微分幾何学速習
あいさつ
んちゃ！
今回は微分幾何学について書く。
よくある微分幾何学の本を読んでも理解しがたいのは次の二つだ。
- 基底を使用せずに書いてある事
- 平行移動を抽象的に定義している事
前者に関しては、そもそも微分幾何学はベクトル場やテンソル場を扱う性質上基底ありきであり、成分だけ扱うのではその全容が見えてこないから理解しがたく。
後者に関しては、平行移動は少なくとも二つの意味で解釈可能である事が理解を妨げる。
平行移動の分類については次の様である。
- 曲面を埋めている空間にとっての平行移動
- 曲面上での平行移動
前者は曲面を埋め込んでいるEuclid空間に対する平行移動だ。
この平行移動を使用する限り、ベクトルもテンソルも平行移動では変わらない。
後者は曲面上のベクトルを一旦、埋め込まれたEuclid空間内のベクトルとして捉え、考える接平面に正射影する事を言う。
この分類を意識すれば、平行移動や共変微分の概念も意味がよく分かるはずだ。
なお、僕は共変・反変などの表現も使用しない。
普通に、同じ事なので接ベクトルと双対ベクトルの二つを考えればいいのだ。
接ベクトルに関しては共変微分は明確だが、双対ベクトルに対する共変微分は少しだけ分かりづらい。しかしよく考えると、双対ベクトルもある意味（内積を通して）接ベクトルとして考える事が出来るので、所詮接ベクトルの共変微分の一つに過ぎない事が分かる。
最後にRicci曲率テンソルを導出しその幾何学的意味まで与えて本記事を締めくくる。
- $\theta^{1},\theta^{2},...,\theta^{n}$の様に$n$個の変数を持つ関数$f$の引数は省略して$f(\vb*{\theta})$の様に表す。また$i$番目の引数のみ$\delta\theta^{i}$だけ動かす場合$f(\vb*{\theta}+\delta\theta^{i})$の様に省略して書く。
- 特に断らない限り$n$次元の曲面$M$と書いたら、それは$N$次元Euclid空間$\mathbb{R}^{N}$に対して埋め込まれた滑らかな$n$次元曲面とする。
またくどい場合は$n$次元の曲面$M$も省略する。 - $(\cdot,\cdot)$は$\mathbb{R}^{N}$の標準的な内積とする。
- ダミー変数はテキトーに使う。👈急にお気持ちを出すな！
微分幾何学
$n$次元の曲面$M$の各点が$n$個のパラメータ$\theta^{1},\theta^{2}...,\theta^{n}$を用いて$\vb*{r}(\vb*{\theta})$の様に表せたとする。
この時$\vb*{e}^{i}\coloneqq\frac{\partial \vb*{r}}{\partial \theta^{i}}\quad(i=1,2,...,n)$を基底と言う。また基底$\{\vb*{e}_{i}\}$の張る部分空間を接空間といい$T_{\vb*{\theta}}M$と表す。
$g_{ij}=(\vb*{e}_{i},\vb*{e}_{j})\quad(i,j=1,2,...,n)$を計量と呼ぶ。
なお$\sum_{j=1}^{N}g^{ij}g_{jk}=\delta^{i}_{k}$を満たす様な$g^{ij}\quad(i,j=1,2,...,n)$も与えておく。
線形写像$P_{\vb*{\theta}}:\mathbb{R}^{N}\rightarrow T_{\vb*{\theta}}M,\vb*{v}\mapsto P_{\vb*{\theta}}\vb*{v}$を次の性質が成り立つ様に定め射影演算子と呼ぶ。
\begin{equation}
\forall \vb*{w}\in T_{\vb*{\theta}}M:<\vb*{v}-P_{\vb*{\theta}}\vb*{v},\vb*{w}>=0
\end{equation}
射影演算子$P_{\vb*{\theta}}$に対して以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
\forall \vb*{v}\in\mathbb{R}^{N}:P_{\vb*{\theta}}\vb*{v}=\sum_{i,j}g^{ij}<\vb*{v},\vb*{e}_{j}>\vb*{e}_{i}
\end{equation}
射影演算子の定義より$P_{\vb*{\theta}}\vb*{v}\in T_{\vb*{\theta}}M$なのである定数$a_{1},a_{2}...,a_{n}\in\mathbb{R}^{n}$を用いて$P_{\vb*{\theta}}\vb*{v}=\sum_{i=1}^{n}a^{i}\vb*{e}_{i}$と書ける。
さらに$<\vb*{v}-P_{\vb*{\theta}}\vb*{v},\vb*{e}_{j}>=0\quad(j=1,2,...,n)$が成り立つ。
よって次式を得る。
\begin{eqnarray}
<\vb*{v},\vb*{e}_{j}>&=&< P_{\vb*{\theta}}\vb*{v},\vb*{e}_{j}>\\
&=&\sum_{i=1}^{n}a^{i}g_{ij}
\end{eqnarray}
さらに$g^{jk}$をかけて、$j$に関して総和を取る事で
\begin{equation}
\sum_{j=1}^{n}g^{jk}<\vb*{v},\vb*{e}_{j}>=a^{k}
\end{equation}
を得る。
$\frac{\partial \vb*{e}_{i}}{\partial \theta^{j}}$を接空間$T_{\vb*{\theta}}M$の成分と法成分に分けて
\begin{equation}
\frac{\partial \vb*{e}_{i}}{\partial \theta^{j}}=\sum_{k=1}^{n}\Gamma^{k}_{ij}\vb*{e}_{k}+\vb*{\Pi}_{ij}
\end{equation}
の様に書く。
$\Gamma^{k}_{ij}$をChristoffel記号
$\Pi_{ij}$を第二基本形式と呼ぶ。
この時、Christoffel記号$\Gamma^{k}_{ij}$および第二基本形式$\Pi_{ij}$は$i,j$に対して対称。
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \vb*{e}_{i}}{\partial \theta^{j}}&=&\frac{\partial^{2} \vb*{r}}{\partial \theta^{j}\theta^{i}}\\
&=&\frac{\partial^{2} \vb*{r}}{\partial \theta^{i}\theta^{j}}\\
&=&\frac{\partial \vb*{e}_{j}}{\partial \theta^{i}}
\end{eqnarray}
なので明らか。
この時、Christoffel記号$\Gamma_{ij}^{k}$は計量のみで書ける。
[1]$\Gamma_{i,j;l}\coloneqq<\frac{\partial\vb*{e}_{i}}{\partial \theta^{j}},\vb*{e}_{l}>$の様に置く。すると
\begin{eqnarray}
\Gamma_{i,j;l}&=&<\sum_{k}\Gamma^{k}_{ij}\vb*{e}_{k}+\Pi_{ij},\vb*{e}_{l}>\\
&=&\sum_{k}\Gamma^{k}_{ij}g_{kl}
\end{eqnarray}
なので両辺$g^{lm}$を書けて$m$について総和を取ると
\begin{equation}
\sum_{m}g^{lm}\Gamma_{i,j;l}=\Gamma^{m}_{ij}
\end{equation}
[2]$g_{ij}=<\vb*{e}_{i},\vb*{e}_{j}>$の両辺を$\theta^{k}$で偏微分すると
\begin{eqnarray}
\frac{\partial g_{ij}}{\partial \theta^{k}}&=&<\frac{\partial \vb*{e}_{i}}{\partial \theta^{k}},\vb*{e}_{j}>+<\vb*{e}_{i},\frac{\partial \vb*{e}_{j}}{\partial \theta^{k}}>\\
&=&\Gamma_{ik;j}+\Gamma_{j,k;i}
\end{eqnarray}
$i,j,k$を循環させて
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial g_{ij}}{\partial \theta^{k}}=\Gamma_{ik;j}+\Gamma_{j,k;i}\\
\displaystyle \frac{\partial g_{jk}}{\partial \theta^{i}}=\Gamma_{ji;k}+\Gamma_{k,i;j}\\
\displaystyle \frac{\partial g_{ki}}{\partial \theta^{j}}=\Gamma_{kj;i}+\Gamma_{i,j;k}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
を得る。
[3]なので
\begin{eqnarray}
\frac{\partial g_{ki}}{\partial \theta^{j}}+
\frac{\partial g_{kj}}{\partial \theta^{i}}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial \theta^{k}}=2\Gamma_{i,j;k}
\end{eqnarray}
を得る。両辺に$g^{kl}$をかけて$k$について総和を取ると
\begin{equation}
\Gamma^{l}_{ij}=\frac{1}{2}\sum_{k}g^{kl}(\frac{\partial g_{ki}}{\partial \theta^{j}}+
\frac{\partial g_{kj}}{\partial \theta^{i}}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial \theta^{k}})
\end{equation}
接空間のベクトル$\vb*{\xi}(\vb*{\theta})=\sum_{i}a^{i}(\vb*{\theta})\vb*{e}_{i}$に対して次の演算を共変微分という。
\begin{equation}
\nabla_{i}\vb*{\xi}(\vb*{\theta})=P_{\vb*{\theta}}\frac{\partial \vb*{\xi(\vb*{\theta})}}{\partial \theta^{i}}
\end{equation}
共変微分について以下の式が成り立つ。
- $\displaystyle \nabla_{i}\vb*{\xi}=\sum_{j}(\frac{\partial \xi^{j}}{\partial \theta^{i}}+\sum_{k}\Gamma^{j}_{ik}\xi^{k})\vb*{e}_{j}$
