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Kaneko-Sakataの和公式の母関数による証明

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前の記事で, 導分関係式を用いてMurahara-Sakataの和公式を示し, その特別な場合としてKaneko-Sakataの和公式を得たが, 今回は母関数によって直接的な証明を与える.

Kaneko-Sakata(2016)

正整数 $a, b$ に対して,
$\begin{aligned} ζ ({1}^{a - 1}, b + 1) & = \sum_{0 < r} (- 1)^{r - 1} \sum_{\begin{array}{c} 0 < a_{1}, \dots, a_{r}, a_{1} + \dots + a_{r} = a \\ 0 < b_{1}, \dots, b_{r}, b_{1} + \dots + b_{r} = b \end{array}} ζ (a_{1} + b_{1}, \dots, a_{r} + b_{r}) \end{aligned}$

Aomoto-Drinfel'dの公式
$\begin{aligned} \sum_{0 < a, b} ζ ({1}^{a - 1}, b + 1) x^{a} y^{b} & = 1 - \frac{Γ (1 - x) Γ (1 - y)}{Γ (1 - x - y)} \end{aligned}$
を用いる. ガンマ関数のWeierstrass乗積表示
$\begin{aligned} \frac{1}{Γ (1 + x)} & = e^{γ x} \prod_{0 < n} (1 + \frac{x}{n}) e^{- \frac{x}{n}} \end{aligned}$
を用いれば, 右辺は
$\begin{aligned} 1 - \frac{Γ (1 - x) Γ (1 - y)}{Γ (1 - x - y)} & = 1 - \prod_{0 < n} \frac{(1 - \frac{x + y}{n})}{(1 - \frac{x}{n}) (1 - \frac{y}{n})} \\ = 1 - \prod_{0 < n} \frac{n (n - x - y)}{(n - x) (n - y)} \\ = 1 - \prod_{0 < n} (1 - \frac{x y}{(n - x) (x - y)}) \\ = \sum_{0 < r} (- 1)^{r - 1} (x y)^{r} \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{1}{(n_{1} - x) (n_{1} - y)} \dots \frac{1}{(n_{r} - x) (n_{r} - y)} \\ = \sum_{0 < a, b} x^{a} y^{b} \sum_{0 < r} (- 1)^{r - 1} \sum_{\begin{array}{c} 0 < a_{1}, \dots, a_{r}, a_{1} + \dots + a_{r} = a \\ 0 < b_{1}, \dots, b_{r}, b_{1} + \dots + b_{r} = b \end{array}} ζ (a_{1} + b_{1}, \dots, a_{r} + b_{r}) \end{aligned}$
となるから, $x^{a} y^{b}$ の係数を比較して定理を得る.