アクチュアリー損保数理 リスク尺度の整理

教科書損保数理を参照されたし.

岩沢・黒田岩沢・黒田を参照されたし.

(証明はDhaene et al.Dhaene et al.を参考にした.)
$X\sim Be(p)$,$Y\sim U(0,1)$とする(但し,$0< p\leq1-\alpha$).
$ES_\alpha(X)=p,CTE_\alpha(X)=1,$
$ES_\alpha(Y)=\displaystyle\frac{(1-\alpha)^2}{2},CTE_\alpha(Y)=\displaystyle\frac{1+\alpha}{2}$と計算できる.

（１）

背理法で示す.$ES_\alpha$を生成する歪み関数$g$が存在すると仮定する.
$X$に注目すれば,
\begin{align} p &=ES_\alpha(X)\\ &=E_g[X]\\ &=\displaystyle\int_0^\infty g(1-F_X(x))\ dx-\int_{-\infty}^0\{1-g(1-F_X(x))\}\ dx\\ &=\displaystyle\int_0^1 g(p)\ dx+\int_1^\infty g(0)\ dx-\int_{-\infty}^0\{1-g(1)\}\ dx\\ &=\displaystyle\int_0^1 g(p)\ dx+\int_1^\infty 0\ dx-\int_{-\infty}^0 0\ dx\\ &=g(p) \end{align}
である必要がある.
$Y$に注目すれば,
\begin{align} \frac{(1-\alpha)^2}{2} &=ES_\alpha(Y)\\ &=E_g[Y]\\ &=\displaystyle\int_0^\infty g(1-F_X(x))\ dx-\int_{-\infty}^0\{1-g(1-F_X(x))\}\ dx\\ &=\displaystyle\int_0^\alpha g(x)\ dx+\int_\alpha^1 (1-x)\ dx+\int_1^\infty 0\ dx-\int_{-\infty}^0 0\ dx\\ &\geq\displaystyle\int_0^\alpha (1-\alpha)\ dx+\int_\alpha^1 (1-x)\ dx+\int_1^\infty 0\ dx-\int_{-\infty}^0 0\ dx\\ &=(1-\alpha)\alpha+\frac{(1-\alpha)^2}{2} \end{align}
従って,$0\geq(1-\alpha)\alpha$となり,$0<\alpha<1$であることに矛盾する.

（２）

背理法で示す.$CTE_\alpha$を生成する歪み関数$g$が存在すると仮定する.
$X$に注目すれば,$1=CTE_\alpha(X)=E_g[X]=g(p)$であることと,$g$は非減少関数,$g(0)=0$,$g(1)=1$であることから,
\begin{equation} \hspace{100pt}g(u)= \begin{cases} 0 &(u=0)\\ 1 &(0< u\leq 1) \end{cases} \end{equation}
である必要がある.
$Y$に注目すれば,
\begin{align} \frac{1+\alpha}{2} &=CTE_\alpha(Y)\\ &=E_g[Y]\\ &=\displaystyle\int_0^\infty g(1-F_X(x))\ dx-\int_{-\infty}^0\{1-g(1-F_X(x))\}\ dx\\ &=\displaystyle\int_0^1 1\ dx+\int_1^\infty 0\ dx-\int_{-\infty}^0 0\ dx\\ &=1 \end{align}
従って,$\alpha=1$となり,$\alpha<1$であることに矛盾する.

（劣加法性$\Rightarrow$凸性）

$c=0,1$のときの成立は明らかである.
$c\neq0,1$の場合は以下のように確かめられる.
\begin{align} \rho(cX_1+(1-c)X_2) &\leq \rho(cX_1)+\rho((1-c)X_2)\ (\because \text{劣加法性})\\ &=c\rho(X_1)+(1-c)\rho(X_2)\ (\because \text{正の同次性}) \end{align}

（劣加法性$\Leftarrow$凸性）

\begin{align} \frac{1}{2}\rho\left(X_1+X_2\right)&=\rho\left(\frac{1}{2}X_1+\frac{1}{2}X_2\right)\ (\because\text{正の同次性})\\ &\leq \frac{1}{2}\rho(X_1)+\frac{1}{2}\rho(X_2)\ (\because\text{凸性})\\ \end{align}
最左辺と最右辺に注目し,2倍すれば劣加法性を得る.

