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Wolstenholme-Glaisherの合同式のFibonacci類似

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Babbage, Wolstenholme, Glaisherの合同式

pを素数,nを自然数とする.このとき, 以下のような興味深い合同式が知られている.

・C. Babbage (1819)
(2p1p1)1 (mod  p2 ) for p3;

・J. Wolstenholme (1862)
(2p1p1)1 (mod  p3 ) for p5;

・J. Glaisher (1900)
(np1p1)1 (mod  p3 ) for p5.

あるタイプの合同式が19世紀にゆっくり進化しているのがわかる. それから100年以上たつが, 同タイプの合同式は今でも進化を続けている. [1]で詳しく述べられている.

Fibonomial coefficients

Fibonacci数Fnに対して, 2項係数のFibonacci類似として次のFibonomial coefficientsが知られている.

Fibonomial coefficients

自然数 nk>0 に対して
(nk)F:=FnFn1Fn2Fnk+2Fnk+1FkFk1Fk2F2F1 with (n0)F:=1.

なお, Fibonomial coefficientsは整数になることが知られている.
 次に, Fibonomial coefficientsを用いたWolstenholme-Glaisherの合同式の類似を示す.

Wolstenholme-Glaisherの合同式のFibonacci類似

Wolstenholme-Glaisherの合同式のFibonacci類似

奇素数pと自然数nに対して
(np1p1)F(1)(n1)(p1)2 (mod F2pFp).

Fp3を法としては成り立たないが, より大きなF2pFpを法として成立する.
これはAdvanced problem H-737として私が提供した問題で, それに対する解答がフランスの数学者Christian Ballot氏により与えられている. また, オリジナルではLucas数Lpを使った Fp2Lpを法としているが, もちろん同じものである.
実は, 私が用意していた証明は, Ballot氏の証明とは全く異なるものであるのでここに書いておく.

既知の関係式 Fm+aFm+b=FmFm+a+b+(1)mFaFb (see [3] (20a))を使って,
           Fnpp+kFnpk=FnppFnp+(1)nppFkFpk.
すなわち       Fnpp+kFnpk=F(n1)pFnp+(1)n1FkFpk.          (1)
また, よく知られた性質 gcd(Fa,Fb)=Fgcd(a,b)を使って,
      gcd(FnpF(n1)p,F2pFp)=F2pFp,gcd(F2pFp,Fk)=1 for 1kp1.  (2)
(1),(2)を用いることで次の様に式変形ができる.
           (np1p1)F=k=1p1FnpkFk=k=1p12FnpkFnpp+kFkFpk
          =k=1p12F(n1)pFnp+(1)n1FkFpkFkFpk (by (1))
          =k=1p12(FnpF(n1)pFkFpk+(1)n1)k=1p12(1)n1 (by (2))
          =(1)(n1)(p1)2 (mod F2pFp).  

さらなる発展

2015年, 上記の未公表であった私の証明をBallot氏に見ていただき, 彼はそれをとても気に入ってくれた. 2020年, 上記の命題1をより一般的な形にしてBallot氏は論文[4]の中で書いている. その際, 私の証明のアイデアを利用していることがとてもうれしい(もちろん使用を許諾している).

(参考文献)
[1] R. Mestrovic, Wolstenholme's theorem: Its Generalizations and Extensions in the last hundred and fifty years (1862--2012), Arxiv preprint arXiv:1111.3057 (2011)
[2] H.O., Advanced problem H-737, The Fibonacci Quarterly 51.2(2013)
[3] S. Vajda, Fibonacci and Lucas Numbers and the Golden Section, DOVER (2008)
[4] C.Ballot, "Another Lucasnomial Generalization of Wolstenholme’s Congruence." Journal of Integer Sequences Vol.23(2020)

投稿日:202471
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