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Kaneko-Sakataの和公式の母関数による証明

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前の記事で, 導分関係式を用いてMurahara-Sakataの和公式を示し, その特別な場合としてKaneko-Sakataの和公式を得たが, 今回は母関数によって直接的な証明を与える.

Kaneko-Sakata(2016)

正整数$a,b$に対して,
\begin{align} \zeta(\{1\}^{a-1},b+1)&=\sum_{0< r}(-1)^{r-1}\sum_{\substack{0< a_1,\dots,a_r,a_1+\cdots+a_r=a\\0< b_1,\dots,b_r,b_1+\cdots+b_r=b}}\zeta(a_1+b_1,\dots,a_r+b_r) \end{align}

Aomoto-Drinfel'dの公式
\begin{align} \sum_{0< a,b}\zeta(\{1\}^{a-1},b+1)x^ay^b&=1-\frac{\Gamma(1-x)\Gamma(1-y)}{\Gamma(1-x-y)} \end{align}
を用いる. ガンマ関数のWeierstrass乗積表示
\begin{align} \frac 1{\Gamma(1+x)}&=e^{\gamma x}\prod_{0< n}\left(1+\frac{x}n\right)e^{-\frac xn} \end{align}
を用いれば, 右辺は
\begin{align} 1-\frac{\Gamma(1-x)\Gamma(1-y)}{\Gamma(1-x-y)}&=1-\prod_{0< n}\frac{\left(1-\frac{x+y}n\right)}{\left(1-\frac{x}n\right)\left(1-\frac yn\right)}\\ &=1-\prod_{0< n}\frac{n(n-x-y)}{(n-x)(n-y)}\\ &=1-\prod_{0< n}\left(1-\frac{xy}{(n-x)(x-y)}\right)\\ &=\sum_{0< r}(-1)^{r-1}(xy)^r\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac 1{(n_1-x)(n_1-y)}\cdots\frac 1{(n_r-x)(n_r-y)}\\ &=\sum_{0< a,b}x^ay^b\sum_{0< r}(-1)^{r-1}\sum_{\substack{0< a_1,\dots,a_r,a_1+\cdots+a_r=a\\0< b_1,\dots,b_r,b_1+\cdots+b_r=b}}\zeta(a_1+b_1,\dots,a_r+b_r)\\ \end{align}
となるから, $x^ay^b$の係数を比較して定理を得る.

このように, 母関数を用いることによってシンプルに証明できるというのは面白いと思う. 上の証明から, 逆にKaneko-Sakataの和公式を用いてAomoto-Drinfel'dの公式を示すこともできることが分かる.