東大数理院試過去問解答例(2024A06)

409

2024A06

以下の定積分の値を計算しなさい
(1) $\int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{x^{2} + 1} d x$
(2) $\int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{x^{2} - 1} d x$

積分
$\int_{0}^{1} \frac{\log x}{x^{2} + 1} d x$
を $x \mapsto \frac{1}{t}$ で置換積分すると
$- \int_{1}^{\infty} \frac{\log t}{t^{2} + 1} d t$
になるからこれによって
$\int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{1 + x^{2}} d x = 0$
が従う。
経路 $C$ を、 $i ε$ から $ε$ まで時計回りに進む $C_{0}$ ・ $ε$ から $R$ まで実軸上を進む $C_{1}$ ・ $R$ から $i R$ まで反時計回りに進む $C_{2}$ ・ $i R$ から $i ε$ まで虚軸上を進む $C_{4}$ からなる経路とする。 $\frac{\log x}{x^{2} - 1}$ は分枝を適切に取ることで $C$ 上及びその内部の領域で定義され、この領域上極を持たない。よって
$\int_{C} \frac{\log x}{x^{2} - 1} = 0$
である。次に
$\begin{aligned} | \int_{C_{1}} \frac{\log x}{x^{2} - 1} d x | & \leq \int_{0}^{\frac{π}{2}} | \frac{\log ε + i θ}{ε^{2} e^{i 2 θ} - 1} ε | d θ \\ \leq \int_{0}^{\frac{π}{2}} | \frac{\sqrt{\log^{2} ε + θ^{2}}}{1 - ε^{2}} ε | d θ \\ \leq \frac{π}{2 (1 - ε^{2})} ε \sqrt{3 + \log^{2} ε} & \overset{ε \to + 0}{\to} 0 \end{aligned}$
$\begin{aligned} | \int_{C_{3}} \frac{\log x}{x^{2} - 1} d x | & \leq \int_{0}^{\frac{π}{2}} | \frac{\log R + i θ}{R^{2} e^{i 2 θ} - 1} R | d θ & \overset{R \to \infty}{\to} 0 \end{aligned}$
$\begin{aligned} \int_{C_{4}} \frac{\log x}{x^{2} - 1} d x & = \int_{R}^{ε} \frac{\frac{i π}{2} + \log x}{- x^{2} - 1} i d x & \overset{ε \to + 0, R \to \infty}{\to} \frac{π}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x = - \frac{π^{2}}{4} \end{aligned}$
である。以上から所望の積分値は $0 - (- \frac{π^{2}}{4}) = \frac{π^{2}}{4}$ である。

投稿日：2024年8月11日

更新日：2024年9月15日

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藍色日和

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