k-リュカ数列を用いたk-ナッチ数列の加法定理

フィボナッチ数列,k-ナッチ数列,k-リュカ数列

はじめに

私が高校時代に友人と研究したものを紹介します。
また、この記事ではk-ナッチ数列を$F_n^{[k]}$,k-リュカ数列を$L_n^{[k]}$と表記します。

k-ナッチ数列、k-リュカ数列の定義

k-ナッチ数列とk-リュカ数列は漸化式を用いて次のように定義されます。

k-ナッチ数列、k-リュカ数列の漸化式

$F_n^{[k]}:=\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 0　　　　　　(0 \leq n \leq k-2) \\ 1　　　　　　(n=k-1)　\\ \sum_{i=1}^{k}F_{n-i}^{[k]}　(k \leq n) \end{array} \right. \end{eqnarray}$

$L_n^{[k]}:=\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} k　　　　　　(n=0) \\ 2^n-1　　　(1 \leq n \leq k-1)　\\ \sum_{i=1}^{k}L_{n-i}^{[k]}　(k \leq n) \end{array} \right. \end{eqnarray}$

また、一般項は次のとおりです。

k-ナッチ数列、k-リュカ数列の一般項

$F_n^{[k]}=\sum_{i=1}^{k}\frac{α_i^n}{f'(α_i)}$
$L_n^{[k]}=\sum_{i=1}^{k}α_i^n$
ただし、$f(x):=x^k-x^{k-1}- \cdots -1$とすると$α_1,α_2, \cdots ,α_k$は$f(x)=0$のk個の解

このことについては apu_yokai氏の k-ナッチ数とk-リュカ数等を参照してください。

k-ナッチ数列、k-リュカ数列の加法定理

私が発見した式は以下となります。

k-ナッチ数列、k-リュカ数列の加法定理

$F_{m+n}^{[k]}=-\sum_{i=1}^{k}F_{m-(i-1)n}^{[k]}\sum_{m_1+2m_2+ \cdots +im_i=i,m_1 \geq 0 \cdots m_i \geq 0} \prod_{j=0}^{i} \frac{(-L_{jn}^{[k]})^{m_j}}{m_j!j^{m_j}} $
$L_{m+n}^{[k]}=-\sum_{i=1}^{k}L_{m-(i-1)n}^{[k]}\sum_{m_1+2m_2+ \cdots +im_i=i,m_1 \geq 0 \cdots m_i \geq 0} \prod_{j=0}^{i} \frac{(-L_{jn}^{[k]})^{m_j}}{m_j!j^{m_j}} $

......証明パートで詳しく説明するので一旦飲み込んでください。

先行研究との相違点

Y.K.氏が k-ナッチ数列の加法定理を求めるにて紹介された加法定理
$F_{m+n}^{[k]}= \sum_{i=1}^{k} F_{n-i+1}^{[k]} \sum_{t=i}^{k} F_{t+m-2}^{[k]}$
との相違点を説明します。
まず、フィボナッチ数列の加法定理は以下の2つが知られています。

フィボナッチ数列の加法定理

$F_{m+n}=F_{n-1}F_{m}+F_nF_{m+1}$
$2F_{m+n}=F_mL_n+L_mF_n$

このうち前者はY.K.氏の式にk=2を代入すると得られます。一方、本定理は後者を拡張したものとなります。このことは実際にk=2を代入すると
$F_{m+n}=F_mL_n-(-1)^nF_{m-n}$
　　　$=F_mL_n-α_1^nα_2^n(\frac{α_1^{m-n}}{f'(a_1)}+\frac{α_2^{m-n}}{f'(a_2)})$
　　　$=F_mL_n+(α_1^m+α_2^m)(\frac{α_1^{n}}{f'(a_1)}+\frac{α_2^{n}}{f'(a_2)})-(\frac{α_1^{m+n}}{f'(a_1)}+\frac{α_2^{m+n}}{f'(a_2)})$
$2F_{m+n}=F_mL_n+L_mF_n$
となり、成り立つことが分かります。
また、k-リュカ数列の加法定理もk=2を代入すると同様に既存の式
$2L_{m+n}=5F_mF_n+L_mL_n$
と合致します。