- 任意の接ベクトル$\vb*{\xi},\vb*{\eta}\in T_{\vb*{\theta}}M$に対して次式が成りたつ。
\begin{equation} \displaystyle\frac{\partial}{\partial \theta^{i}}<\vb*{\xi},\vb*{\eta}>=<\nabla_{i}\vb*{\xi},\vb*{\eta}>+<\vb*{\xi},\nabla_{i}\vb*{\eta}> \end{equation} - $\nabla_{i}\frac{\partial \vb*{r}}{\partial \theta^{j}}=\frac{\partial}{\partial \theta^{j}}\nabla_{i}\vb*{r}$
[1]
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \vb*{\xi}}{\partial \theta^{i}}&=&\frac{\partial}{\partial \theta^{i}}\sum_{j}\xi^{j}\vb*{e}_{j}\\
&=&\sum_{j}\frac{\partial \xi^{j}}{\partial \theta^{i}}\vb*{e}_{j}+\sum_{j}\xi^{j}\frac{\partial\vb*{e}_{i}}{\partial \theta^{j}}\\
&=&\sum_{j}\frac{\partial \xi^{j}}{\partial \theta^{i}}\vb*{e}_{j}+\sum_{j}\xi^{j}(\sum_{k}\Gamma^{k}_{ij}\vb*{e}_{k}+\vb*{\Pi}_{ij})\\
&=&\sum_{j}\frac{\partial \xi^{j}}{\partial \theta^{i}}\vb*{e}_{j}+\sum_{j,k}\Gamma^{k}_{ij}\xi^{j}\vb*{e}_{k}+\sum_{j}\xi^{j}\vb*{\Pi}_{ij}
\end{eqnarray}
なのでその法成分を除いて
\begin{equation}
\nabla_{i}\vb*{\xi}=\sum_{j}\frac{\partial \xi^{j}}{\partial \theta^{i}}\vb*{e}_{j}+\sum_{j,k}\Gamma^{k}_{ij}\xi^{j}\vb*{e}_{k}
\end{equation}
[2]$\displaystyle\frac{\partial}{\partial \theta^{i}}<\vb*{\xi},\vb*{\eta}>=<\frac{\partial\vb*{\xi}}{\partial \theta^{i}},\vb*{\eta}>+<\vb*{\xi},\frac{\partial\vb*{\eta}}{\partial \theta^{i}}>$であり、$\vb*{\xi},\vb*{\eta}\in T_{\vb*{\theta}}M$なので第一項は$\displaystyle<\frac{\partial\vb*{\xi}}{\partial \theta^{i}},\vb*{\eta}>=<\nabla_{i} \vb*{\xi},\vb*{\eta}>$の様に書ける。第二項も同様。
[3]$\displaystyle\nabla_{i}\frac{\partial \vb*{r}}{\partial \theta^{j}}=P_{\vb*{\theta}}\frac{\partial^{2}\vb*{r}}{\partial \theta^{i}\theta^{j}}$なので$i,j$について可換。
平行移動と言うときそれは二つの意味で取る事が出来る。
- 埋め込んだ空間に対する平行移動
- 曲面上の平行移動
微分幾何学での意味は当然後者。
曲面上の平行移動を厳密に定義する。
曲線$\gamma:[0,T]\rightarrow M,t\mapsto \vb*{r}(\vb*{\theta}(t))$に対して
\begin{equation}
\nabla_{t}\vb*{\xi}\coloneqq P_{\vb*{\theta}(t)}\frac{d}{dt}\sum_{i}\xi^{i}\vb*{e}_{i}
\end{equation}
を定義する。
$\nabla_{t}\vb*{\xi}=0$が成り立つとき、つまり$\mathbb{R}^{N}$での微分$\frac{d\vb*{\xi}}{dt}$が常に$T_{\vb*{\theta}(t)}M$に直交するとき$\vb*{\xi}$は平行であると言う。
要するに接線方向に関しては一切変化していない事を意味している。
曲線$\gamma:[0,T]\rightarrow M,t\mapsto \vb*{r}(\vb*{\theta}(t))$が以下の式が成り立つとき測地線という。
\begin{eqnarray}
\nabla_{t}\dot{\vb*{r}}&=&P_{\vb*{\theta}(t)}\frac{d^{2}\dot{\vb*{r}}}{dt^{2}}\\
\end{eqnarray}
これは要するに曲線を沿って移動するとき、その加速度成分が接平面内で$0$である様なものを言う。
曲線$\gamma:[0,T]\rightarrow M,t\mapsto \vb*{r}(\vb*{\theta}(t))$が測地線なら以下の微分方程式を満たす。
\begin{equation}
\frac{d^{2}\theta^{i}}{dt^{2}}+\sum_{j,k}\frac{d\theta^{j}}{dt}\frac{d\theta^{k}}{dt}\Gamma^{i}_{jk}=0\quad(i=1,2,...,n)
\end{equation}
\begin{eqnarray} \nabla_{t}\dot{\vb*{r}}&=&P_{\vb*{\theta}(t)}\frac{d}{dt}\sum_{i}\frac{d \theta^{i}}{dt}\vb*{e}_{i}\\ &=&\sum_{i}\frac{d^{2}\theta^{i}}{dt^{2}}\vb*{e}_{i}+\sum_{i,j}\frac{d\theta^{i}}{dt}\frac{d\theta^{j}}{dt}\sum_{k}\Gamma^{k}_{ij}\vb*{e}_{k}\\ &=&\sum_{i}(\frac{d^{2}\theta_{i}}{dt^{2}}+\sum_{j,k}\frac{d\theta^{j}}{dt}\frac{d\theta^{k}}{dt}\Gamma^{i}_{jk})\vb*{e}_{i}\\ &=&0 \end{eqnarray}
曲線$\gamma:[0,T]\rightarrow M,t\mapsto \vb*{r}(\vb*{\theta}(t))$が与えられたとする。
- $\vb*{\xi}(t)\coloneqq\sum_{i}\xi^{i}(t)\vb*{e}_{i}(\vb*{\theta}(t))$を$\vb*{\xi}(0)\in T_{\vb*{\theta}(0)}M$から曲線$\gamma$に沿って平行移動したものとする。すると以下の微分方程式を満たす。
\begin{equation} \frac{d\xi^{i}}{dt}+\sum_{j,k}\Gamma^{i}_{jk}\xi^{j}\frac{d\theta^{k}}{dt}=0\quad(i=1,2,...,n) \end{equation} - $\vb*{\xi}(t),\vb*{\eta}(t)$を$\vb*{\xi}(0),\vb*{\eta}(0)\in T_{\vb*{\theta}(0)}M$から曲線$\gamma$に沿って平行移動したものとする。すると任意の$t\in [0,T]$に対して$<\vb*{\xi}(t),\vb*{\eta}(t)>=<\vb*{\xi}(0),\vb*{\eta}(0)>$が成り立つ。
[1]
\begin{eqnarray}
\nabla_{t}\vb*{\xi}&=&P_{\vb*{\theta}(t)}\frac{d\vb*{\xi}}{dt}\\
&=&\sum_{i}\frac{d\xi^{i}}{dt}\vb*{e}_{i}+\sum_{i}\xi^{i}\sum_{j}\frac{d\theta^{j}}{dt}\sum_{k}\Gamma^{k}_{ij}\vb*{e}_{k}\\
&=&\sum_{i}(\frac{d\xi^{i}}{dt}+\sum_{j,k}\Gamma^{i}_{jk}\xi^{j}\frac{d\theta^{k}}{dt})\vb*{e}_{i}\\
&=&0
\end{eqnarray}
[2]
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt}<\vb*{\xi},\vb*{\eta}>&=&<\nabla_{t}\vb*{\xi},\vb*{\eta}>+<\vb*{\xi},\nabla_{t}\vb*{\eta}>\\
&=&0+0\\
&=&0
\end{eqnarray}
つまり、内積は$t$に依らない事が示せた。
$\mathbb{R}^{3}$に埋め込まれた球面$\mathcal{S}^{2}$上に,$A=(1,0,0),B=(0,1,0),N=(0,0,1)$を頂点とする大円の弧(赤道上の$A\rightarrow B$,経線上の$B\rightarrow N$,経線上の$N\rightarrow A$)で出来る閉じた経路を考える。
$A$での接ベクトルを$\vb*{v}_{A}=(0,0,1)$をこの経路に沿って平行移動をして$A$に戻すと$\tilde{\vb*{v}}_{A}(0,-1,0)$になる。
[1]辺$AB$での平行移動について
辺$AB$上の点は次の様に与えることが出来る。
$\vb*{r}(t)=(\cos{t},\sin{t},0)\quad(0\leq t\leq \frac{\pi}{2})$
これから$\ddot{\vb*{r}}=-\vb*{r}$が得られ。さらに
\begin{eqnarray}
\frac{d\vb*{r}^{2}}{dt}&=&\frac{d1}{dt}\\
&=&2<\vb*{r},\dot{\vb*{r}}>\\
&=&0
\end{eqnarray}
かつ
\begin{eqnarray}
\frac{d\dot{\vb*{r}}^{2}}{dt}&=&2<\dot{\vb*{r}},\ddot{\vb*{r}}>\\
&=&-2<\vb*{r},\dot{\vb*{r}}>\\
&=&0
\end{eqnarray}
なので$\ddot{\vb*{r}}$は常に$\dot{\vb*{r}}$に対して直交する。ゆえに$\nabla_{t}\dot{\vb*{r}}=0$。
さらに
\begin{equation}
\vb*{r}\times\dot{\vb*{r}}=(0,0,1)
\end{equation}
は接ベクトルでありそれは$t$に依存しない。
以上の事から、$\dot{\vb*{r}},\vb*{r}\times\dot{\vb*{r}}$方向の成分は平行移動で常に不変である事が分かる。
