京大数学院試過去問解答例(2026専門03)
ここでは京大数学教室・RIMSの修士課程の院試の2026専門03の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
$p$を素数とする。$G=\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$の部分群で、$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$と同型であるようなものの個数を計算しなさい。
初めに$p$を奇素数とする。条件を満たす部分群を$H$とする。まず対角化不可能かつ位数$2$の元は単位元以外に存在しないから、$H$の元は全て対角化可能である。よって$H$の元たちは同時対角化可能であり、$H$は集合としては、ある$g\in G$を用いて
$$
\left\{1,-1,g^{-1}\begin{pmatrix}
-1&0\\
0&1
\end{pmatrix}g,g^{-1}\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}g\right\}
$$
と表される。ここでが$g,h\in G$が等式$g^{-1}\begin{pmatrix}
-1&0\\
0&1
\end{pmatrix}g=h^{-1}\begin{pmatrix}
-1&0\\
0&1
\end{pmatrix}h$を満たすためには$hg^{-1}$が対角行列であることが必要十分である。以上の議論と任意の$g\in G$に対して
$$
g^{-1}\begin{pmatrix}
-1&0\\
0&1
\end{pmatrix}g=h^{-1}\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}h
$$
であるような$h\in G$が存在することを考慮すれば、条件を満たすような$H$の個数は
$$
\frac{|\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)|}{2(p-1)^2}=\frac{(p^2-1)(p^2-p)}{2(p-1)^2}={\frac{p(p+1)}{2}}
$$
であることがわかった。
次に$p=2$とする。このとき$4\nmid |G|$なので、所望の$H$は存在しない。
以上の議論をまとめると、所望の$H$の個数は
$$
{\color{red}\begin{array}{cc}
\frac{p(p+1)}{2}&(p\neq2)\\
0&(p=2)
\end{array}}
$$
である。