証明の準備

証明する前に新たに式を定義します。

$e_{(i,n)}^{[k]}$(基本対称式もどき)

$e_{(i,n)}^{[k]}:=\sum_{1\leq j_1\lt j_2\lt\cdots \lt j_i\leq k}α^n_{j_1}α^n_{j_2}\cdotsα^n_{j_i}$

この式はニュートンの恒等式より以下のことが言えます。

ニュートンの恒等式もどき

$e_{(i,n)}^{[k]}=\sum_{m_1+2m_2+ \cdots +im_i=i,m_1 \geq 0 \cdots m_i \geq 0} \prod_{j=0}^{i} \frac{(-L_{jn}^{[k]})^{m_j}}{m_j!j^{m_j}}$

このの式はwikipediaのニュートンの恒等式の「関連する恒等式」の「べき和による基本対称式を表現」を参考にしました。

この$e_{(i,n)}^{[k]}$を用いると本定理は次のように表わせられます。

加法定理の別表現

$F_{m+n}^{[k]}=\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i+1}e_{(i,n)}^{[k]}F_{m-(i-1)n}^{[k]}$
$L_{m+n}^{[k]}=\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i+1}e_{(i,n)}^{[k]}L_{m-(i-1)n}^{[k]}$

だいぶ見やすくなったと思います。

証明

まずはk-ナッチ数列の方を証明します。

k-ナッチ数列

補題3の右辺を変形させると、
$F_{m+n}^{[k]}=\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i+1}e_{(i,n)}^{[k]}F_{m-(i-1)n}^{[k]}$
　　　$=\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i+1}e_{(i,n)}^{[k]}\sum_{j=1}^{k}\frac{α_j^{m-(i-1)n}}{f'(α_j)}$
　　　$=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{k}(-1)^{i+1}e_{(i,n)}^{[k]}\frac{α_j^{m-(i-1)n}}{f'(α_j)}$
　　　$=\sum_{j=1}^{k}\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i+1}e_{(i,n)}^{[k]}\frac{α_j^{m-(i-1)n}}{f'(α_j)}$
　　　$=\sum_{j=1}^{k}\frac{α_j^{m-(k-1)n}}{f'(α_j)}\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i+1}e_{(i,n)}^{[k]}α_j^{(k-i)n}$

ここで
$\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i+1}e_{(i,n)}^{[k]}α_j^{(k-i)n}=α_j^{kn}$
を示します。

$P_k(x):=(x-α_1^n)\cdots(x-α_k^n)$
とすると、解と係数の関係より
$P_k(x)=x^k-\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i+1}e_{(i,n)}^{[k]}x^{k-i}$
$P_k(x)$に$x=α_j^n$を代入すると
$P_k(x)=x^k-\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i+1}e_{(i,n)}^{[k]}α_j^{(k-i)n}=0$
であるから
$\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i+1}e_{(i,n)}^{[k]}α_j^{(k-i)n}=α_j^{kn}$

よって
$\sum_{j=1}^{k}\frac{α_j^{m-(k-1)n}}{f'(α_j)}\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i+1}e_{(i,n)}^{[k]}α_j^{(k-i)n}=\sum_{j=1}^{k}\frac{α_j^{m-(k-1)n}}{f'(α_j)}α_j^{kn}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　$=\sum_{j=1}^{k}\frac{α_j^{m+n}}{f'(α_j)}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　$=F_{m+n}^{[k]}$

以上より
$F_{m+n}^{[k]}=\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i+1}e_{(i,n)}^{[k]}F_{m-(i-1)n}^{[k]}$

また、k-リュカ数列の加法定理も${f'(α_j)}$を1に置き換えることで同様に示せます。
さらに言えば、任意のk項間漸化式も${f'(α_j)}$を適する値に置き換えれば成り立つことが言うえます。