ゆえに$\vb*{v}_{A}=\vb*{v}_{B}=\vb*{r}\times\dot{\vb*{r}}=(0,0,1)$
[2]辺$BN$での平行移動について
辺$BN$上の点は次の様に与える事が出来る。
$\vb*{r}(t)=(0,\cos{t},\sin{t})\quad(0\leq t\leq \frac{\pi}{2})$
先と同様にして、$\nabla_{t}\dot{\vb*{r}}=0$が得られる。
また$\vb*{v}_{B}=\dot{\vb*{r}}|_{t=0}=(0,0,1)$なので$\vb*{v}_{N}=\vb*{r}|_{t=\frac{\pi}{2}}=(0,-1,0)$を得る。
[3]辺$NA$での平行移動について
辺$NA$上の点は次の様に与えることが出来る。
\begin{equation}
\vb*{r}(t)=(\sin{t},0,\cos{t})\quad(0\leq t\leq \frac{\pi}{2})
\end{equation}
であり、$\nabla_{t}\dot{\vb*{r}}=0$かつ$t$に依存しない接ベクトル$\vb*{r}\times\dot{\vb*{r}}=(0,1,0)$を得る。
$\vb*{v}_{N}=\tilde{\vb*{v}}_{A}=-\vb*{r}\times\dot{\vb*{r}}=(0,-1,0)$
曲面$M$上の4点$A(\vb*{\theta}),B(\vb*{\theta}+\delta\theta^{i}),C(\vb*{\theta}+\delta\theta^{j}),D(\vb*{\theta}+\delta\theta^{i}+\delta\theta^{j})$を考える。
この時、$\vb*{\xi}\in T_{\vb*{\theta}}M$を経路$A\rightarrow B\rightarrow D$について平行移動したものを$\vb*{\zeta}_{I}$および経路$A\rightarrow C\rightarrow D$について平行移動したものを$\vb*{\zeta}_{II}$を考え$\vb*{\xi}_{II}-\vb*{\xi}_{I}$は次の様に与えられる。
\begin{equation}
\vb*{\xi}_{II}-\vb*{\xi}_{I}\sim\delta\theta^{i}\delta\theta^{j}\sum_{a}\sum_{b}\xi^{b}\{(\frac{\partial\Gamma^{a}_{jb}}{\partial\theta^{i}}-\frac{\partial \Gamma^{a}_{ib}}{\partial \theta^{j}})+\sum_{c}(\Gamma^{a}_{ic}\Gamma^{c}_{jb}-\Gamma^{a}_{jc}\Gamma^{c}_{ib})\}\vb*{e}_{a}
\end{equation}
この$\delta\theta^{i}\delta\theta^{j}\zeta^{b}\vb*{e}^{a}$の係数を曲率といい、次の様に書く。
\begin{equation}
R^{a}_{bij}\coloneqq\frac{\partial\Gamma^{a}_{jb}}{\partial\theta^{i}}-\frac{\partial\Gamma^{a}_{ib}}{\partial\theta^{j}}+\sum_{c}(\Gamma^{a}_{ic}\Gamma^{c}_{jb}-\Gamma^{a}_{jc}\Gamma^{c}_{ib})
\end{equation}
[1]
\begin{eqnarray}
\vb*{\xi}(\vb*{\theta}+\delta\theta^{j})&=&\sum_{a}\xi^{a}(\vb*{\theta}+\delta\theta^{j})\vb*{e}_{a}(\vb*{\theta}+\delta\theta^{j})\\
&\sim&\sum_{a}\xi^{a}\vb*{e}_{a}+\delta\theta^{j}(\sum_{a}\frac{\partial \xi^{a}}{\partial\theta^{j}}\vb*{e}_{a}+\sum_{a}\xi^{k}\frac{\partial \vb*{e}_{a}}{\partial \theta^{j}})\\
&=&\sum_{a}\xi^{a}\vb*{e}_{a}+\delta\theta^{j}(\sum_{a}\frac{\partial \xi^{a}}{\partial\theta^{j}}\vb*{e}_{a}+\sum_{a}\xi^{a}\sum_{b}\Gamma^{b}_{aj}\vb*{e}_{b})
\end{eqnarray}
[2]
\begin{align}
&\vb*{\xi}(\vb*{\theta}+\delta\theta^{i}+\delta\theta^{j})\\
&\sim\sum_{a}\xi^{a}\vb*{e}_{a}+\delta\theta^{i}(\sum_{a}\frac{\partial \xi^{a}}{\partial\theta^{i}}\vb*{e}_{a}+\sum_{a}\xi^{a}\sum_{b}\Gamma^{b}_{ai}\vb*{e}_{b})+\delta\theta^{j}(\sum_{a}\frac{\partial \xi^{a}}{\partial\theta^{j}}\vb*{e}_{a}+\sum_{a}\xi^{a}\sum_{b}\Gamma^{b}_{aj}\vb*{e}_{b})\\
&+\delta\theta^{i}\delta\theta^{j}(\sum_{a}\frac{\partial^{2}\xi^{a}}{\partial \theta^{i}\theta^{j}}\vb*{e}_{a}+\sum_{a}\frac{\partial \xi^{a}}{\partial \theta^{j}}\sum_{b}\Gamma^{b}_{ai}\vb*{e}_{b}+\sum_{a}\frac{\partial \xi^{a}}{\partial \theta^{i}}\sum_{b}\Gamma^{b}_{aj}\vb*{e}_{b}+\sum_{a}\xi^{a}\sum_{b}\frac{\partial \Gamma^{b}_{aj}}{\partial \theta^{i}}\vb*{e}_{b}+\sum_{a}\xi^{a}\sum_{b}\Gamma^{b}_{aj}\sum_{c}\Gamma^{c}_{bi}\vb*{e}_{c})
\end{align}
[3]よって
\begin{eqnarray}
\vb*{\xi}_{II}-\vb*{\xi}_{I}\sim\delta\theta^{i}\delta\theta^{j}\sum_{a}\sum_{b}\xi^{b}\{(\frac{\partial\Gamma^{a}_{bj}}{\partial\theta^{i}}-\frac{\partial \Gamma^{a}_{bi}}{\partial \theta^{j}})+\sum_{c}(\Gamma^{a}_{ic}\Gamma^{c}_{jb}-\Gamma^{a}_{jc}\Gamma^{c}_{ib})\}\vb*{e}_{a}
\end{eqnarray}
曲率テンソルは交換子により次式で書ける。
\begin{equation}
[\nabla_{i},\nabla_{j}]\xi^{a}=\sum_{k}\xi^{k}R^{a}_{kij}
\end{equation}
[1]
\begin{eqnarray}
\nabla_{i}\nabla_{j}\xi^{a}&=&\nabla_{i}(\frac{\partial \xi^{a}}{\partial \theta^{j}}+\sum_{k}\Gamma^{a}_{jk}\xi^{k})\\
&=&\frac{\partial^{2}\xi^{a}}{\partial\theta^{i}\partial\theta^{j}}+\sum_{k}(\frac{\partial\Gamma^{a}_{jk}}{\partial \theta^{i}}\xi^{k}+\Gamma^{a}_{jk}\frac{\partial\xi^{k}}{\partial\theta^{i}})+\sum_{k}\Gamma^{a}_{ik}\frac{\partial \xi^{k}}{\partial \theta^{j}}+\sum_{k,l}\Gamma^{a}_{il}\Gamma^{l}_{jk}\xi^{k}\\
&=&\frac{\partial^{2}\xi^{a}}{\partial\theta^{i}\partial\theta^{j}}+\sum_{k}(\Gamma^{a}_{jk}\frac{\partial\xi^{k}}{\partial\theta^{i}}+\Gamma^{a}_{ik}\frac{\partial\xi^{k}}{\partial\theta^{j}})+\sum_{k}\frac{\partial\Gamma^{a}_{jk}}{\partial\theta^{i}}\xi^{k}+\sum_{k,l}\Gamma^{a}_{il}\Gamma^{l}_{jk}\xi^{k}
\end{eqnarray}
[2]ゆえに
\begin{eqnarray}
[\nabla_{i},\nabla_{j}]\xi^{a}&=&\sum_{k}\xi^{k}\{(\frac{\partial\Gamma^{a}_{jk}}{\partial\theta^{i}}-\frac{\partial\Gamma^{a}_{ik}}{\partial\theta^{j}})+\sum_{l}(\Gamma^{a}_{il}\Gamma^{l}_{jk}-\Gamma^{a}_{jl}\Gamma^{l}ik)\}\\
&=&\sum_{k}\xi^{k}R^{a}_{kij}
\end{eqnarray}
ベクトル空間$V$に対して線形写像$f:V\rightarrow \mathbb{R}$の集まり$V^{\ast}$に次の演算を定めるとこれはベクトル空間となる。
これを双対空間と呼ぶ。
- 和:$\forall f,g\in V^{\ast}:\forall \vb*{v}\in V:(f+g)(\vb*{v})=f(\vb*{v})+g(\vb*{v})$
- スカラー積:$\forall r\in\mathbb{R}:\forall f\in V^{\ast}:\forall \vb*{v}\in V:(rf)(\vb*{v})=rf(\vb*{v})$
これがベクトル空間になる事の証明は省く。
有限次元ベクトル空間$V$の基底が$\{\vb*{e}_{1},...,\vb*{e}_{n}\}$と書けるとき、その双対空間の基底は次のもので与えられる。
\begin{equation}
\mathfrak{B}=\{\vb*{e}^{i}|\vb*{e}^{i}(\vb*{e_{j}})=\delta^{i}_{j}\}
\end{equation}
