Hölderの不等式とL^p空間の包含関係
おはよう☀️今回はMathlogの初投稿をしてみました。
測度空間 $(X,\mathcal{F},\mu)$ を考え、$\Omega\in\mathcal{F}$ を可測集合とする。
Hölderの不等式
お馴染みのやつ
定理（Hölderの不等式）
$1\le p,q\le \infty$ が
$$ \frac1p+\frac1q=1 $$
を満たすとする（ただし $\frac1\infty=0$ と約束する）。
$f\in L^p(\Omega)$, $g\in L^q(\Omega)$ のとき
$$ \|fg\|_{L^1} \le \|f\|_{L^p}\|g\|_{L^q} $$
が成り立つ。
証明
まず $(p,q)=(1,\infty)$ の場合を示す。
$(\infty,1)$ の場合も同様である。
$$
\begin{aligned}
\|fg\|_{L^1}
&=
\int_\Omega |f(x)g(x)|\,d\mu\\
&\le
\|g\|_{L^\infty}
\int_\Omega |f(x)|\,d\mu\\
&=
\|f\|_{L^1}\|g\|_{L^\infty}.
\end{aligned}
$$
したがって主張が従う。
次に $1< p,q<\infty$ の場合を考える。
このとき Young の不等式
$$
ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}
\qquad
(a,b\ge0)
$$
が成り立つ。
$f,g$ が零関数でないとして
$$
a=\frac{|f(x)|}{\|f\|_{L^p}},
\qquad
b=\frac{|g(x)|}{\|g\|_{L^q}}
$$
とおくと、
$$
\frac{|f(x)g(x)|}
{\|f\|_{L^p}\|g\|_{L^q}}
\le
\frac{|f(x)|^p}
{p\,\|f\|_{L^p}^p}
+
\frac{|g(x)|^q}
{q\,\|g\|_{L^q}^q}.
$$
両辺を $\Omega$ 上で積分すると
$$
\begin{aligned}
\frac1{\|f\|_{L^p}\|g\|_{L^q}}
\int_\Omega |f(x)g(x)|\,d\mu
&\le
\frac1{p\|f\|_{L^p}^p}
\int_\Omega |f(x)|^p\,d\mu
+
\frac1{q\|g\|_{L^q}^q}
\int_\Omega |g(x)|^q\,d\mu\\
&=
\frac1p+\frac1q
=1.
\end{aligned}
$$
したがって
$$
\|fg\|_{L^1}
\le
\|f\|_{L^p}\|g\|_{L^q}
$$
が得られる。$\square$
Hölderの不等式から従う包含関係
定理
$1\le p< q\le\infty$ とする。
$ \mu(\Omega)<\infty $と仮定する。このとき
$$ L^q(\Omega)\subset L^p(\Omega) $$
が成り立つ。
証明
$
r=\frac{q}{p},
s=\frac{q}{q-p}
$とすると、$
\frac1r+\frac1s=1
$である。
Hölder の不等式を$|f|^p$ と定数関数 $1$ に適用すると
$$
\begin{aligned}
\|f\|_{L^p}^p
&=
\int_\Omega |f(x)|^p\,d\mu\\
&=
\int_\Omega |f(x)|^p\cdot 1\,d\mu\\
&\le
\left(
\int_\Omega |f(x)|^{pr}\,d\mu
\right)^{1/r}
\left(
\int_\Omega 1^s\,d\mu
\right)^{1/s}.
