極大エピ・強エピまとめ
極大エピ射
圏$\C$の極大エピ射(extremal epimorphism)とは，エピ射$e$であって，任意の分解$e=m\circ g$に対し，$m$がモノであれば同型であることをいう．
圏$\C$が等化子を持つとき，定義1で$e$がエピという仮定は冗長である．つまり，$e$がモノ射を通した非自明な分解を持たなければ，$e$は自動的にエピである．
$\alpha\circ e=\beta\circ e$とすると，$e$は$\alpha,\beta$の等化子を通して分解される．等化子はモノであるから同型であり，$\alpha=\beta$を得る．従って$e$はエピである．
圏$\C$の射は，モノかつ極大エピであるとき，またそのときに限り同型である．
$f$をモノかつ極大エピとすると，分解$f=f\circ\id$により$f$は同型である．
$f$が同型のとき，$f$はモノかつエピである．$f$の任意のモノ射$m$を通した分解$f=m\circ g$について，$\id=m\circ(g\circ f^{-1})$であるから$m$は分裂エピでもあり，従って同型である．よって$f$は極大エピである．
強エピ射
圏$\C$の射$e\colon x\to y$, $m\colon z\to w$について，$e$と$m$が直交するとは，任意の可換な四角形
\begin{xy}\tag{$\square$}\label{square}\xymatrix{
x \ar[r]^e\ar[d]_u &y \ar[d]^v\ar@{.>}[ld]^t\\
z \ar[r]_m &w
}\end{xy}
に対し，$t\colon y\to z$が一意に存在して$u=t\circ e$, $v=m\circ t$をみたすことをいう．このような射$t$を可換四角形\eqref{square}の(対角)充填(filler)という．
$e$がエピ，あるいは$m$がモノであれば，充填は存在すれば一意である．
圏$\C$の強エピ射(strong epimorphism)とは，エピ射であって，すべてのモノ射と直交する射のこと．
$\C$が二項積を持てば，定義3においてエピ射の仮定は不要である．
$e\colon x\to y$がすべてのモノ射と直交するとする．$\alpha,\beta\colon y\to z$が$\alpha\circ e=\beta\circ e$をみたすとする．$\Delta=\Delta_z\colon z\to z\times z$を対角射とすると，$\Delta$は(分裂)モノであり，四角形
\begin{xy}\xymatrix{
x \ar[r]^e\ar[d]_{\alpha\circ e=\beta\circ e} &y \ar[d]^{\binom{\alpha}{\beta}}\ar@{.>}[ld]^t\\
z \ar[r]_\Delta &z\times z
}\end{xy}
は交換する．よって充填$t\colon y\to z$が存在し，
\begin{align}
\alpha=p_1\circ\binom{\alpha}{\beta}=p_1\circ\Delta\circ t=t=p_2\circ\Delta\circ t=p_2\circ\binom{\alpha}{\beta}=\beta
\end{align}
を得る($z\xleftarrow{p_1}z\times z\xrightarrow{p_2}z$は積の射影)．よって$e$はエピである．
可換四角形\eqref{square}と射$t\colon y\to z$について，
(イ) $m$がモノで，$v=m\circ t$であれば$u=t\circ e$である($t$は充填である)．
(ロ) $e$がエピで，$u=t\circ e$であれば$v=m\circ t$である($t$は充填である)．
(イ) $m\circ u=v\circ e=m\circ t\circ e$で，$m$がモノゆえ$u=t\circ e$を得る．(ロ)についても同様である．
(イ) 二つの強エピ射の合成は強エピである．
(ロ) $g\circ f$が強エピであれば，$g$は強エピである．
(ハ) 強エピ射は押し出しで保たれる．
(イ) $f\colon a\to b$, $g\colon b\to c$を強エピ射とする．$f,g$はエピであるから，$g\circ f$もそうである．任意のモノ射$m\colon x\to y$と可換四角形
\begin{xy}\tag{1}\label{comp}\xymatrix{
a \ar[r]^f\ar[d]_u &b \ar[r]^g\ar[rd]_{v\circ g}\ar@{.>}[ld]^t &c \ar[d]^v\\
x \ar[rr]_m &&y
}\end{xy}
をとる．左側の歪な四角形において，$f$の強性により充填$t\colon b\to x$が存在する．次に
\begin{xy}\xymatrix{
a \ar[r]^f\ar[d]_u &b \ar[r]^g\ar[ld]_t &c \ar[d]^v\ar@{.>}[lld]^s\\
x \ar[rr]_m &&y
}\end{xy}
の右側の四角形と$g$の強性により充填$s\colon c\to x$を得る．$s$は\eqref{comp}の外側の大きな四角形の充填を与え，$g\circ f$が$m$と直交することが示された．
(ロ) $f\colon a\to b$, $g\colon b\to c$とし，$g\circ f$が強エピとする．このとき$g$はエピである．任意のモノ射$m\colon x\to y$と可換な四角形
\begin{xy}\xymatrix{
a \ar[r]^f\ar[rd]_{u\circ f} &b \ar[r]^g\ar[d]_u &c \ar[d]^v\\
&x \ar[r]_m &y \ar@{}[lu]|{(2)}
}\end{xy}
(2)をとる．外側の歪な四角形と$g\circ f$の強性から，充填$t\colon c\to x$が存在する．補題4により，$t$は四角形(2)の充填でもあり，$g$が$m$と直交することが示された．
