微分形式の練習問題

承知しました。微分形式の練習問題を以下に作成しました。

問題1

$\mathbb{R}^3$ 上の 1-形式 $\omega = xdy - y dx$ の外微分 $d\omega$ を計算してください。

問題2

2-形式 $\eta = z dx \wedge dy + x dy \wedge dz + y dz \wedge dx$ の外微分 $d\eta$ を計算し、その結果がゼロになることを確認してください。

問題3

平面上で定義される 1-形式 $\alpha = \frac{-y}{x^2 + y^2} dx + \frac{x}{x^2 + y^2} dy$ が閉形式であるが、単連結でない領域では正確形式でないことを示してください。

問題4

ベクトル場 $\mathbf{F} = ( -\frac{y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2} )$ に対応する 1-形式 $\omega$ の外微分を計算し、$\omega$ が閉形式であることを確認してください。

問題5

次の 1-形式 $\omega = y dx + x dy$ について、関数 $f$ を求めて $\omega = df$ を示し、$\omega$ が正確形式であることを確認してください。

解答1

$\omega = x , dy - y , dx$

外微分 $d\omega$ は次のように計算されます。

$$ d\omega = d(x , dy) - d(y , dx) $$

それぞれの項を計算します。

1つ目の項：
$$ d(x , dy) = dx \wedge dy $$

2つ目の項：
$$ d(y , dx) = dy \wedge dx = -dx \wedge dy $$

したがって、
$$ d\omega = dx \wedge dy - (-dx \wedge dy) = 2 , dx \wedge dy $$

解答2

$\eta = z , dx \wedge dy + x , dy \wedge dz + y , dz \wedge dx$

外微分 $d\eta$ を計算します。

$$ d\eta = d(z , dx \wedge dy) + d(x , dy \wedge dz) + d(y , dz \wedge dx) $$

各項を計算します。

1つ目の項：
$$ d(z , dx \wedge dy) = dz \wedge dx \wedge dy $$

2つ目の項：
$$ d(x , dy \wedge dz) = dx \wedge dy \wedge dz $$

3つ目の項：
$$ d(y , dz \wedge dx) = dy \wedge dz \wedge dx $$

しかし、$dx \wedge dy \wedge dz$ は順序に関係なく同じ符号で表されますので、これらをまとめると、
$$ d\eta = (dz \wedge dx \wedge dy) + (dx \wedge dy \wedge dz) + (dy \wedge dz \wedge dx) $$

これらは互いに符号が打ち消し合い、結果として $d\eta = 0$ となります。

解答3

$\alpha = \frac{-y}{x^2 + y^2} dx + \frac{x}{x^2 + y^2} dy$

まず、$\alpha$ が閉形式であることを示します。外微分を計算します。

$$ d\alpha = d\left( \frac{-y}{x^2 + y^2} \right) \wedge dx + d\left( \frac{x}{x^2 + y^2} \right) \wedge dy $$

計算すると、
$$ d\alpha = \left( \frac{- (x^2 + y^2)(dx \cdot y - dy \cdot x) + 2y(x , dx + y , dy)}{(x^2 + y^2)^2} \right) \wedge dx + \left( \frac{(x^2 + y^2)(dx \cdot y - dy \cdot x) - 2x(x , dx + y , dy)}{(x^2 + y^2)^2} \right) \wedge dy $$

これは複雑ですが、最終的に $d\alpha = 0$ となります。よって、$\alpha$ は閉形式です。

次に、$\alpha$ が単連結でない領域では正確形式でないことを示します。例えば、原点を除く平面全体では、$\alpha$ の積分はパスに依存します。したがって、$\alpha$ は正確形式ではありません。

解答4

$\omega = -\frac{y}{x^2 + y^2} dx + \frac{x}{x^2 + y^2} dy$

この 1-形式の外微分を計算します。

まず、$\omega$ を再度確認すると、これは前の問題の $\alpha$ と同じです。

外微分は既に計算しており、$d\omega = 0$ となります。

解答5

$\omega = y , dx + x , dy$

関数 $f$ を求めます。

まず、$f$ の全微分が $\omega$ に一致するようにします。

$$ df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy = y , dx + x , dy $$

したがって、
$$ \frac{\partial f}{\partial x} = y \quad \text{および} \quad \frac{\partial f}{\partial y} = x $$

これらの連立方程式を解くと、

$$ f = x y + C $$

ただし、$C$ は定数です。

したがって、$\omega = df$ であり、$\omega$ は正確形式です。

これらの問題と解答を通して、微分形式の基本的な操作や性質について理解を深めていただければ幸いです。