\end{aligned}
$$
ここで$pr=q$であるから
$$
\|f\|_{L^p}^p
\le
\left(
\int_\Omega |f(x)|^q\,d\mu
\right)^{p/q}
\mu(\Omega)^{(q-p)/q}.
$$
したがって
$$
\|f\|_{L^p}
\le
\|f\|_{L^q}\,
\mu(\Omega)^{\frac1p-\frac1q}.
$$
よって $f\in L^q(\Omega)$ ならば $f\in L^p(\Omega)$ であり、
$$
L^q(\Omega)\subset L^p(\Omega)
$$
が従う。$\square$
Hölderの不等式の応用：$L^p$ノルムの補間不等式
定理
$1\le p< q< r\le\infty$ とする。
また
$$ \theta = \frac{\frac1p-\frac1q} {\frac1p-\frac1r} $$
と定める。このとき$L^p(\Omega)\cap L^r(\Omega) \subset L^q(\Omega)$であり、
任意の$ f\in L^p(\Omega)\cap L^r(\Omega)$に対して
$$ \|f\|_{L^q} \le \|f\|_{L^p}^{\,1-\theta} \|f\|_{L^r}^{\,\theta} $$
が成り立つ。
$\theta$ の意味
$\theta$ の定義を変形すると
$$
\frac1q
=
\frac{1-\theta}{p}
+
\frac{\theta}{r}
$$
となる。
すなわち $\frac1q$ は$\frac1p$ と $\frac1r$ の凸結合になっている。
内分
証明
まず $r<\infty$ の場合を示す。$\theta$ の定義から $0<\theta<1$ であり、
$$
p'=\frac{p}{(1-\theta)q},
\qquad
r'=\frac{r}{\theta q}
$$
とおくと
$$
\frac1{p'}+\frac1{r'}=1
$$
が成り立つ。そこで
$$
|f|^q
=
|f|^{(1-\theta)q}
|f|^{\theta q}
$$
に Hölder の不等式を適用すると
$$
\begin{aligned}
\|f\|_{L^q}^q
&=
\int_\Omega |f(x)|^q\,d\mu\\
&=
\int_\Omega
|f(x)|^{(1-\theta)q}
|f(x)|^{\theta q}
\,d\mu\\
&\le
\left(
\int_\Omega
|f(x)|^{(1-\theta)q\,p'}
\,d\mu
\right)^{1/p'}
\left(
\int_\Omega
|f(x)|^{\theta q\,r'}
\,d\mu
\right)^{1/r'}.
\end{aligned}
$$
ここで
$$
(1-\theta)q\,p'=p,
\qquad
\theta q\,r'=r
$$
なので
$$
\|f\|_{L^q}^q
\le
\left(
\int_\Omega |f(x)|^p\,d\mu
\right)^{\frac{(1-\theta)q}{p}}
\left(
\int_\Omega |f(x)|^r\,d\mu
\right)^{\frac{\theta q}{r}}.
$$
すなわち
$$
\|f\|_{L^q}
\le
\|f\|_{L^p}^{1-\theta}
\|f\|_{L^r}^{\theta}
$$
が従う。
次に $r=\infty$ の場合を考える。
このとき$
\theta
=
1-\frac{p}{q}
$であり、$
q=\frac{p}{1-\theta}
$となる。
したがって
$$
|f|^q
=
|f|^p
|f|^{\frac{p\theta}{1-\theta}}
\le
|f|^p
\|f\|_{L^\infty}^{\frac{p\theta}{1-\theta}}.
$$
両辺を積分すると
$$
\|f\|_{L^q}^q
\le
\|f\|_{L^p}^p
\|f\|_{L^\infty}^{\frac{p\theta}{1-\theta}}.
$$
$q=\frac{p}{1-\theta}$ を用いて整理すると
$$
\|f\|_{L^q}
\le
\|f\|_{L^p}^{1-\theta}
\|f\|_{L^\infty}^{\theta}.