[1]任意のベクトル$\vb*{v}=\sum_{i}v^{i}\vb*{e}_{i}\in V$に対して
\begin{equation}
f(\vb*{v})=\sum_{i}v^{i}f(\vb*{e}_{i})
\end{equation}
なので$a_{i}=f(\vb*{e}_{i})\quad(i=1,2,...,n)$を定める事でその値を定める事が出来る。
実際$g=\sum_{j}a_{j}\vb*{e}^{j}$とすると
\begin{eqnarray}
g(\vb*{e}_{i})&=&\sum_{j}a_{j}\vb*{e}^{j}(\vb*{e}_{i})\\
&=&\sum_{j}a_{j}\delta^{j}_{i}\\
&=&a_{i}
\end{eqnarray}
なので$f=g=\sum_{i}a_{i}\vb*{e}^{i}$を得る。
[2]$f=\sum_{i}a_{i}\vb*{e}^{i}=0$の様に定める。
すると
\begin{eqnarray}
f(\vb*{e}_{i})=a_{i}=0\quad(i=1,2,...,n)
\end{eqnarray}
なので$\vb*{e}^{1},\vb*{e}^{2},...,\vb*{e}^{n}$が一次独立である事が分かる。
以上の事から、$\{\vb*{e}^{1},...,\vb*{e}^{n}\}$は$V^{\ast}$の基底となる事が示された。
$T_{\vb*{\theta}}M$の双対ベクトル空間$T_{\vb*{\theta}}M^{\ast}$は線形写像$<\vb*{\xi},\cdot>:T_{\vb*{\theta}}M\rightarrow\mathbb{R},\vb*{\eta}\mapsto<\vb*{\xi},\vb*{\eta}>$の集合で定める。
この様に考えたとき、$T_{\vb*{\theta}}M^{\ast}$の基底は
\begin{equation}
\vb*{e}^{i}=<\sum_{j}g^{ij}\vb*{e}_{j},\cdot>
\end{equation}
で与えられる。
\begin{eqnarray} \vb*{e}^{i}(\vb*{e}_{j})&=&\sum_{k}g^{ik}<\vb*{e}_{k},\vb*{e}_{j}>\\ &=&\sum_{k}g^{ik}g_{kj}\\ &=&\delta^{i}_{j} \end{eqnarray}
双対ベクトルの幾何学的描像は次の様だ。
- $\vb*{e}^{i}$は$\vb*{e}_{1},\vb*{e}_{2},...,\vb*{e}_{i-1},\vb*{e}_{i+1},...,\vb*{e}_{n}$の張る超平面$H_{i}$に垂直であり、
- なおかつ$\vb*{e}^{i}$の長さは$<\vb*{e}^{i},\vb*{e}_{i}>=1$
により決めたもの。
なお2.に関しては、$\vb*{e}_{i}$の超平面$H_{i}$の法線方向の長さを$h_{i}$とした時$||\vb*{e}^{i}||=\frac{1}{h_{i}}$で決めてもいい。
この様に捉える場合は、$\vb*{e}^{1},\vb*{e}^{2},...,\vb*{e}^{n}$も$T_{\vb*{\theta}}M$のベクトルと考えることが出来る。
つまり、$\vb*{e}^{i}\in T_{\vb*{\theta}}M$と考える事ができるので共変微分を内積を通じて定義出来る事が分かる。
双対基底$\vb*{e}^{i}$について以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
\nabla_{k}\vb*{e}^{i}=-\sum_{l}\Gamma^{i}_{lk}\vb*{e}^{l}\quad(i,k=1,2,...,n)
\end{equation}
\begin{eqnarray}
\nabla_{k}\{e^{i}(\vb*{e}_{j})\}&=&\frac{\partial}{\partial \theta^{k}}<\sum_{l}g^{il}\vb*{e}_{l},\vb*{e}_{j}>\\
&=&<\frac{\partial }{\partial \theta^{k}}\sum_{l}g^{il}\vb*{e}_{l},\vb*{e}_{j}>+<\sum_{l}g^{il}\vb*{e}_{l},\frac{\partial \vb*{e}_{j}}{\partial \theta^{k}}>\\
&=&(\nabla_{k}\vb*{e}^{i})(\vb*{e}_{j})+\sum_{l,m}g^{il}\Gamma^{m}_{jk}g_{lm}\\
&=&(\nabla_{k}\vb*{e}^{i})(\vb*{e}_{j})+\sum_{m}\Gamma^{m}_{jk}\delta^{i}_{m}\\
&=&(\nabla_{k}\vb*{e}^{i})(\vb*{e}_{j})+\Gamma^{i}_{jk}\\
&=&0
\end{eqnarray}
なので
\begin{equation}
(\nabla_{k}\vb*{e}^{i})(\vb*{e}_{j})=-\Gamma^{i}_{jk}
\end{equation}
すなわち
\begin{equation}
\nabla_{k}\vb*{e}^{i}=-\sum_{l}\Gamma^{i}_{lk}\vb*{e}^{l}
\end{equation}
\begin{equation} \nabla_{k}g_{ij}=0\quad(i,j,k=1,2,...,n) \end{equation}
\begin{eqnarray}
\nabla_{k}\sum_{i,j}g_{ij}\vb*{e}^{i}\otimes\vb*{e}^{j}&=&\sum_{i,j}\frac{\partial g_{ij}}{\partial \theta^{k}}\vb*{e}^{i}\otimes\vb*{e}^{j}-\sum_{i,j,l}g_{ij}\Gamma^{i}_{lk}\vb*{e}^{l}\otimes\vb*{e}^{j}-\sum_{i,j,l}g_{ij}\Gamma^{j}_{lk}\vb*{e}^{i}\otimes\vb*{e}^{l}\\
&=&\sum_{i,j}\{\frac{\partial g_{ij}}{\partial \theta^{k}}-\sum_{l}(g_{lj}\Gamma^{l}_{ik}+g_{il}\Gamma^{l}_{jk})\}\vb*{e}^{i}\otimes \vb*{e}^{j}
\end{eqnarray}
ゆえに
\begin{eqnarray}
\nabla_{k}g_{ij}&=&\frac{\partial g_{ij}}{\partial \theta^{k}}-\sum_{l}(g_{lj}\Gamma^{l}_{ik}+g_{il}\Gamma^{l}_{jk})\\
&=&\Gamma_{ik;j}+\Gamma_{jk;i}-\Gamma_{ik;j}-\Gamma_{jk;i}\\
&=&0
\end{eqnarray}
双対ベクトルの成分について以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
\nabla_{i}\xi_{j}=\frac{\partial \xi_{j}}{\partial \theta^{i}}-\sum_{k}\xi_{k}\Gamma^{k}_{ji}
\end{equation}
\begin{eqnarray} \nabla_{i}\sum_{j}\xi_{j}\vb*{e}^{j}&=&\sum_{j}\frac{\partial \xi_{j}}{\partial \theta^{i}}\vb*{e}^{j}-\sum_{j}\xi_{j}\sum_{k}\Gamma^{j}_{ki}\vb*{e}^{k}\\ &=&\sum_{j}(\frac{\partial \xi_{j}}{\partial \theta^{i}}-\sum_{k}\xi_{k}\Gamma^{k}_{ji})\vb*{e}^{j} \end{eqnarray}
双対ベクトルの成分に対して以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
[\nabla_{i},\nabla_{j}]\xi_{a}=-\sum_{k}\xi_{k}R^{k}_{aij}
\end{equation}
[1]
\begin{eqnarray}
\nabla_{i}\nabla_{j}\xi_{a}&=&\nabla_{i}(\frac{\partial \xi_{a}}{\partial \theta^{j}}-\sum_{k}\xi_{k}\Gamma^{k}_{aj})\\
&=&\frac{\partial^{2} \xi_{a}}{\partial \theta^{i}\theta^{j}}-\sum_{k}\frac{\partial \xi_{k}}{\partial \theta^{j}}\Gamma^{k}_{ai}-\sum_{k}\frac{\partial\xi_{k}}{\partial \theta^{i}}\Gamma^{k}_{aj}-\sum_{k}\xi_{k}\frac{\partial \Gamma^{k}_{aj}}{\partial \theta^{i}}+\sum_{k,l}\xi_{k}\Gamma^{k}_{lj}\Gamma^{l}_{ai}
\end{eqnarray}
[2]
\begin{eqnarray}
[\nabla_{i},\nabla_{j}]\xi_{a}&=&-\sum_{k}\xi_{k}\{\frac{\partial \Gamma^{k}_{ja}}{\partial\theta^{i}}-\frac{\partial \Gamma^{k}_{ia}}{\partial\theta^{j}}+\sum_{l}(\Gamma^{k}_{il}\Gamma^{l}_{aj}-\Gamma^{k}_{jl}\Gamma^{l}_{ai})\}\\
&=&-\sum_{k}\xi_{k}R^{k}_{aij}
\end{eqnarray}
曲率$R^{a}_{lij}$について以下の式が成り立つ。
- $R^{a}_{lij}=-R^{a}_{lji}$
- $\sum_{b}g_{ab}R^{b}_{lij}=-\sum_{b}g_{lb}R^{b}_{aij}$
[1]
\begin{equation}
R^{a}_{lij}=\frac{\partial\Gamma^{a}_{jb}}{\partial\theta^{i}}-\frac{\partial\Gamma^{a}_{ib}}{\partial\theta^{j}}+\sum_{c}(\Gamma^{a}_{ic}\Gamma^{c}_{jb}-\Gamma^{a}_{jc}\Gamma^{c}_{ib})
\end{equation}
なので$i,j$に対しては反対称なのは明らか。
[2]
\begin{eqnarray}
R_{al;ij}\coloneqq\sum_{b}g_{ab}R^{b}_{lij}
\end{eqnarray}
