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クリストッフェル記号の簡単な計算方法

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はじめに

　 $M$ を $n$ 次元Riemann多様体とし、 $g = g_{i j} (x^{1} \dots, x^{n}) d x^{i} \otimes d x^{j}$ を計量の局所的な表示とする。また、 $g^{i j}$ を $g_{i j}$ の逆行列とし、 $g_{i j, k} = \frac{\partial g_{i j}}{\partial x^{k}}$ とする。
　クリストッフェル記号 $Γ_{j k}^{i}$ は以下で定義される。

クリストッフェル記号(Christoffel symbols)

$Γ_{j k}^{i} = \frac{1}{2} g^{i l} (g_{l j, k} + g_{k l, j} - g_{j k, l})$

　上記のクリストッフェル記号は接続係数とも呼ばれる。クリストッフェル記号は共変微分の計算に必要となるものであり、上記の定義に従って計量の1階微分を計算すれば得られるが、計算を少しだけ楽にする方法があるので紹介する。

変分原理によるクリストッフェル記号の計算

２次形式のLagrangianは測地線方程式を導く

ある局所座標上の曲線 $γ : [t_{0}, t_{1}] \to M; t \mapsto (γ^{1} (t), \dots, γ^{n} (t))$ に対して, ${\dot{γ}}^{i} = \frac{d γ^{i}}{d t}$ , ${\ddot{γ}}^{i} = \frac{d^{2} γ^{i}}{d t^{2}}$ とする。また,汎関数 $S : γ \mapsto R$ を以下で定義する.

$S [γ] = \int_{t_{0}}^{t_{1}} d t \frac{1}{2} g_{i j} (γ (t)) {\dot{γ}}^{i} {\dot{γ}}^{j}$

このとき, $S [γ]$ の「端点を固定したの停留解」は、以下の測地線方程式を満たす.

${\ddot{γ}}^{i} + Γ_{j k}^{i} {\dot{γ}}^{j} {\dot{γ}}^{k} = 0$

「端点を固定したときの停留解」は、 $L (γ, \dot{γ}) = \frac{1}{2} g_{i j} (γ) {\dot{γ}}^{i} {\dot{γ}}^{i}$ をLagrangianとしたときのEuler-Lagrange方程式の解である。

$\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{γ}}^{i}} - \frac{\partial L}{\partial γ^{i}} = 0$

ここで、

$\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{γ}}^{i}} = g_{i j} {\ddot{γ}}^{j} + g_{i j, k} {\dot{γ}}^{j} {\dot{γ}}^{k}$

$\frac{\partial L}{\partial γ^{i}} = \frac{1}{2} g_{j k, i} {\dot{γ}}^{j} {\dot{γ}}^{k}$

となるので、これを整理すると、測地線方程式 ${\ddot{γ}}^{i} + Γ_{j k}^{i} {\dot{γ}}^{j} {\dot{γ}}^{k} = 0$ を得る。

この命題から、以下に述べる手順がクリストッフェル記号の正しい計算方法を与えることがわかる。

クリストッフェル記号の計算方法

（１）Lagrangian $L = \frac{1}{2} g_{i j} {\dot{x}}^{i} {\dot{x}}^{j}$ を書き下す。
（２）Euler-Lagnrange方程式 $\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}^{i}} - \frac{\partial L}{\partial x^{i}} = 0$ を書き下す。
（３）測地線方程式 ${\ddot{x}}^{i} + Γ_{j k}^{i} {\dot{x}}^{j} {\dot{x}}^{k} = 0$ を見比べて $Γ_{j k}^{i}$ を読み取る。

弧長との比較

　測地線方程式の導出では、汎関数として弧長を考えるのが普通である。

$S [γ] = \int_{0}^{1} d t \sqrt{g_{i j} (γ) {\dot{γ}}^{i} {\dot{γ}}^{j}}$

ここで、弧長パラメタ $s (t) = \int_{0}^{t} d t \sqrt{g_{i j} (γ) {\dot{γ}}^{i} {\dot{γ}}^{j}}$ を導入すると、汎関数 $S$ の停留解は測地線方程式を満たす。

$δ S = 0 \Leftrightarrow \frac{d^{2}}{d s^{2}} γ^{i} + Γ_{j k}^{i} \frac{d γ^{j}}{d s} \frac{d γ^{k}}{d s} = 0$

　この議論は、最短経路が測地線方程式を満たすことを理解するのに必要であるが、Lagrangianに平方根が含まれていたり、弧長パラメタへの変換が必要なので、クリストッフェル記号の計算に対しては実用的ではない。

計算例

３次元球座標

　3次元球座標の計量テンソルは $d s^{2} = d r^{2} + r^{2} d θ^{2} + r^{2} \sin^{2} θ d ϕ^{2}$ で与えられるので、Lagrangianは、

$L (r, θ, ϕ, \dot{r}, \dot{θ}, \dot{ϕ}) = \frac{1}{2} {\dot{r}}^{2} + \frac{1}{2} r^{2} {\dot{θ}}^{2} + \frac{1}{2} r^{2} \sin^{2} θ {\dot{ϕ}}^{2}$

となる。また、

$\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} - \frac{\partial L}{\partial r} = \ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2} - r \sin^{2} θ {\dot{ϕ}}^{2}$

$\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{θ}} - \frac{\partial L}{\partial θ} = r^{2} \ddot{θ} + 2 r \dot{r} \dot{θ} - r^{2} \sin θ \cos θ {\dot{ϕ}}^{2}$

