極大エピ・強エピまとめ

$\alpha \circ e=\beta \circ e$とすると，$e$は$\alpha ,\beta$の等化子を通して分解される．等化子はモノであるから同型であり，$\alpha =\beta$を得る．従って$e$はエピである．

$f$をモノかつ極大エピとすると，分解$f=f\circ \mathrm{id}$により$f$は同型である．
$f$が同型のとき，$f$はモノかつエピである．$f$の任意のモノ射$m$を通した分解$f=m\circ g$について，$\mathrm{id}=m\circ (g\circ f^{-1})$であるから$m$は分裂エピでもあり，従って同型である．よって$f$は極大エピである．

$e:x\to y$がすべてのモノ射と直交するとする．$\alpha ,\beta :y\to z$が$\alpha \circ e=\beta \circ e$をみたすとする．$\mathrm{\Delta }={\mathrm{\Delta }}_z:z\to z\times z$を対角射とすると，$\mathrm{\Delta }$は(分裂)モノであり，四角形
$$xe\alpha \circ e=\beta \circ ey(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\beta })tz\mathrm{\Delta }z\times z$$
は交換する．よって充填$t:y\to z$が存在し，
$$\begin{array}{r}\alpha =p_1\circ (\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\beta })=p_1\circ \mathrm{\Delta }\circ t=t=p_2\circ \mathrm{\Delta }\circ t=p_2\circ (\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\beta })=\beta \end{array}$$
を得る($z\stackrel{p_1}{\leftarrow }z\times z\stackrel{p_2}{\to }z$は積の射影)．よって$e$はエピである．

(イ) $m\circ u=v\circ e=m\circ t\circ e$で，$m$がモノゆえ$u=t\circ e$を得る．(ロ)についても同様である．

(イ) $f:a\to b$, $g:b\to c$を強エピ射とする．$f,g$はエピであるから，$g\circ f$もそうである．任意のモノ射$m:x\to y$と可換四角形
$$\begin{array}{}\text{(1)}& afubgv\circ gtcvxmy\end{array}$$
をとる．左側の歪な四角形において，$f$の強性により充填$t:b\to x$が存在する．次に
$$afubgtcvsxmy$$
の右側の四角形と$g$の強性により充填$s:c\to x$を得る．$s$は$\text{(1)}$の外側の大きな四角形の充填を与え，$g\circ f$が$m$と直交することが示された．
(ロ) $f:a\to b$, $g:b\to c$とし，$g\circ f$が強エピとする．このとき$g$はエピである．任意のモノ射$m:x\to y$と可換な四角形
$$afu\circ fbgucvxmy(2)$$
(2)をとる．外側の歪な四角形と$g\circ f$の強性から，充填$t:c\to x$が存在する．補題4により，$t$は四角形(2)の充填でもあり，$g$が$m$と直交することが示された．
(ハ) $e:x\to y$を強エピ射とし，任意の射$f:x\to z$との押し出し
$$\begin{array}{}\text{(3)}& xefyqzpy{+}_{x}z\end{array}$$
を考える．$p$はエピである．$p$の強性を示すため，任意のモノ射$m:a\to b$と可換な四角形
$$\begin{array}{}\text{(4)}& zpuy{+}_{x}zvamb\end{array}$$
をとる．このとき$\text{(3)}$, $\text{(4)}$を合わせて可換四角形
$$xeu\circ fyv\circ qtamb$$
を得るから，$e$の強性により充填$t:y\to a$を得，
$$xefytzua$$
を可換にする．よって押し出し$\text{(3)}$の普遍性により$\phi :y{+}_{x}z\to a$があって，$u=\phi \circ p$, $t=\phi \circ q$をみたす．補題4により$\phi$が$\text{(4)}$の充填を与える．従って$p$は$m$と直交し，$p$が強エピであることが示された．

[(二)$⟹$(ハ)] $r:a\to b$を分裂エピとし，$s:b\to a$をその切片とする．$r$が${\mathrm{id}}_a$と$s\circ r$の余等化子であることを示す．まず，$r\circ (s\circ r)=r=r\circ {\mathrm{id}}_a$である．$f:a\to x$が$f=f\circ (s\circ r)$をみたすとする．
$$a\mathrm{id}s\circ rarfbhx$$
このとき$h=f\circ s$は$h\circ r=f$をみたす．一意性は$r$がエピであることから従う．
[(ハ)$⟹$(ロ)] $e:a\to b$を$u,v:x\to a$の余等化子とし，任意のモノ射$m:c\to d$および可換四角形
$$xuvae\phi b\psi tcmd$$
をとる．このとき
$$\begin{array}{r}m\circ \phi \circ u=\psi \circ e\circ u=\psi \circ e\circ v=m\circ \phi \circ v\end{array}$$
であり，$m$がモノゆえ$\phi \circ u=\phi \circ v$を得る．従って余等化子$e$の普遍性から$t:b\to c$が存在して$\phi =t\circ e$をみたす．余等化子はエピであるから，補題4により$t$は充填であって，$e$の強エピ性を知る．
[(ロ)$⟹$(イ)] $e:a\to b$を強エピとし，その任意のモノ射$m:x\to b$を通した分解$e=m\circ g$を考える．このとき可換四角形
$$aegbtxmb$$
を得るから，充填$t:b\to x$を得る．このとき$m$は分裂エピでもあるから，同型である．よって$e$は極大エピである．
[(イ)$⟹$(ロ)] $\mathsf{C}$は引き戻しを持つとし，$e:a\to b$を極大エピとする．任意のモノ射$m:c\to d$および可換四角形
$$aeubvcmd$$
をとる．このとき$e$は，$v$に沿った$m$の引き戻し$v^{\ast }[m]$を通して分解される．$v^{\ast }[m]$はモノであるから，$e$の極大性により同型である．よって射$(b\cong c{\times }_{d}b\to c)$を得るが，補題4によりこれが充填を与える．
$$aeubvc{\times }_{d}b\sim cmd$$