の様に置く。
[3]
\begin{eqnarray}
[\nabla_{i},\nabla_{j}]g_{ab}&=&-\sum_{k}(g_{kb}R^{k}_{aij}+g_{ak}R^{k}_{bij})\\
&=&-(R_{ba;ij}+R_{ab;ij})\\
&=&0
\end{eqnarray}
ゆえに$R_{ab;ij}=-R_{ba;ij}$を得る。
\begin{equation} R^{a}_{ijk}+R^{a}_{jki}+R^{a}_{kij}=0\quad(a,i,j,k=1,2,...,n) \end{equation}
\begin{eqnarray} R^{a}_{ijk}+R^{a}_{jki}+R^{a}_{kij}&=&(\frac{\partial \Gamma^{a}_{ki}}{\partial \theta^{j}}-\frac{\partial \Gamma^{a}_{ji}}{\partial\theta^{k}})+(\frac{\partial \Gamma^{a}_{ij}}{\partial \theta^{k}}-\frac{\partial \Gamma^{a}_{kj}}{\partial \theta^{i}})+(\frac{\partial\Gamma^{a}_{jk}}{\partial\theta^{i}}-\frac{\partial\Gamma^{a}_{ik}}{\partial\theta^{j}})\\ &+&\sum_{c}\{(\Gamma^{a}_{jc}\Gamma^{c}_{ki}-\Gamma^{a}_{kc}\Gamma^{c}_{ji})+(\Gamma^{a}_{kc}\Gamma^{c}_{ij}-\Gamma^{a}_{ic}\Gamma^{c}_{kj})+(\Gamma^{a}_{ic}\Gamma^{c}_{jk}-\Gamma^{a}_{jc}\Gamma^{c}_{ik})\}\\ &=&0 \end{eqnarray}
\begin{equation} R_{ab;ij}=R_{ij;ab} \end{equation}
[1]Bianchiの恒等式より$R^{a}_{ijk}+R^{a}_{jki}+R^{a}_{kij}=0$
[2]両辺に$g_{ba}$をかけ$a$について総和を取る。
\begin{eqnarray}
R_{bi;jk}+R_{bj;ki}+R_{bk;ij}=0
\end{eqnarray}
[3]
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
R_{ab;ij}=-R_{ba;ij}=R_{bi;ja}+R_{bj;ai}\\
R_{bi;ja}=-R_{ib;ja}=R_{ij;ab}+R_{ia;bj}\\
R_{bj;ai}=-R_{jb;ai}=R_{ja;ib}+R_{ji;ba}\\
R_{ja;ib}=-R_{aj;ib}=R_{ai;bj}+R_{ab;ji}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
ゆえに
\begin{eqnarray}
R_{ab;ij}&=&R_{bi;ja}+R_{bj;ai}\\
&=&(R_{ij;ab}+R_{ia;bj})+(R_{ja;ib}+R_{ji;ba})\\
&=&2R_{ij;ab}+R_{ia;bj}+R_{ja;ib}\\
&=&2R_{ij;ab}+R_{ia;bj}+(R_{ai;bj}+R_{ab;ji})\\
&=&2R_{ij;ab}-R_{ab;ij}
\end{eqnarray}
移項して$R_{ab;ij}=R_{ij;ab}$
半径$1$の二次元球面$\mathcal{S}^{2}$上の点を二つのパラメータ$\theta^{1},\theta^{2}$を用いて$\vb*{r}=(\sin{\theta^{1}}\cos{\theta^{2}},\sin{\theta^{1}}\sin{\theta^{2}},\cos{\theta^{1}})^{T}$表せたとするとその曲率テンソルは次の様に与えられる事を示せ。
\begin{equation}
R_{ij;12}=\sin^{2}{\theta^{1}}\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}
\end{equation}
[1]
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \vb*{e}_{1}=\frac{\partial\vb*{r}}{\partial\theta^{1}}=(\cos{\theta^{1}}\cos{\theta^{2}},\cos{\theta^{1}}\sin{\theta^{2}},-\sin{\theta^{1}})^{T}\\
\displaystyle \vb*{e}_{2}=\frac{\partial\vb*{r}}{\partial\theta^{2}}=-\sin{\theta^{1}}(\sin{\theta^{2}},-\cos{\theta^{2}},0)^{T}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
[2]
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \vb*{e}_{1}}{\partial \theta^{1}}&=&-(\sin{\theta^{1}}\cos{\theta^{2}},\sin{\theta^{1}\sin{\theta^{2}}},\cos{\theta^{1}})^{T}\\
&=&-\vb*{r}\therefore\Gamma^{1}_{11}=\Gamma^{2}_{11}=0,\vb*{\Pi}_{11}=-\vb*{r}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\frac{\partial\vb*{e}_{1}}{\partial \theta^{2}}&=&-\cos{\theta^{1}}(\sin{\theta^{2}},-\cos{\theta^{2}},0)^{T}\\
&=&\cot{\theta^{1}}\vb*{e}_{2}\therefore\Gamma^{1}_{12}=0,\Gamma^{2}_{12}=\cot{\theta^{1}},\vb*{\Pi}_{12}=0
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \vb*{e}_{2}}{\partial \theta^{1}}&=&-\cos{\theta^{1}}(\sin{\theta^{2}},-\cos{\theta^{2}},0)^{T}\\
&=&\cot{\theta^{1}}\vb*{e}_{2}\therefore \Gamma^{1}_{21}=0,\Gamma^{2}_{21}=\cot{\theta^{1}},\vb*{\Pi}_{21}=0
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \vb*{e}_{2}}{\partial \theta^{2}}&=&-\sin{\theta^{1}}(\cos{\theta^{2}},\sin{\theta^{2}},0)\\
&=&-\sin{\theta^{1}}\cos{\theta^{1}}\vb*{e}_{1}-\sin^{2}{\theta^{1}}\vb*{r}\therefore\Gamma^{1}_{22}=-\sin{\theta^{1}}\cos{\theta^{1}}=-\frac{1}{2}\sin{(2\theta^{1})},\Gamma^{2}_{22}=0,\vb*{\Pi}_{22}=-\sin^{2}{\theta^{1}}\vb*{r}
\end{eqnarray}
[3]
\begin{eqnarray}
R^{1}_{112}&=&\frac{\partial \Gamma^{1}_{21}}{\partial\theta^{1}}-\frac{\partial \Gamma^{1}_{11}}{\partial\theta^{2}}+\sum_{c}(\Gamma^{1}_{1c}\Gamma^{c}_{21}-\Gamma^{1}_{2c}\Gamma^{c}_{11})\\
&=&\Gamma^{1}_{11}\Gamma^{1}_{21}+\Gamma^{1}_{12}\Gamma^{2}_{21}-\Gamma^{1}_{21}\Gamma^{2}_{11}-\Gamma^{2}_{22}\Gamma^{2}_{11}\\
&=&0
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
R^{1}_{212}&=&\frac{\partial\Gamma^{1}_{22}}{\partial\theta^{1}}-\frac{\partial\Gamma^{1}_{12}}{\partial\theta^{2}}+\sum_{c}(\Gamma^{1}_{1c}\Gamma^{c}_{22}-\Gamma^{1}_{2c}\Gamma^{c}_{12})\\
&=&-\cos{(2\theta^{1})}+\Gamma^{1}_{11}\Gamma^{1}_{22}+\Gamma^{1}_{12}\Gamma^{2}_{22}-\Gamma^{1}_{21}\Gamma^{1}_{12}-\Gamma^{1}_{22}\Gamma^{2}_{12}\\
&=&-\cos{(2\theta^{1})}+\sin{\theta^{1}}\cos{\theta^{1}}\cot{\theta^{1}}\\
&=&\sin^{2}{\theta^{1}}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
R^{2}_{112}&=&\frac{\partial\Gamma^{2}_{21}}{\partial\theta^{1}}-\frac{\partial\Gamma^{2}_{11}}{\partial\theta^{2}}+\sum_{c}(\Gamma^{2}_{1c}\Gamma^{c}_{21}-\Gamma^{2}_{2c}\Gamma^{c}_{11})\\
&=&-\frac{1}{\sin^{2}{\theta^{1}}}+\Gamma^{2}_{11}\Gamma^{1}_{21}+\Gamma^{2}_{12}\Gamma^{2}_{21}-\Gamma^{2}_{21}\Gamma^{1}_{11}-\Gamma^{2}_{22}\Gamma^{2}_{11}\\
&=&-\frac{1}{\sin^{2}{\theta^{1}}}+\cot^{2}{\theta^{1}}\\
&=&-1
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