$\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{ϕ}} - \frac{\partial L}{\partial ϕ} = r^{2} \sin^{2} θ \ddot{ϕ} + 2 r \sin^{2} θ \dot{r} \dot{ϕ} + 2 r^{2} \sin θ \cos θ \dot{θ} \dot{ϕ}$

となるので、Euler-Lagrange方程式として、

${\begin{aligned} \ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2} - r \sin^{2} θ {\dot{ϕ}}^{2} = 0 \\ \ddot{θ} + 2 \frac{1}{r} \dot{r} \dot{θ} - \sin θ \cos θ {\dot{ϕ}}^{2} = 0 \\ \ddot{ϕ} + 2 \frac{1}{r} \dot{r} \dot{ϕ} + 2 \cot θ \dot{θ} \dot{ϕ} = 0 \end{aligned}$

を得る。これと、 ${\ddot{x}}^{i} + Γ_{j k}^{i} {\dot{x}}^{j} {\dot{x}}^{k} = 0$ を見比べて、以下を得る。

$\begin{aligned} Γ_{θ θ}^{r} & = - r \\ Γ_{ϕ ϕ}^{r} & = - r \sin^{2} θ \\ Γ_{r θ}^{θ} & = Γ_{θ r}^{θ} = \frac{1}{r} \\ Γ_{ϕ ϕ}^{θ} & = - \sin θ \cos θ \\ Γ_{r ϕ}^{ϕ} & = Γ_{ϕ r}^{ϕ} = \frac{1}{r} \\ Γ_{θ ϕ}^{ϕ} & = Γ_{ϕ θ}^{ϕ} = \cot θ \end{aligned}$

上記以外の $Γ_{j k}^{i}$ はゼロ。

静的な球対称時空（一般相対性理論）

　一般相対性理論から例を取り上げよう。 $ν (r)$ と $λ (r)$ を適当な関数として、計量が $d s^{2} = - e^{ν (r)} d w^{2} + e^{λ (r)} d r^{2} + r^{2} d θ^{2} + r^{2} \sin^{2} θ d ϕ^{2}$ で与えられる時空を考える。特に、 $e^{ν} = e^{- λ} = 1 - a r^{- 1}$ としたのが、シュバルツシルト半径 $a$ のシュバルツシルト時空である。

　この計量は符号がひとつマイナスとなっているが、同じ手順でクリストッフェル記号を求められる。まず、Lagrangianは、

$L (w, r, θ, ϕ, \dot{w}, \dot{r}, \dot{θ}, \dot{ϕ}) = - \frac{1}{2} e^{ν} {\dot{w}}^{2} + \frac{1}{2} e^{λ} {\dot{r}}^{2} + \frac{1}{2} r^{2} {\dot{θ}}^{2} + \frac{1}{2} r^{2} \sin^{2} θ {\dot{ϕ}}^{2}$

となる。また、

$\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{w}} - \frac{\partial L}{\partial w} = - e^{ν} \ddot{w} - e^{ν} ν^{'} \dot{r} \dot{w}$

$\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} - \frac{\partial L}{\partial r} = e^{λ} \ddot{r} + e^{λ} λ^{'} {\dot{r}}^{2} + \frac{1}{2} e^{ν} ν^{'} {\dot{w}}^{2} - \frac{1}{2} e^{λ} λ^{'} {\dot{r}}^{2} - r {\dot{θ}}^{2} - r \sin^{2} θ {\dot{ϕ}}^{2}$

となる。なお、 $θ$ と $ϕ$ については、（例１）３次元球座標と全く同じ式になるので省略する。以上より、

${\begin{aligned} \ddot{w} + ν^{'} \dot{w} \dot{r} = 0 \\ \ddot{r} + \frac{1}{2} e^{ν - λ} ν^{'} {\dot{w}}^{2} + \frac{1}{2} λ^{'} {\dot{r}}^{2} - r e^{- λ} {\dot{θ}}^{2} - r e^{- λ} \sin^{2} θ {\dot{ϕ}}^{2} \\ \ddot{θ} + 2 \frac{1}{r} \dot{r} \dot{θ} - \sin θ \cos θ {\dot{ϕ}}^{2} = 0 \\ \ddot{ϕ} + 2 \frac{1}{r} \dot{r} \dot{ϕ} + 2 \cot θ \dot{θ} \dot{ϕ} = 0 \end{aligned}$

を得る。これと、 ${\ddot{x}}^{i} + Γ_{j k}^{i} {\dot{x}}^{j} {\dot{x}}^{k} = 0$ を見比べて、以下を得る。

$\begin{aligned} Γ_{w r}^{w} & = Γ_{r w}^{w} = \frac{1}{2} ν^{'} \\ Γ_{w w}^{r} & = \frac{1}{2} e^{ν - λ} ν^{'}, Γ_{r r}^{r} = \frac{1}{2} λ^{'}, Γ_{θ θ}^{r} = - r e^{- λ}, Γ_{ϕ ϕ}^{r} = - r e^{- λ} \sin^{2} θ \\ Γ_{r θ}^{θ} & = Γ_{θ r}^{θ} = \frac{1}{r}, Γ_{ϕ ϕ}^{θ} = - \sin θ \cos θ \\ Γ_{r ϕ}^{ϕ} & = Γ_{ϕ r}^{ϕ} = \frac{1}{r}, Γ_{θ ϕ}^{ϕ} = Γ_{ϕ θ}^{ϕ} = \cot θ \end{aligned}$