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大学数学基礎解説
文献あり

剰余群の定義

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おはなし

前回は置換群とかしていたのですが、今回は剰余群です。理由は特にない!!
 

本文

同値関係

集合S上の関係同値関係であるとは、が次の(i),(ii),(iii)をみたすときをいう。
i)xxii)xyyxiii)xy, yzxz
ただし、x,y,zS

同値類

集合S上に同値関係が定義されているとき、各xSに対してSの部分集合


C(x):={yS | xy}

を、xが定める同値類という。C(x)に属する一つの元をC(x)代表元ともいう。

商集合

Sに同値関係が与えられたとき、新しい集合


S/:={C(x)2S | xS}2S

を同地関係による商集合という。
Sから商集合S/への写像

p:SS/(xC(x))

は全射で、pの各ファイバーが同値類である。この写像p(自然な)射影という。

次からが本題のはじまり!

剰余類

Gを群とし、その部分群Hを一つ固定する。このとき、Gの元x,yに対して、関係


xydefx1yH

と定めると、Gの同値関係を与える。(実際に成り立つか検証せよ。)
この部分群Hによる同値関係において、xGの定める同値類は

C(x)={yG | x1yH}

である。ところで、x1yHということは、あるhHに対してy=xhであることを意味するから、Gの部分集合xH

xH:={xhG | hH}

と定義すると、C(x)=xHとなる。このような、xが代表元となる同値類xHのことを、群論においては、Hによる左剰余類という。したがって、Hによる左剰余類全体の集合が、この関係による商集合G/である。この商集合をG/Hとかいて、GHによる左剰余類集合、または、記号に従ってGH右から割った集合(または空間)ともいう。
上の代わりにxyxy1Hと定義してもは同値関係となり、xGが代表元となる同値類は

Hx:={hxG | hH}

である(右剰余類という)この同値関係による商集合G/HGとかく。

Gの部分群Hに対して、Hの左右の剰余類が必ず一致するためには、Hが正規部分群であることが、必要十分である。

左右の剰余類が一致する、すなわち、任意のxGに対して、あるyGが存在してxH=Hyとなるとする。このときxHyだからHx=Hyが成り立つ。したがってxH=Hxとなり、これはxHx1=Hを導く。ゆえにHG
逆にHGならばxHx1=H (xG)ゆえ、xH=HxがすべてのxGに対して成り立つ。

HGとする。
G/Hの2つの元xH,yHに対し、演算を


(xH)(yH):=xyH(x,yG)

と定めると。G/Hは再び群となる。

まず、この定義がうまいくいっていることを確認しなければならない。具体的には、剰余類の代表元の取り方によらず確定することを言わなければならない。すなわち、


xH=xH, yH=yH xyH=xyH

をいわなければならない。
よってこれを確かめる。条件からあるh,hHが存在して、x=xh,y=yhとかける。したがって、xy=xhyh.ところが、HGだから(y)1hyH.したがって、

xy=xhyh=xy((y)1hy)hxyH

を得る。これは、xyH=xyHを意味しており、演算が成り立っていることが確認できた。

Hが正規でなければこの演算は写像として無意味であることに注意。

剰余群

正規部分群Hによる剰余集合G/Hがなす群をGHによる剰余群(または商群)という。

無限巡回群Zとその部分群nZに対しn0のとき剰余群Z/nZは位数|n|の有限巡回群である。


メモ

いろいろ命題をいれる。

参考文献

[1]
堀田良之, 代数入門, 裳華房, 2021, pp.18~24
[2]
雪江明彦, 群論入門, 日本, 2010
投稿日:2023719
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