R^{2}_{212}&=&\frac{\partial\Gamma^{2}_{22}}{\partial\theta^{1}}-\frac{\partial\Gamma^{2}_{12}}{\partial\theta^{2}}+\sum_{c}(\Gamma^{2}_{1c}\Gamma^{c}_{22}-\Gamma^{2}_{2c}\Gamma^{c}_{12})\\
&=&\Gamma^{2}_{11}\Gamma^{1}_{22}+\Gamma^{2}_{12}\Gamma^{2}_{22}-\Gamma^{2}_{21}\Gamma^{1}_{12}-\Gamma^{2}_{22}\Gamma^{2}_{12}\\
&=&0
\end{eqnarray}
[4]
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
g_{11}=<\vb*{e}_{1},\vb*{e}_{1}>=1\\
g_{12}=g_{21}=<\vb*{e}_{1},\vb*{e}_{2}>=0\\
g_{22}=<\vb*{e}_{2},\vb*{e}_{2}>=\sin^{2}{\theta^{1}}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
[5]
\begin{eqnarray}
R_{12;12}&=&\sum_{b}g_{1b}R^{b}_{212}\\
&=&R^{1}_{212}\\
&=&\sin^{2}{\theta^{1}}
\end{eqnarray}
また
\begin{eqnarray}
R_{21;12}&=&\sum_{b}g_{2b}R^{b}_{112}\\
&=&\sin^{2}{\theta^{1}}R^{2}_{112}\\
&=&-\sin^{2}{\theta^{1}}
\end{eqnarray}
速度$\vb*{v}\in T_{\vb*{\theta}(t)}M$で与えられる測地線を$\vb*{r}_{\vb*{v}}$の様に表す。
またこの使用法を用いて別の測地線$\vb*{r}_{\vb*{v}+\vb*{\theta}^{a}\vb*{e}_{i}}\quad(i=1,2,...,n)$を考え測地線の変化
\begin{equation}
\vb*{J}_{i}(t)\coloneqq\frac{\partial\vb*{r}_{\vb*{v}+s\vb*{e}_{i}}}{\partial s}|_{s=0}\in T_{\vb*{\theta(t)}}M\quad(i=1,2,...,n)
\end{equation}
を測地線の族の変分ベクトル場と呼ぶ。
$n$次元のベクトル列$\vb*{A}_{1},\vb*{A}_{2},...,\vb*{A}_{n}$の張る超平行体の体積$V$は次の様に与えられる。
\begin{equation}
V^{2}=\begin{vmatrix}<\vb*{A}_{1},\vb*{A}_{1}>&<\vb*{A}_{1},\vb*{A}_{2}>&\cdots&<\vb*{A}_{1},\vb*{A}_{n}>\\<\vb*{A}_{2},\vb*{A}_{1}>&<\vb*{A}_{2},\vb*{A}_{2}>&\cdots&<\vb*{A}_{2},\vb*{A}_{n}>\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\<\vb*{A}_{n},\vb*{A}_{1}>&<\vb*{A}_{n},\vb*{A}_{2}>&\cdots&<\vb*{A}_{n},\vb*{A}_{n}>\end{vmatrix}
\end{equation}
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}\vb*{A}_{1}^{T}\\\vb*{A}_{2}^{T}\\\vdots\\\vb*{A}_{n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\vb*{A}_{1}&\vb*{A}_{2}&\cdots&\vb*{A}_{n}\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}<\vb*{A}_{1},\vb*{A}_{1}>&<\vb*{A}_{1},\vb*{A}_{2}>&\cdots&<\vb*{A}_{1},\vb*{A}_{n}>\\<\vb*{A}_{2},\vb*{A}_{1}>&<\vb*{A}_{2},\vb*{A}_{2}>&\cdots&<\vb*{A}_{2},\vb*{A}_{n}>\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\<\vb*{A}_{n},\vb*{A}_{1}>&<\vb*{A}_{n},\vb*{A}_{2}>&\cdots&<\vb*{A}_{n},\vb*{A}_{n}>\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
ゆえに両辺行列式を取って
\begin{equation}
V^{2}=\begin{vmatrix}<\vb*{A}_{1},\vb*{A}_{1}>&<\vb*{A}_{1},\vb*{A}_{2}>&\cdots&<\vb*{A}_{1},\vb*{A}_{n}>\\<\vb*{A}_{2},\vb*{A}_{1}>&<\vb*{A}_{2},\vb*{A}_{2}>&\cdots&<\vb*{A}_{2},\vb*{A}_{n}>\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\<\vb*{A}_{n},\vb*{A}_{1}>&<\vb*{A}_{n},\vb*{A}_{2}>&\cdots&<\vb*{A}_{n},\vb*{A}_{n}>\end{vmatrix}
\end{equation}
\begin{equation} [\nabla_{t},\nabla_{s}]\xi^{i}=\sum_{j,k,l}\xi^{k}R^{i}_{klj}\frac{\partial\theta^{l}}{\partial t}\frac{\partial\theta^{j}}{\partial s} \end{equation}
\begin{eqnarray}
\nabla_{s}\vb*{\xi}&=&\nabla_{s}\sum_{i}\xi^{i}\vb*{e}_{i}\\
&=&\sum_{i}\frac{\partial \xi^{i}}{\partial s}\vb*{e}_{i}+\sum_{i}\xi^{i}\sum_{j,k}\frac{\partial \theta^{j}}{\partial s}\Gamma^{k}_{ij}\vb*{e}_{k}\\
&=&\sum_{i}(\frac{\partial \xi^{i}}{\partial s}+\sum_{j,k}\Gamma^{i}_{jk}\frac{\partial \theta^{j}}{\partial s}\xi^{k})\vb*{e}_{i}
\end{eqnarray}
より$\displaystyle\nabla_{s}\xi^{i}=\frac{\partial \xi^{i}}{\partial s}+\sum_{j,k}\Gamma^{i}_{jk}\frac{\partial \theta^{j}}{\partial s}\xi^{k}$を得る。
この事から
\begin{eqnarray}
\nabla_{t}\nabla_{s}\xi^{i}&=&\frac{\partial}{\partial t}(\frac{\partial \xi^{i}}{\partial s}+\sum_{j,k}\Gamma^{i}_{jk}\frac{\partial \theta^{j}}{\partial s}\xi^{k})\\
&+&\sum_{j,k}\Gamma^{i}_{jk}\frac{\partial \theta^{j}}{\partial t}\frac{\partial \xi^{k}}{\partial s}\\
&+&\sum_{j,k,l,m}\Gamma^{i}_{jk}\frac{\partial \theta^{j}}{\partial t}\Gamma^{k}_{lm}\frac{\partial \theta^{l}}{\partial s}\xi^{m}
\end{eqnarray}
を得る。さらに
\begin{eqnarray}
\frac{\partial\Gamma^{i}_{jk}}{\partial t}=\sum_{l}\frac{\partial \Gamma^{i}_{jk}}{\partial \theta^{l}}\frac{\partial\theta^{l}}{\partial t}
\end{eqnarray}
を用いると
\begin{eqnarray}
[\nabla_{t},\nabla_{s}]\xi^{i}&=&\sum_{j,k,l}\{\frac{\partial \Gamma^{i}_{jk}}{\partial \theta^{l}}-\frac{\partial \Gamma^{i}_{lk}}{\partial \theta^{j}}+\sum_{m}(\Gamma^{i}_{lk}\Gamma^{k}_{jm}-\Gamma^{i}_{jk}\Gamma^{k}_{lm})\}\frac{\partial\theta^{l}}{\partial t}\frac{\partial\theta^{j}}{\partial s}\xi^{k}\\
&=&\sum_{j,k,l}\xi^{k}R^{i}_{klj}\frac{\partial\theta^{l}}{\partial t}\frac{\partial\theta^{j}}{\partial s}
\end{eqnarray}
が成り立つのが示される。
元のパラメータを$\vb*{\theta}$新しいパラメータを$\vb*{\eta}$とする。
この時、$\tilde{\vb*{e}_{i}}$の張る接空間ではChristoffel記号$\tilde{\Gamma}^{i}_{jk}$のすべての値が局所的には$0$になる様に出来る。
さらにその計量を一切、変えない様に出来る。
$\vb*{\theta}=0$近傍で考える。
[1]基底の対応関係
\begin{eqnarray}
\tilde{\vb*{e}_{i}}&=&\frac{\partial \vb*{r}}{\partial \eta^{i}}\\
&=&\sum_{j}\frac{\partial \theta^{j}}{\partial \eta^{i}}\vb*{e}_{j}
\end{eqnarray}
[2]これをさらに$\vb*{\eta}$系で共変微分する。
\begin{eqnarray}
\tilde{\nabla_{j}}\tilde{\vb*{e}_{i}}&=&\sum_{k}\frac{\partial^{2}\theta^{k}}{\partial \eta^{j}\partial \eta^{i}}\vb*{e}_{k}+\sum_{k,l}\frac{\partial \theta^{k}}{\partial \eta^{i}}\frac{\partial \theta^{l}}{\partial \eta^{j}}\frac{\partial \vb*{e}_{k}}{\partial \theta^{l}}\\