$$
よって主張が成り立つ。$\square$
弱 $L^p$ 空間の準備
弱 $L^p$ 空間を導入するために、まず分布関数を定義する。
定義（分布関数）
$\Omega$ 上の可測関数 $f$ に対し、
$$ d_f(\alpha) := \mu\bigl( \{x\in\Omega:\ |f(x)|>\alpha\} \bigr) \qquad (\alpha\ge0) $$
を $f$ の分布関数という。
定理
$(X,\mathcal F,\mu)$ を $\sigma$-有限測度空間とする。
$1\le p<\infty$ とし、$f\in L^p(\Omega)$ とする。
このとき
$$ \|f\|_{L^p}^p = p\int_0^\infty \alpha^{p-1} d_f(\alpha) \,d\alpha $$
が成り立つ。
証明
Fubiniの定理より
$$
\begin{aligned}
p\int_0^\infty
\alpha^{p-1}
d_f(\alpha)
\,d\alpha
&=
p\int_0^\infty
\alpha^{p-1}
\int_\Omega
\mathbf1_{\{|f|>\alpha\}}
\,d\mu
\,d\alpha\\
&=
\int_\Omega
\int_0^\infty
p\alpha^{p-1}
\mathbf1_{\{|f(x)|>\alpha\}}
\,d\alpha
\,d\mu\\
&=
\int_\Omega
\int_0^{|f(x)|}
p\alpha^{p-1}
\,d\alpha
\,d\mu\\
&=
\int_\Omega |f(x)|^p\,d\mu\\
&=
\|f\|_{L^p}^p.
\end{aligned}
$$
$\square$
弱 $L^p$ 空間
定義
$1\le p<\infty$ とする。弱 $L^p$ 空間 $L^{p,\infty}(\Omega)$ を
$$ \|f\|_{L^{p,\infty}} = \sup_{\alpha>0} \alpha\,d_f(\alpha)^{1/p} <\infty $$
を満たす可測関数全体の集合として定める。
$p=\infty$ の場合には$L^{\infty,\infty}(\Omega)= L^\infty(\Omega) $となる。
この記法はローレンツ空間$L^{p,q}(\Omega)$との整合性のために用いられる(多分)
最後に先ほど示した $L^p$の補間不等式の弱 $L^p$版(?)とも言える結果を見ていく
弱 $L^p$ ノルムに対する補間不等式
ここで、弱 $L^p$ ノルムに対しても、通常の $L^p$ ノルムの場合とよく似た補間不等式が成立することを見てみる。
定理
$(X,\mathcal F,\mu)$ を有限測度空間とする。また、$1\le p< q< r\le\infty$
とする。このとき$ f\in L^{p,\infty}(\Omega)\cap L^{r,\infty}(\Omega)$ならば
$ f\in L^q(\Omega) $であり、
$$ \|f\|_{L^q} \le \left( \frac{q}{q-p} + \frac{q}{r-q} \right)^{1/q} \|f\|_{L^{p,\infty}}^\theta \|f\|_{L^{r,\infty}}^{1-\theta} $$
が成り立つ。
($\theta$は上で出てきたものと同じ)
証明
まず $r<\infty$ の場合を示す。
弱 $L^p$ ノルムの定義から、任意の $\alpha>0$ に対し
$$
d_f(\alpha)
\le
\min\left\{
\frac{\|f\|_{L^{p,\infty}}^p}{\alpha^p},
\,
\frac{\|f\|_{L^{r,\infty}}^r}{\alpha^r}
\right\}
$$
が成り立つ。
ここで
$$
\frac{\|f\|_{L^{p,\infty}}^p}{\alpha^p}
=
\frac{\|f\|_{L^{r,\infty}}^r}{\alpha^r}
$$
より、
$$
\alpha^{r-p}
=
\frac{\|f\|_{L^{r,\infty}}^r}
{\|f\|_{L^{p,\infty}}^p}
$$
であることに注意して、
$$
B=
\left(
\frac{\|f\|_{L^{r,\infty}}^r}
{\|f\|_{L^{p,\infty}}^p}
\right)^{\frac1{r-p}}
$$
とおく。
\begin{aligned}
\|f\|_{L^q}^q
&=
q
\int_0^\infty
\alpha^{q-1}
d_f(\alpha)\,d\alpha\\
&\le
q\int_0^\infty
\alpha^{q-1}
\min\left\{
\frac{\|f\|_{L^{p,\infty}}^p}{\alpha^p},
\frac{\|f\|_{L^{r,\infty}}^r}{\alpha^r}
\right\}
d\alpha\\
&=
q\int_0^B
\alpha^{q-p-1}
\|f\|_{L^{p,\infty}}^p\,d\alpha
+
q\int_B^\infty
\alpha^{q-r-1}
\|f\|_{L^{r,\infty}}^r\,d\alpha\\
&=
\frac{q}{q-p}\|f\|_{L^{p,\infty}}^{p}B^{q-p}
+
\frac{q}{r-q}\|f\|_{L^{r,\infty}}^{r}B^{q-r}\\
&=
\left(
\frac{q}{q-p}
+
\frac{q}{r-q}
\right)
\bigl(\|f\|_{L^{p,\infty}}\bigr)^{\frac{p(r-q)}{r-p}}
\bigl(\|f\|_{L^{r,\infty}}\bigr)^{\frac{r(q-p)}{r-p}}.