$VaR_\alpha$について

$VaR_\alpha$は歪みリスク尺度であるから,平行移動不変性,単調性,正の同次性を持つ.
一方で,歪み関数が凹関数でないので,劣加法性は持たない.
命題4より,凸性も持たない.

$TVaR_\alpha$について

$TVaR_\alpha$は歪みリスク尺度であるから,平行移動不変性,単調性,正の同次性を持つ.
また,歪み関数が凹関数であるので,劣加法性を持つ.
命題4より,凸性も持つ.

$ES_\alpha$は平行移動不変性を持たない

\begin{align} ES_\alpha(X+c) &=E[\{(X+c)-VaR_\alpha(X+c)\}_+]\\ &=E[\{(X+c)-(VaR_\alpha(X)+c)\}_+]\ (\because VaR_\alpha\text{の平行移動不変性})\\ &=E[(X-VaR_\alpha(X))_+]\\ &=ES_\alpha(X) \end{align}

$ES_\alpha$は単調性を持たない

$X\sim U(0,1),$$Y=1$とする.明らかに$X\leq Y$であるが,
$ES_\alpha(X)=\displaystyle\frac{(1-\alpha)^2}{2}> 0=ES_\alpha(Y)$ と計算できる.

$ES_\alpha$は正の同次性を持つ

\begin{align} ES_\alpha(cX) &=E[(cX-VaR_\alpha(cX))_+]\\ &=E[(cX-cVaR_\alpha(X))_+]\ (\because VaR_\alpha\text{の平行移動不変性})\\ &=cE[(X-VaR_\alpha(X))_+]\\ &=cES_\alpha(X)\\ \end{align}

$CTE_\alpha$は平行移動不変性を持つ

\begin{align} CTE_\alpha(X+c) &=E[X+c\mid X+c>VaR_\alpha(X+c)]\\ &=E[X+c\mid X+c>VaR_\alpha(X)+c]\ (\because VaR_\alpha\text{の平行移動不変性})\\ &=E[X+c\mid X>VaR_\alpha(X)]\\ &=E[X\mid X>VaR_\alpha(X)]+c\\ &=CTE_\alpha(X)+c \end{align}

$CTE_\alpha$は単調性を持たない

$0< p+q<1$を満たす$\alpha< p<1,0< q<1,$$0< w<1,$$Z\sim U(0,1)$を用いて,
$X:=1_{p+q\leq Z<1}$
$Y:=w・1_{p\leq Z< p+q}+1_{p+q\leq Z<1}$と定める.
明らかに,$X\leq Y,X\sim Be(1-p-q)$であり,
また,$Y$の確率分布表は以下の通り.

このとき,$\displaystyle CTE_\alpha(X)=1>1-\frac{(1-w)q}{1-p}=CTE_\alpha(Y)$と計算できる.

$CTE_\alpha$は正の同次性を持つ

\begin{align} CTE_\alpha(cX) &=E[cX\mid cX>VaR_\alpha(cX)]\\ &=E[cX\mid cX>cVaR_\alpha(X)]\ (\because VaR_\alpha\text{の正の同次性})\\ &=E[cX\mid X>VaR_\alpha(X)]\\ &=cE[X\mid X>VaR_\alpha(X)]\\ &=cCTE_\alpha(X) \end{align}

$ES_\alpha,CTE_\alpha$は劣加法性,凸性を持たない

(反例の構成はDhaene et al.Dhaene et al.を参考にした.)
$\alpha=0.9$に対し反例を挙げる.
$X\sim U(0,1),Y=(0.95-X)・1_{0< X\leq0.95}+(1.95-X)・1_{0.95< X<1}$とする.
$Y\sim U(0,1)$であることに注意して,
$ES_{0.9}(X)=ES_{0.9}(Y)=0.005,\ CTE_{0.9}(X)=CTE_{0.9}(Y)=0.95$
一方,$X+Y$の確率分布表は以下の通り.

従って,$ES_{0.9}(X+Y)=0.05,\ CTE_{0.9}(X+Y)=1.95$であるから,
$ES_{0.9}(X+Y)=0.05>0.01=ES_{0.9}(X)+ES_{0.9}(Y)$
$CTE_{0.9}(X+Y)=1.95>1.90=CTE_{0.9}(X)+CTE_{0.9}(Y)$
故に,劣加法性は持たない.
命題4より,凸性も持たない.