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東大数理院試過去問解答例(2024A06)
東大数理院試過去問解答例(2024A06)
0
藍色日和
大学数学基礎
解説
東大数理院試過去問解答例(2024A06)
複素解析
,
解析
,
大学院入試
0
0
409
1
LaTeXエクスポート
2024A06
以下の定積分の値を計算しなさい
(1)
∫
0
∞
log
x
x
2
+
1
d
x
(2)
∫
0
∞
log
x
x
2
−
1
d
x
積分
∫
0
1
log
x
x
2
+
1
d
x
を
x
↦
1
t
で置換積分すると
−
∫
1
∞
log
t
t
2
+
1
d
t
になるからこれによって
∫
0
∞
log
x
1
+
x
2
d
x
=
0
が従う。
経路
C
を、
i
ε
から
ε
まで時計回りに進む
C
0
・
ε
から
R
まで実軸上を進む
C
1
・
R
から
i
R
まで反時計回りに進む
C
2
・
i
R
から
i
ε
まで虚軸上を進む
C
4
からなる経路とする。
log
x
x
2
−
1
は分枝を適切に取ることで
C
上及びその内部の領域で定義され、この領域上極を持たない。よって
∫
C
log
x
x
2
−
1
=
0
である。次に
|
∫
C
1
log
x
x
2
−
1
d
x
|
≤
∫
0
π
2
|
log
ε
+
i
θ
ε
2
e
i
2
θ
−
1
ε
|
d
θ
≤
∫
0
π
2
|
log
2
ε
+
θ
2
1
−
ε
2
ε
|
d
θ
≤
π
2
(
1
−
ε
2
)
ε
3
+
log
2
ε
→
ε
→
+
0
0
|
∫
C
3
log
x
x
2
−
1
d
x
|
≤
∫
0
π
2
|
log
R
+
i
θ
R
2
e
i
2
θ
−
1
R
|
d
θ
→
R
→
∞
0
∫
C
4
log
x
x
2
−
1
d
x
=
∫
R
ε
i
π
2
+
log
x
−
x
2
−
1
i
d
x
→
ε
→
+
0
,
R
→
∞
π
2
∫
0
∞
1
1
+
x
2
d
x
=
−
π
2
4
である。以上から所望の積分値は
0
−
(
−
π
2
4
)
=
π
2
4
である。
投稿日:2024年8月11日
更新日:2024年9月15日
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藍色日和
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