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東大数理院試過去問解答例(2024A06)

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2024A06

以下の定積分の値を計算しなさい
(1) 0logxx2+1dx
(2) 0logxx21dx

  1. 積分
    01logxx2+1dx
    x1tで置換積分すると
    1logtt2+1dt
    になるからこれによって
    0logx1+x2dx=0
    が従う。
  2. 経路Cを、iεからεまで時計回りに進むC0εからRまで実軸上を進むC1RからiRまで反時計回りに進むC2iRからiεまで虚軸上を進むC4からなる経路とする。logxx21は分枝を適切に取ることでC上及びその内部の領域で定義され、この領域上極を持たない。よって
    Clogxx21=0
    である。次に
    |C1logxx21dx|0π2|logε+iθε2ei2θ1ε|dθ0π2|log2ε+θ21ε2ε|dθπ2(1ε2)ε3+log2εε+00
    |C3logxx21dx|0π2|logR+iθR2ei2θ1R|dθR0
    C4logxx21dx=Rεiπ2+logxx21idxε+0,Rπ2011+x2dx=π24
    である。以上から所望の積分値は0(π24)=π24である。
投稿日:2024811
更新日:2024915
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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