&=&\sum_{k}\frac{\partial^{2}\theta^{k}}{\partial \eta^{i}\partial \eta^{j}}\vb*{e}_{k}+\sum_{k,l}\frac{\partial \theta^{k}}{\partial \eta^{i}}\frac{\partial \theta^{l}}{\partial \eta^{j}}\sum_{m}\Gamma^{m}_{kl}\vb*{e}_{m}\\
&=&\sum_{k}(\frac{\partial^{2}\theta^{k}}{\partial \eta^{i}\partial \eta^{j}}+\sum_{l,m}\Gamma^{k}_{ml}\frac{\partial \theta^{m}}{\partial \eta^{i}}\frac{\partial \theta^{l}}{\partial \eta^{j}})\vb*{e}_{k}\\
&=&\sum_{k}\tilde{\Gamma}^{k}_{ij}\tilde{\vb*{e}_{k}}\\
&=&\sum_{k}\tilde{\Gamma}^{k}_{ij}\sum_{l}\frac{\partial \theta^{l}}{\partial \eta^{k}}\vb*{e}_{l}\\
&=&\sum_{k}(\sum_{l}\tilde{\Gamma}^{l}_{ij}\frac{\partial \theta^{k}}{\partial \eta^{l}})\vb*{e}_{k}
\end{eqnarray}
係数比較により
\begin{equation}
\sum_{l}\tilde{\Gamma}^{l}_{ij}\frac{\partial \theta^{k}}{\partial \eta^{l}}=\frac{\partial^{2}\theta^{k}}{\partial \eta^{i}\partial \eta^{j}}+\sum_{l,m}\Gamma^{k}_{ml}\frac{\partial \theta^{m}}{\partial \eta^{i}}\frac{\partial \theta^{l}}{\partial \eta^{j}}
\end{equation}
[3]両辺に$\displaystyle \frac{\partial \eta^{m}}{\partial \theta^{k}}$をかけて$k$について総和を取る事で
\begin{equation}
\tilde{\Gamma}^{m}_{ij}=\sum_{k}\frac{\partial \eta^{m}}{\partial \theta^{k}}(\frac{\partial^{2}\theta^{k}}{\partial \eta^{i}\partial \eta^{j}}+\sum_{l,m}\Gamma^{k}_{ml}\frac{\partial \theta^{m}}{\partial \eta^{i}}\frac{\partial \theta^{l}}{\partial \eta^{j}})
\end{equation}
を得る。
[4]$\displaystyle \frac{\partial \theta^{m}}{\partial \eta^{i}}|_{\vb*{\eta}=0}=\delta^{m}_{i}$かつ$\displaystyle \frac{\partial^{2}\theta^{k}}{\partial \eta^{i}\partial \eta^{j}}|_{\vb*{\eta}=0}=-\Gamma^{k}_{ij}|_{\vb*{\eta}=0}$を満たすように取れば良い。
例えば
\begin{equation}
\theta^{k}=\eta^{k}-\frac{1}{2}\sum_{i,j}\Gamma^{k}_{ij}\eta^{i}\eta^{j}+O(|\vb*{\eta}|^{3})
\end{equation}
の様に取ればいい。
[5]さらに
\begin{eqnarray}
<\tilde{\vb*{e}_{a}},\tilde{\vb*{e}_{b}}>|_{\vb*{\eta}=0}&=&\sum_{i,j}\frac{\partial \theta^{i}}{\partial \eta^{a}}|_{\vb*{\eta}=0}\frac{\partial \theta^{j}}{\partial \eta^{b}}|_{\vb*{\eta}=0}<\vb*{e}_{i},\vb*{e}_{j}>\\
&=&\sum_{i,j}\delta^{i}_{a}\delta^{j}_{b}<\vb*{e}_{i},\vb*{e}_{j}>\\
&=&<\vb*{e}_{a},\vb*{e}_{b}>\\
&=&g_{ab}|_{\vb*{\eta}=0}
\end{eqnarray}
任意の$n$次行列$A\in M_{n}(\mathbb{R})$について以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
\det(E+\epsilon A)=1+\epsilon \Tr{A}+O(\epsilon^{2})
\end{equation}
\begin{eqnarray} \det{(E+\epsilon A)}&=&\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}}\mathrm{sgn}(\sigma)(\delta_{1\sigma(1)}+\epsilon A_{1\sigma(1)})(\delta_{2\sigma(2)}+\epsilon A_{2\sigma(2)})\cdots(\delta_{n\sigma(n)}+\epsilon A_{1\sigma(n)})\\ &=&\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}}\mathrm{sgn}\delta_{1\sigma(1)}\delta_{2\sigma(2)}\cdots\delta_{n\sigma(n)}+\epsilon\sum_{k=1}^{n}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}}\delta_{1\sigma(1)}\cdots\delta_{k-1\sigma(k-1)}A_{k\sigma(k)}\delta_{k+1\sigma(k+1)}\cdots\delta_{n\sigma(n)}+O(\epsilon^{2})\\ &=&1+\epsilon\sum_{k=1}^{n}A_{kk}+O(\epsilon^{2})\\ &=&1+\epsilon\Tr{A}+O(\epsilon^{2}) \end{eqnarray}
測地線の族の変分ベクトル場$\{\vb*{J}_{i}\}$が張る平行体の体積を$\mathrm{Vol}_{\vb*{v}}(t)\coloneqq\sqrt{\det(<\vb*{J}_{i}(t),\vb*{J}_{j}(t)>)_{i,j=1,2,...,n}}$と定める。
この時、$V_{\vb*{v}}(t)\coloneqq\frac{\mathrm{Vol}_{\vb*{v}}(t)}{t^{n}}$を考える。
$\vb*{v}\in T_{\vb*{\theta}(t)}M$を単位ベクトルとし$\vb*{e}_{1},\vb*{e}_{2},...,\vb*{e}_{n-1,}\vb*{v}\in T_{\vb*{\theta}(t)}M$を正規直交基底をなし、なおかつ$t=0$ですべてのChristoffel記号の値が零になる様に取る。
この時、次式が成り立つ。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
V_{\vb*{v}}(t)=1-\frac{t^{2}}{6}\sum_{i,j}R_{ij}v^{i}v^{j}+O(t^{3})\\
R_{ij}=\sum_{a}R^{a}_{iaj}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
[1]$s$に依存せず初期位置は固定なので$\vb*{J}_{i}(0)=0$
また
\begin{eqnarray}
\nabla_{t}\vb*{J}_{i}(0)&=&\nabla_{s}\frac{\partial \vb*{r}_{\vb*{v}+s\vb*{e}_{i}}(0)}{\partial t}\\
&=&\nabla_{s}(\vb*{v}+s\vb*{e}_{i})\\
&=&\vb*{e}_{i}
\end{eqnarray}
[2]
\begin{eqnarray}
\nabla_{t}\nabla_{t}\vb*{J}_{i}&=&\nabla_{t}\nabla_{s}\frac{\partial \vb*{r}_{\vb*{v}+s\vb*{e}_{i}}}{\partial t}\\
&=&[\nabla_{t},\nabla_{s}]\frac{\partial \vb*{r}_{\vb*{v}+s\vb*{e}_{i}}}{\partial t}+\nabla_{s}\nabla_{t}\frac{\partial \vb*{r}_{\vb*{v}+s\vb*{e}_{i}}}{\partial t}\\
&=&[\nabla_{t},\nabla_{s}]\frac{\partial \vb*{r}_{\vb*{v}+s\vb*{e}_{i}}}{\partial t}\\
&=&\sum_{a,b,c,d}\vb*{e}_{a}\frac{\partial \theta^{b}}{\partial t}R^{a}_{bcd}\frac{\partial \theta^{c}}{\partial t}\frac{\partial \theta^{d}}{\partial s}\\
&=&\sum_{a,b,c,d}\vb*{e}_{a}\frac{\partial \theta^{b}}{\partial t}R^{a}_{bcd}\frac{\partial \theta^{c}}{\partial t}J^{d}_{i}
\end{eqnarray}
[3]成分表示をすると
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle J_{i}^{a}(0)=0\quad(a,i=1,2,...,n)\\
\displaystyle \frac{dJ_{i}^{a}}{dt}(0)=\delta^{a}_{i}\quad(a,i=1,2,...,n)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
[4]測地線方程式を用いる。
