半直積と二面体群の自己同型群
二面体群の自己同型群を求める記事です。
結論から述べると，$\mathrm{Aut} \,D_n$は$ (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{×}$と$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$の半直積と同型になります。
まずは半直積の定義を書きます。
二つの群$H，K$と，準同型$ \varphi: H → \mathrm{Aut} \, K$があったとする.
このとき，集合としての直積$H×K$に演算$(h，k)(h'，k') = (hh'，k\, \varphi(h)(k'))$を定めると群になる.
この群を$H$と$K$の$\varphi$に関する(外部)半直積といって，$H \ltimes _\varphi K$と書く.
実際に群になることの証明は略します。
定義における準同型$\varphi$は$H$から$K$への作用に他なりません。
半直積は，群から群への作用が与えられたとき，両方の群を(同型として)含む非可換群を構成したものになります。
今回は半直積の定義だけわかればオッケーです.それでは本題の証明に移ります。
$n \geq 3$とし，$D_n$は$n$次の二面体群を表すものとする.
また準同型$\varphi :(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{×} → \mathrm{Aut} ( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$を，$\overline s \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{×}$に対して$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$の自己同型写像$\varphi_s:\overline t \mapsto s\overline t$に対応させるものとする. このとき，次が成り立つ.
$$ \mathrm{Aut} \,D_n \cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{×} \ltimes _\varphi \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$
$D_n = \langle a，b \,\,|\,\, a^n = b^2 = e，bab^{-1} = a^{-1} \, \rangle$なので，$D_n$は$2$元$a，b$で生成される.
よって，自己同型写像は$a$と$b$の行先を決めれば定まる.
$\sigma \in \mathrm{Aut} \,D_n$とする. $g \in D_n$と$\sigma(g)$の位数は等しいので，$\sigma$は$a$を$a^s \,\,(\gcd(n，s) = 1)$の形の元に，$b$を$a^t b$の形の元に移す.
$n$が偶数のときは$n =2k$と書け，位数だけ見ると$\sigma (b) = a^k$もありえるように思えるがこのような自己同型写像は存在しない. 実際，存在するとすれば$\gcd(m，s) = 1$だから$a^s，a^{2s}，\cdots ，a^{ns}$は$a，a^2，\cdots ，a^n$の全体をわたるので、適当な自然数$i$があって$\sigma(a^i) = a^k$となり，$\sigma$の単射性が崩れて矛盾する.
したがって，$\mathrm{Aut} \,D_n$の元はすべて
$$\sigma :\begin{cases}
\begin{align*}
a &\mapsto a^s\\
b &\mapsto a^tb
\end{align*}
\end{cases}$$
の形をしている. $\sigma$を$\sigma (s，t)$と書くことにしよう.
ここで，写像$f: \mathrm{Aut} \,D_n → (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{×} \ltimes _\varphi \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$を$f(\sigma(s，t)) = (\overline s，\overline t)$で定める.
$f$が同型であることを示せば証明は終わる.
まず，準同型であることを示す.
$\sigma(s，t) \, \circ \sigma(s'，t') (a) = \sigma(s，t)(a^{s'}) = a^{ss'}$
$\sigma(s，t) \, \circ \sigma(s'，t') (b) = \sigma(s，t)(a^{t'}b) = \sigma(s，t)(a^{t'})\,\sigma(s，t)(b) = a^{st'} a^tb = a^{t+st'}b$
以上より，
$$\sigma(s，t) \, \circ \sigma(s'，t') :\begin{cases}
\begin{align*}
a &\mapsto a^{ss'}\\
b &\mapsto a^{t+st'}b
\end{align*}
\end{cases}$$
がわかるので，$\sigma(s，t) \, \circ \sigma(s'，t') = \sigma(ss'，t+st')$である.
したがって，
$$
\begin{align*}
f(\sigma(s，t) \, \circ \sigma(s'，t')) &= f(\sigma(ss'，t+st'))\\
&= (\overline {ss'}，\overline {t+st'}) \\
&= (\overline {s} \overline {s'}，\overline {t} + s\overline {t'}) \\
&= (\overline {s} \overline {s'}，\overline {t} + \varphi_s(\overline {t'})) \\
&= (\overline {s}，\overline {t})(\overline {s'}，\overline {t'})\\
&= f(\sigma(s，t))f(\sigma(s'，t'))
\end{align*}$$
であり，$f$は準同型である.
$f$の全射性は明らかであり，また$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{×} \ltimes _\varphi \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$の単位元は$(\overline 1，\overline 0)$であるから，$ f(\sigma(s，t)) = (\overline 1，\overline 0)$とすると$ (\overline s，\overline t) = (\overline 1，\overline 0)$. よって$a^s = a，a^t =e$となり，結局$\sigma (s，t)$は$a$を$a$に，$b$を$b$に移すので恒等写像となる.
したがって，$\ker f = \{id\}$となり，以上より$f$は同型である.
すなわち，以下が成り立つことが示された.
$$ \mathrm{Aut} \,D_n \cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{×} \ltimes _\varphi \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$
Q.E.D
この同型から，$|\mathrm{Aut} \,D_n| = n \, \varphi(n)$ ($\varphi$はオイラーの$ \varphi$関数)がわかったりします。
もし，最初から$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{×} \ltimes _\varphi \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$と同型となることが書かれておらず，「二面体群の自己同型群を求めよ」という問題であったとしても，計算をしていくうちに$\sigma(s，t) \, \circ \sigma(s'，t') = \sigma(ss'，t+st')$がわかり，$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{×}$と$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$の半直積かな...？と見当がつきます。
今回の題材は自然に半直積が出てくる例だと思っています。
読んでくれてありがとう。
今回はこのへんで。
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