Twi…Xで見かけた問題(院試の基礎数学?)

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お久しぶりです, Torteです. 先日Twitter(現: X)のおすすめタブだったかで見かけた問題を解いてみようと思います.

$u (x)$ を $R$ 上の実数値 $C^{2}$ 級関数とする. 正の整数 $n$ に対して関数 $u_{n} (x)$ を
$\begin{array}{r} u_{n} (x) = u (\frac{x}{n}) + u (- \frac{x}{n}) - 2 u (0) \end{array}$
で定める. $a > 0$ を定数とするとき, 関数を項とする級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} (x)$ は区間 $[- a, a]$ 上である連続関数に一様収束することを示せ.

直前の誘導にて, 「有界閉区間上の連続関数列がある関数に一様収束するとき, 収束先の関数もまた連続である」という有名な事実を示していますので, 今回は級数の一様収束性について見ていこうと思います.

パッと見て思ったのは(差分化したLaplacianっぽいな……)でした. 実際に $u$ は $C^{2}$ 級ですし, $u_{n}$ が
$\begin{array}{r} u_{n} (x) = u (\frac{x}{n}) - u (0) + u (- \frac{x}{n}) - u (0) \end{array}$
と変形できるので, 平均値の定理を何度か用いれば, $u$ の2階微分+2次の微少量が引っ張り出せそうです. 2次の微少量で各項を抑えることができれば, その和が有限になる(Basel問題)ことはよく知られていますから, WeierstrassのM-テストによって一様収束性が示せます.

平均値の定理により,
$\begin{array}{r} u (\frac{x}{n}) - u (0) = \int_{0}^{x / n} u^{'} (t) d t, \end{array}$
および
$\begin{aligned} u (0) - u (- \frac{x}{n}) & = \int_{- x / n}^{0} u^{'} (t) d t \\ = \int_{0}^{x / n} u^{'} (- t) d t \end{aligned}$
を得るので, 再び平均値の定理を用いて
$\begin{aligned} u_{n} (x) & = \int_{0}^{x / n} (u^{'} (t) - u^{'} (- t)) d t \\ = \int_{0}^{x / n} (u^{'} (t) - u^{'} (0) + u^{'} (0) - u^{'} (- t)) d t \\ = \int_{0}^{x / n} {\int_{0}^{t} u^{″} (s) d s + \int_{- t}^{0} u^{″} (s) d s} d t \\ = \int_{0}^{x / n} \int_{- t}^{t} u^{″} (s) d s d t . \end{aligned}$
したがって,
$\begin{array}{r} | u_{n} (x) | \leq \int_{0}^{| x / n |} | \int_{- t}^{t} u^{″} (s) d s | d t \leq \int_{0}^{| x / n |} \int_{- t}^{t} | u^{″} (s) | d s d t \end{array}$
となる. 関数 $u$ は $C^{2}$ 級だから, $| u^{″} |$ は区間 $[- a, a]$ 上で最大値を持つので, それを $M$ とおくと,
$\begin{array}{r} | u_{n} (x) | \leq \int_{0}^{| x / n |} 2 M t d t = \frac{M | x |^{2}}{n^{2}} \leq \frac{M a^{2}}{n^{2}} . \end{array}$
級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} n^{- 2}$ は有限の値( $= π^{2} / 6$ )に収束するので, WeierstrassのM-テストにより, 級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} (x)$ は区間 $[- a, a]$ 上で一様収束する.