\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial s}(\frac{\partial^{2}\theta^{a}}{\partial t^{2}}+\sum_{b,c}\Gamma^{a}_{bc}\frac{\partial\theta^{b}}{\partial t}\frac{\partial\theta^{c}}{\partial t})&=&\frac{\partial^{3}\theta^{a}}{\partial s\partial t^{2}}+\sum_{b,c,d}\frac{\partial \Gamma^{a}_{bc}}{\partial \theta^{l}}\frac{\partial\theta^{b}}{\partial t}\frac{\partial\theta^{c}}{\partial t}\frac{\partial\theta^{d}}{\partial s}+\sum_{b,c}\Gamma^{a}_{bc}(\frac{\partial^{2} \theta^{b}}{\partial s\partial t}\frac{\partial \theta^{c}}{\partial t}+\frac{\partial \theta^{b}}{\partial t}\frac{\partial^{2} \theta^{c}}{\partial s\partial t})\\
&=&\frac{\partial^{2} J_{i}^{a}}{\partial t^{2}}+\sum_{b,c,d}\frac{\partial \Gamma^{a}_{bc}}{\partial \theta^{d}}\frac{\partial\theta^{b}}{\partial t}\frac{\partial\theta^{c}}{\partial t}J_{i}^{d}+\sum_{b,c}(\Gamma^{a}_{bc}\frac{\partial J_{i}^{b}}{\partial t}\frac{\partial \theta^{c}}{\partial t}+\frac{\partial \theta^{b}}{\partial t}\frac{\partial J_{i}^{c}}{\partial t})\\
&=&0
\end{eqnarray}
特に$s=0$を代入すると
\begin{eqnarray}
\frac{\partial^{2} J_{i}^{a}}{\partial t^{2}}+\sum_{b,c,d}\frac{\partial \Gamma^{a}_{bc}}{\partial \theta^{l}}\frac{\partial\theta^{b}}{\partial t}\frac{\partial\theta^{c}}{\partial t}J_{i}^{d}+\sum_{b,c}(\Gamma^{a}_{bc}\frac{\partial J_{i}^{b}}{\partial t}\frac{\partial \theta^{c}}{\partial t}+\frac{\partial \theta^{b}}{\partial t}\frac{\partial J_{i}^{c}}{\partial t})|_{t=0}&=&
\frac{\partial^{2} J_{i}^{a}}{\partial t^{2}}|_{t=0}+\sum_{b,c}\Gamma^{a}_{bc}(\delta^{b}_{i}\frac{\partial \theta^{c}}{\partial t}+\frac{\partial \theta^{b}}{\partial t}\delta^{c}_{i})\\
&=&\frac{\partial^{2} J_{i}^{a}}{\partial t^{2}}|_{t=0}+\sum_{c}\Gamma^{a}_{ic}(\frac{\partial \theta^{c}}{\partial t}+\Gamma^{a}_{bi}\frac{\partial \theta^{b}}{\partial t})\\
&=&\frac{\partial^{2} J_{i}^{a}}{\partial t^{2}}|_{t=0}+2\sum_{b}\Gamma^{a}_{ib}\frac{\partial \theta^{b}}{\partial t}\\
&=&\frac{\partial^{2} J_{i}^{a}}{\partial t^{2}}|_{t=0}\\
&=&0
\end{eqnarray}
すなわち、$\displaystyle J^{a}_{i}|_{t=0}=\frac{\partial J^{a}_{i}}{\partial t}|_{t=0}=\frac{\partial^{2} J^{a}_{i}}{\partial t^{2}}|_{t=0}=0$を得る。
[$2^{'}$]
\begin{eqnarray}
\nabla_{t}\nabla_{t}J_{i}^{a}&=&\sum_{b,c,d}\frac{\partial \theta^{b}}{\partial t}R^{a}_{bcd}\frac{\partial \theta^{c}}{\partial t}J^{d}_{i}\\
&=&-\sum_{b,c,d}R^{a}_{bcd}J_{i}^{c}\frac{\partial \theta^{b}}{\partial t}\frac{\partial \theta^{d}}{\partial t}
\end{eqnarray}
[5]この式の両辺を$\nabla_{t}|_{t=0}=\frac{d}{dt}$で微分して
\begin{eqnarray}
\frac{d^{3}}{dt^{3}}J_{i}^{a}|_{t=0}&=&-\sum_{b,c,d}R^{a}_{bcd}|_{t=0}\frac{d J_{i}^{c}}{dt}|_{t=0}\frac{\partial \theta^{b}}{\partial t}\frac{\partial \theta^{d}}{\partial t}\\
&=&-\sum_{b,c,d}R^{a}_{bcd}|_{t=0}\delta^{c}_{i}\frac{\partial \theta^{b}}{\partial t}\frac{\partial \theta^{d}}{\partial t}\\
&=&-\sum_{b,d}R^{a}_{bid}|_{t=0}\frac{\partial \theta^{b}}{\partial t}\frac{\partial \theta^{d}}{\partial t}\\
&=&-\sum_{b,d}R^{a}_{bid}|_{t=0}v^{b}v^{d}
\end{eqnarray}
[6]以上の計算をまとめると次式を得る。
\begin{equation}
J^{j}_{i}=t\delta^{j}_{i}-\frac{t^{3}}{6}\sum_{k,l}R^{j}_{kil}|_{t=0}v^{k}v^{l}+O(|t|^{4})\quad(i,j=1,2,...,n)
\end{equation}
[7]
\begin{eqnarray}
<\vb*{J}_{i},\vb*{J}_{j}>&=&\sum_{a,b}<\vb*{e}_{a},\vb*{e}_{b}>\{t\delta^{a}_{i}-\frac{t^{3}}{6}\sum_{k,l}R^{a}_{kil}|_{t=0}v^{k}v^{l}+O(|t|^{4})\}\{t\delta^{b}_{j}-\frac{t^{3}}{6}\sum_{m,n}R^{b}_{mjn}|_{t=0}v^{m}v^{n}+O(|t|^{4})\}\\
&=&\sum_{a,b}\delta_{ab}\{t^{2}\delta^{a}_{i}\delta^{b}_{j}-\frac{t^{4}}{6}\sum_{k,l}(\delta^{a}_{i}R^{b}_{kjl}v^{k}v^{l}+\delta^{b}_{j}R^{a}_{kil}v^{k}v^{l})\}+O(|t|^{5})\\
&=&t^{2}\delta_{ij}-\frac{t^{4}}{6}\sum_{k,l}(R^{i}_{kjl}+R^{j}_{kil})v^{k}v^{l}+O(|t|^{5})\\
&=&t^{2}\delta_{ij}-\frac{t^{4}}{6}\sum_{k,l,m}(g^{im}R_{mk;jl}+g^{jm}R_{mk;il})v^{k}v^{l}+O(|t|^{6})\quad(g^{im}=\delta^{im})\\
&=&t^{2}\delta_{ij}-\frac{t^{4}}{6}\sum_{k,l}(R_{ik;jl}+R_{jk;il})v^{k}v^{l}+O(|t|^{5})\\
&=&t^{2}\delta_{ij}-\frac{t^{4}}{6}\sum_{k,l}(R_{ik;jl}+R_{il;jk})v^{k}v^{l}+O(|t|^{5})\\
&=&t^{2}\delta_{ij}-\frac{t^{4}}{3}\sum_{k,l}R_{ik;jl}v^{k}v^{l}+O(|t|^{5})\\
&=&t^{2}\delta_{ij}-\frac{t^{4}}{3}\sum_{k,l,m}g_{im}R^{m}_{kjl}v^{k}v^{l}+O(|t|^{5})\quad(g_{im}=\delta_{im})\\
&=&t^{2}\delta_{ij}-\frac{t^{4}}{3}\sum_{k,l}R^{i}_{kjl}v^{k}v^{l}+O(|t|^{5})
\end{eqnarray}
[8]
\begin{eqnarray}
\det(<\vb*{J}_{i}(t),\vb*{J}_{j}(t)>)_{i,j=1,2,...,n}&=&t^{2n}(1-\frac{t^{2}}{3}\sum_{i,k,l}R^{i}_{kil}v^{k}v^{l}+O(|t|^{3}))\\
&=&t^{2n}(1-\frac{t^{2}}{3}\sum_{k,l}R_{kl}v^{k}v^{l}+O(|t|^{3}))
\end{eqnarray}
[9]$\sqrt{1+\epsilon}=1+\frac{1}{2}\epsilon+O(|\epsilon|^{2})$より
\begin{eqnarray}
V_{\vb*{v}}(t)=1-\frac{t^{2}}{6}\sum_{k,l}R_{kl}v^{k}v^{l}+O(|t|^{3})
\end{eqnarray}
この定理23はRicci曲率テンソルの意味を明らかにしてくれる。
というのも、ある点$P\in M$を始点にし速度$\vb*{v}$で測地線上を進む粒子を基準にし、それとは垂直な$\vb*{e}^{i}$方向の単位速度成分を持ち異なる測地線の方向に進む粒子$1,2,...,n$を考え$\vec{P1},...,\vec{Pn}$が張る平行面体の体積の変化がどう振る舞うかを表している。
そしてEuclid空間を基準にし、体積の増加のしやすさを見る事で空間の曲率を分類するものである。
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