Kaneko-Sakataの和公式の係数の明示式
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でKaneko-Sakataの和公式を示した. それは$a,b$を正整数としたとき
\begin{align}
\zeta(\{1\}^{a-1},b+1)=\sum_{0< r}(-1)^{r-1}\sum_{\substack{0< a_1,\dots,a_r,a_1+\cdots+a_r=a\\0< b_1,\dots,b_r,b_1+\cdots+b_r=b}}\zeta(a_1+b_1,\dots,a_r+b_r)
\end{align}
と表される公式である. 今回はこの右辺のインデックスを固定したときの係数を求めたいと思う.
導出
$(k_1+2,\dots,k_r+2)$の係数は$a_i,b_i$を$a_i+1,b_i+1$に置き換えて, $m=a-r, n=b-r$表すと, $0\leq a_1,\dots,a_r,b_1,\dots,b_r$かつ
\begin{align}
a_1+\cdots+a_r&=m\\
b_1+\cdots+b_r&=n\\
a_i+b_i&=k_i\qquad i=1,\dots,r
\end{align}
が成り立つような$(a_1,\dots,a_r,b_1,\dots,b_r)$の組を求める問題になる. $k_1+\cdots+k_r=m+n$でなければこのような組はない. $b_i=k_i-a_i$となるので, そのような組の個数は
\begin{align}
a_1+\cdots+a_r=m,\quad 0\leq a_i\leq k_i\qquad i=1,\dots,r
\end{align}
が成り立つような$(a_1,\dots,a_r)$となるようなものの個数に等しい. この個数の母関数は
\begin{align}
\sum_{0\leq a_i\leq k_i, 1\leq \forall i\leq r}x^{a_1+\cdots+a_r}&=\frac{1-x^{k_1+1}}{1-x}\cdots\frac{1-x^{k_r+1}}{1-x}\\
&=\frac 1{(1-x)^r}\prod_{i=1}^r(1-x^{k_i+1})\\
&=\frac 1{(1-x)^r}\sum_{A\subset\{1,2,\dots,r\}}(-1)^{|A|}x^{\sum_{i\in A}(k_i+1)}
\end{align}
となるので, この$x^m$の係数は
\begin{align}
\sum_{\substack{A\subset \{1,2,\dots,r\}\\\sum_{i\in A}(k_i+1)\leq m}}(-1)^{|A|}\binom{r+m-1-\sum_{i\in A}(k_i+1)}{r-1}
\end{align}
と表される. よって,
\begin{align}
\sum_{0< r}(-1)^{r-1}\sum_{\substack{0< a_1,\dots,a_r,a_1+\cdots+a_r=a\\0< b_1,\dots,b_r,b_1+\cdots+b_r=b}}\zeta(a_1+b_1,\dots,a_r+b_r)
\end{align}
の$(k_1+2,\dots,k_r+2)$の係数は
\begin{align}
(-1)^{r-1}\sum_{\substack{A\subset \{1,2,\dots,r\}\\\sum_{i\in A}(k_i+1)\leq a-r}}(-1)^{|A|}\binom{a-1-\sum_{i\in A}(k_i+1)}{r-1}
\end{align}
となる. よって, $(k_1,\dots,k_r)$の係数は
\begin{align}
&\sum_{\substack{A\subset \{1,2,\dots,r\}\\\sum_{i\in A}(k_i-1)\leq a-r}}(-1)^{r+|A|-1}\binom{a-1-\sum_{i\in A}(k_i-1)}{r-1}\\
&=\sum_{m=0}^{a-r}(-1)^{r-1}\binom{a-m-1}{r-1}\sum_{\substack{A\subset \{1,2,\dots,r\}\\\sum_{i\in A}(k_i-1)=m}}(-1)^{|A|}
\end{align}
と書き換えられる. よって以下の表示を得る.
正整数$a,b$に対し,
\begin{align}
\zeta(\{1\}^{a-1},b+1)&=\sum_{\substack{2\leq k_1,\dots,k_r\\k_1+\cdots+k_r=a+b}}\zeta(k_1,\dots,k_r)\sum_{m=0}^{a-r}(-1)^{r-1}\binom{a-m-1}{r-1}\sum_{\substack{A\subset \{1,2,\dots,r\}\\\sum_{i\in A}(k_i-1)=m}}(-1)^{|A|}
\end{align}
が成り立つ.
この表示の利点はインデックス$\bk$を与えたときに$\zeta(\bk)$の係数を明示的に表すことができることである. 例として右辺の係数は, 深さ$1$の係数に対しては$1$になる. 深さ$a$のインデックスに対しては$A=\varnothing$の場合だけ残り, $(-1)^{a-1}$になる. また, 深さ$a-1$のインデックス$(k_1,\dots,k_{a-1})$に対しては
\begin{align}
&(-1)^a\binom{a-1}{a-2}-(-1)^a|\{1\leq i\leq a-1; k_i=2\}|\\
&=(-1)^a(a-1-|\{1\leq i\leq a-1;k_i=2\}|)\\
&=(-1)^a|\{1\leq i\leq a-1;k_i\neq 2\}|
\end{align}
と表すことができる.
定理1の係数は$k_1,\dots,k_r$の並び替えても変わらないので, $a+b$の$1$つの分割に対して定まっているので, $k_1\geq\cdots \geq k_r$の場合を考える. このとき, $l_i:=k_i-1$として, $l_i=n$となるような$i$の個数を$c_n$とすると
\begin{align}
\sum_{\substack{A\subset\{1,2,\dots,r\}\\\sum_{i\in A}(k_i-1)=m}}(-1)^{|A|}=\sum_{\substack{0\leq n_j\leq c_j,1\leq \forall j\leq m\\\sum_{j=1}^m jn_j=m}}(-1)^{n_1+\cdots+n_m}
\end{align}
と表すこともできる. これはある種の制限付きの分割に関する和である. この係数に関しては他にも様々な観点から理解できるかもしれない.