\end{aligned}
よって、
$$
\|f\|_{L^q}
\le
\left(
\frac{q}{q-p}
+
\frac{q}{r-q}
\right)^{1/q}
\|f\|_{L^{p,\infty}}^\theta
\|f\|_{L^{r,\infty}}^{1-\theta}
$$
を得る。
次に $r=\infty$ の場合を考える。
このとき$
d_f(\alpha)=0,
(\alpha>\|f\|_{L^\infty})$であるから
$$
\begin{aligned}
\|f\|_{L^q}^q
&=
q
\int_0^{\|f\|_{L^\infty}}
\alpha^{q-1}
d_f(\alpha)\,d\alpha\\
&\le
q
\int_0^{\|f\|_{L^\infty}}
\alpha^{q-p-1}
\|f\|_{L^{p,\infty}}^p
\,d\alpha\\
&=
\frac{q}{q-p}
\|f\|_{L^{p,\infty}}^p
\|f\|_{L^\infty}^{q-p}.
\end{aligned}
$$
したがって
$$
\|f\|_{L^q}
\le
\left(
\frac{q}{q-p}
\right)^{1/q}
\|f\|_{L^{p,\infty}}^{p/q}
\|f\|_{L^\infty}^{1-p/q}.
$$
よって結論が従う。
$\square$
定理
$ 1\le p< q< r\le\infty, \frac1q=\frac{1-\theta}{p}+\frac{\theta}{r}, 0\le\theta\le1 $とする。
このとき
$$ \|f\|_{L^{q,\infty}} \le \|f\|_{L^{p,\infty}}^{\,1-\theta} \|f\|_{L^{r,\infty}}^{\,\theta} $$
が成り立つ。
証明
$
\frac1q
=
\frac{1-\theta}{p}
+
\frac{\theta}{r}
$より
$$
\begin{aligned}
\alpha d_f(\alpha)^{1/q}
&=
\bigl(
\alpha d_f(\alpha)^{1/p}
\bigr)^{1-\theta}
\bigl(
\alpha d_f(\alpha)^{1/r}
\bigr)^\theta\\
&\le
\|f\|_{L^{p,\infty}}^{\,1-\theta}
\|f\|_{L^{r,\infty}}^{\,\theta}.
\end{aligned}
$$
したがって両辺について $\alpha>0$ で上限を取れば
$$
\|f\|_{L^{q,\infty}}
=
\sup_{\alpha>0}
\alpha d_f(\alpha)^{1/q}
\le
\|f\|_{L^{p,\infty}}^{\,1-\theta}
\|f\|_{L^{r,\infty}}^{\,\theta}.
$$
よって結論が従う。
$\square$
コメント
いきなり現れた弱 $L^p$ 準ノルムに対しても、通常の $L^p$ ノルムの場合と非常によく似た補間不等式が成立するのは面白いですね。
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