=\sum_{0< n}\left(\prod_{0< m< n}\frac{(1-(1+u)q^m)(1+v-q^m)-wq^{m}}{(1-(1+u)q^{m})(1-q^{m})}\right)\frac{q^n}{(1-(1+u)q^n)(1-q^n)}
\end{align}
ここで, $\alpha+\beta=u+v+uv-w, \alpha\beta=w$であるような$\alpha,\beta $を用いると,
\begin{align}
(1-(1+u)q^m)(1+v-q^m)-wq^{m}&=(1+v)\left(1-\frac{1+\alpha}{1+v}q^m\right)\left(1-\frac{1+\beta}{1+v}q^m\right)\\
&=(1+v)\left(1-\frac{1+u}{1+\alpha}q^m\right)\left(1-\frac{1+u}{1+\beta}q^m\right)\\
\end{align}
と表すことができるので,
\begin{align}
&\sum_{0< n}\left(\prod_{0< m< n}\frac{(1-(1+u)q^m)(1+v-q^m)-wq^{m}}{(1-(1+u)q^{m})(1-q^{m})}\right)\frac{q^n}{(1-(1+u)q^n)(1-q^n)}\\
&=\frac 1{1+v}\sum_{0< n}\frac{\left(\frac{1+u}{1+\alpha}q,\frac{1+u}{1+\beta}q;q\right)_{n-1}}{((1+u)q,q;q)_n}((1+v)q)^n\\
&=\frac 1{(1+v)\left(1-\frac{1+u}{1+\alpha}\right)\left(1-\frac{1+u}{1+\beta}\right)}\left(\Q21{\frac{1+u}{1+\alpha},\frac{1+u}{1+\beta}}{(1+u)q}{(1+v)q}-1\right)\\
&=\frac 1{w-uv}\left(\Q21{\frac{1+u}{1+\alpha},\frac{1+u}{1+\beta}}{(1+u)q}{(1+v)q}-1\right)
\end{align}
ここで,
Heineの和公式
より
\begin{align}
\Q21{\frac{1+u}{1+\alpha},\frac{1+u}{1+\beta}}{(1+u)q}{(1+v)q}&=\frac{((1+\alpha)q,(1+\beta)q;q)_{\infty}}{((1+u)q,(1+v)q;q)_{\infty}}
\end{align}
であるから定理を得る.
