前回は置換群とかしていたのですが、今回は剰余群です。理由は特にない!!
集合S上の関係∼が同値関係であるとは、∼が次の(i),(ii),(iii)をみたすときをいう。i)x∼xii)x∼y⇒y∼xiii)x∼y, y∼z⇒x∼zただし、x,y,z∈S
集合S上に同値関係∼が定義されているとき、各x∈Sに対してSの部分集合
Sに同値関係∼が与えられたとき、新しい集合
Gを群とし、その部分群Hを一つ固定する。このとき、Gの元x,yに対して、関係∼を
Gの部分群Hに対して、Hの左右の剰余類が必ず一致するためには、Hが正規部分群であることが、必要十分である。
左右の剰余類が一致する、すなわち、任意のx∈Gに対して、あるy∈Gが存在してxH=Hyとなるとする。このときx∈HyだからHx=Hyが成り立つ。したがってxH=Hxとなり、これはxHx−1=Hを導く。ゆえにH⊲G逆にH⊲GならばxHx−1=H (x∈G)ゆえ、xH=Hxがすべてのx∈Gに対して成り立つ。
H⊲Gとする。G/Hの2つの元xH,yHに対し、演算を
まず、この定義がうまいくいっていることを確認しなければならない。具体的には、剰余類の代表元の取り方によらず確定することを言わなければならない。すなわち、
Hが正規でなければこの演算は写像として無意味であることに注意。
正規部分群Hによる剰余集合G/Hがなす群をGのHによる剰余群(または商群)という。
無限巡回群Zとその部分群nZに対しn≠0のとき剰余群Z/nZは位数|n|の有限巡回群である。
いろいろ命題をいれる。
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