ラプラス変換によるリーマンゼータ関数の積分表示の導出

こんちくは

こんにちは。お祭りでじゃんけんに勝利し、チョコバナナを二本ゲットした爺です。おいしかった。幸せである。
さて、今回はラプラス変換で遊んでたら見つけたやつ。多分とっくのとうに既出()

ほんぺん

まずラプラス変換を載せておきます。

ここで、
\begin{align*} f(x)=x^{n}\quad(n\in\mathbb{N}) \end{align*}
とすると、
\begin{align*} \mathcal{L}[f(s)]&=\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-sx}dx\\ &=\frac{1}{s^{n+1}}\int_{0}^{\infty}u^{n}e^{-u}du\quad\because x=\frac{u}{n}\\ &=\frac{n!}{s^{n+1}} \end{align*}
最後の等号にはガンマ関数を用いました。さて、ラプラス変換の結果がリーマンゼータ関数に非常に似ていますよね！これを見てひらめきました。「これいけるべ」と。
さて実際に計算してみましょう。
\begin{align*} \zeta(n+1)&=\sum_{0< s}\frac{1}{s^{n+1}}\\ &=\frac{1}{n!}\sum_{0< s}\frac{n!}{s^{n+1}}\\ &=\frac{1}{n!}\sum_{0< s}\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-sx}dx \end{align*}
積分と総和を交換したいですね...。すなわち、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}x^{n}\sum_{0< s}e^{-sx}dx=\sum_{0< s}\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-sx}dx\quad\cdots(*) \end{align*}
を示したいわけです。そのために次の定理を使いましょう。

今回、
\begin{align*} f_{n}(x)=\sum_{s=1}^{n}e^{-sx} \end{align*}
とすると、$f_{n}$は常に正であり有限です。よって非負可測関数列となり、ルベーグの単調収束定理を適用できます。
よって、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}x^{n}\sum_{0< s}e^{-sx}dx=\sum_{0< s}\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-sx}dx\quad\cdots(*) \end{align*}
が正当化されました。これを使って式変形を再開しましょう。
\begin{align*} \zeta(n+1)&=\frac{1}{n!}\sum_{0< s}\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-sx}dx\\ &=\frac{1}{n!}\int_{0}^{\infty}x^n \sum_{0< s}e^{-sx}dx\quad\because(*)\\ &=\frac{1}{n!}\int_{0}^{\infty}\frac{x^n}{e^{x}-1}dx\\ \end{align*}
これを$\zeta(n)=$の形に変形してあげると、
\begin{align*} \zeta(n)=\frac{1}{(n-1)!}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{e^{x}-1}dx \end{align*}
実は、これはリーマンゼータ関数の解析接続にもなっており(なぜかはよくわかりません)、任意の$\Re(s)>1$なる複素数sに対して
\begin{align*} \zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}dx \end{align*}
とすることができます。
これにて、ラプラス変換を利用することによりリーマンゼータ関数の積分表示(解析接続)を導出することができました！

おわり

僕はルベーグ積分論や解析接続をほとんど知らないぺーぺーなので、間違ったことを堂々と言っていることがあるかもしれません。また、今回の記事は人生で初めて積分と総和の交換を正当化しました。「ここはこうしたほうがいいかも」などの指摘があればコメントのほうからお願いします。ほな、さいなら！