(ハ) $e\colon x\to y$を強エピ射とし，任意の射$f\colon x\to z$との押し出し
\begin{xy}\tag{3}\label{po}\xymatrix{
x \ar[r]^e\ar[d]_f &y \ar[d]^q\\
z \ar[r]_p &y+_xz
}\end{xy}
を考える．$p$はエピである．$p$の強性を示すため，任意のモノ射$m\colon a\to b$と可換な四角形
\begin{xy}\tag{4}\label{sqpo}\xymatrix{
z \ar[r]^p\ar[d]_u &y+_xz \ar[d]^v\\
a \ar[r]_m &b
}\end{xy}
をとる．このとき\eqref{po}, \eqref{sqpo}を合わせて可換四角形
\begin{xy}\xymatrix{
x \ar[r]^e\ar[d]_{u\circ f} &y \ar[d]^{v\circ q}\ar@{.>}[ld]_t\\
a \ar[r]_m &b
}\end{xy}
を得るから，$e$の強性により充填$t\colon y\to a$を得，
\begin{xy}\xymatrix{
x \ar[r]^e\ar[d]_f &y \ar[d]^t\\
z \ar[r]_u &a
}\end{xy}
を可換にする．よって押し出し\eqref{po}の普遍性により$\varphi\colon y+_xz\to a$があって，$u=\varphi\circ p$, $t=\varphi\circ q$をみたす．補題4により$\varphi$が\eqref{sqpo}の充填を与える．従って$p$は$m$と直交し，$p$が強エピであることが示された．
いろいろなエピとの関係
圏$\C$の射の性質(イ)極大エピ(ロ)強エピ(ハ)正則エピ(ニ)分裂エピについて，論理包含
\begin{align}
(\text{ニ})\implies(\text{ハ})\implies(\text{ロ})\implies(\text{イ})
\end{align}
が成り立つ．$\C$が引き戻しを持つとき，(イ)$\implies$(ロ)が成り立つ．
[(二)$\implies$(ハ)] $r\colon a\to b$を分裂エピとし，$s\colon b\to a$をその切片とする．$r$が$\id_a$と$s\circ r$の余等化子であることを示す．まず，$r\circ(s\circ r)=r=r\circ \id_a$である．$f\colon a\to x$が$f=f\circ(s\circ r)$をみたすとする．
\begin{xy}\xymatrix@R=12pt{
a \ar@<2pt>[r]^\id\ar@<-2pt>[r]_{s\circ r} &a \ar[r]^r\ar[rd]_f &b \ar@{.>}[d]^h\\
&&x
}\end{xy}
このとき$h=f\circ s$は$h\circ r=f$をみたす．一意性は$r$がエピであることから従う．
[(ハ)$\implies$(ロ)] $e\colon a\to b$を$u,v\colon x\to a$の余等化子とし，任意のモノ射$m\colon c\to d$および可換四角形
\begin{xy}\xymatrix{
x \ar@<2pt>[r]^u\ar@<-2pt>[r]_v &a \ar[r]^e\ar[d]_\varphi &b \ar[d]^\psi\ar@{.>}[ld]^t\\
&c \ar[r]_m &d
}\end{xy}
をとる．このとき
\begin{align}
m\circ\varphi\circ u=\psi\circ e\circ u=\psi\circ e\circ v=m\circ\varphi\circ v
\end{align}
であり，$m$がモノゆえ$\varphi\circ u=\varphi\circ v$を得る．従って余等化子$e$の普遍性から$t\colon b\to c$が存在して$\varphi=t\circ e$をみたす．余等化子はエピであるから，補題4により$t$は充填であって，$e$の強エピ性を知る．
[(ロ)$\implies$(イ)] $e\colon a\to b$を強エピとし，その任意のモノ射$m\colon x\to b$を通した分解$e=m\circ g$を考える．このとき可換四角形
\begin{xy}\xymatrix{
a \ar[r]^e\ar[d]_g &b \ar@{=}[d]\ar@{.>}[ld]^t\\
x \ar[r]_m &b
}\end{xy}
を得るから，充填$t\colon b\to x$を得る．このとき$m$は分裂エピでもあるから，同型である．よって$e$は極大エピである．
[(イ)$\implies$(ロ)] $\C$は引き戻しを持つとし，$e\colon a\to b$を極大エピとする．任意のモノ射$m\colon c\to d$および可換四角形
\begin{xy}\xymatrix{
a \ar[r]^e\ar[d]_u &b \ar[d]^v\\
c \ar[r]_m &d
}\end{xy}
をとる．このとき$e$は，$v$に沿った$m$の引き戻し$v^\ast[m]$を通して分解される．$v^\ast[m]$はモノであるから，$e$の極大性により同型である．よって射$(b\cong c\times_db\to c)$を得るが，補題4によりこれが充填を与える．
\begin{xy}\xymatrix@=16pt{
a \ar[rr]^e\ar[dd]_u\ar[rd] &&b \ar[dd]^v\\
&c\times_db \ar[ru]^\sim\ar[ld] &\\
c \ar[rr]_m &&d
}\end{xy}
モノver.
双対的に極大モノ射(extremal monomorphism), 強モノ射(strong monomorphism)が定義され，同様の性質をみたす．
