大学数学基礎解説

Wolstenholme-Glaisherの合同式のFibonacci類似

FibonacciNumber,Fibonomial

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Babbage, Wolstenholme, Glaisherの合同式

$p$ を素数, $n$ を自然数とする.このとき, 以下のような興味深い合同式が知られている.

・C. Babbage (1819)
$(\binom{2 p - 1}{p - 1}) \equiv 1$ $(m o d p^{2})$ 　for $p \geq 3$ ;

・J. Wolstenholme (1862)
$(\binom{2 p - 1}{p - 1}) \equiv 1$ $(m o d p^{3})$ for $p \geq 5$ ;

・J. Glaisher (1900)
$(\binom{n p - 1}{p - 1}) \equiv 1$ $(m o d p^{3})$ for $p \geq 5$ .

あるタイプの合同式が19世紀にゆっくり進化しているのがわかる. それから100年以上たつが, 同タイプの合同式は今でも進化を続けている. [1]で詳しく述べられている.

Fibonomial coefficients

Fibonacci数 $F_{n}$ に対して, 2項係数のFibonacci類似として次のFibonomial coefficientsが知られている.

Fibonomial coefficients

自然数 $n \geq k > 0$ に対して
${(\binom{n}{k})}_{F} := \frac{F_{n} F_{n - 1} F_{n - 2} \dots F_{n - k + 2} F_{n - k + 1}}{F_{k} F_{k - 1} F_{k - 2} \dots F_{2} F_{1}}$ with ${(\binom{n}{0})}_{F} := 1$ .

なお, Fibonomial coefficientsは整数になることが知られている.
　次に, Fibonomial coefficientsを用いたWolstenholme-Glaisherの合同式の類似を示す.

Wolstenholme-Glaisherの合同式のFibonacci類似

奇素数 $p$ と自然数 $n$ に対して
${(\binom{n p - 1}{p - 1})}_{F} \equiv (- 1)^{\frac{(n - 1) (p - 1)}{2}}$ (mod $F_{2 p} F_{p}$ ).

※ $F_{p}^{3}$ を法としては成り立たないが, より大きな $F_{2 p} F_{p}$ を法として成立する.
これはAdvanced problem H-737として私が提供した問題で, それに対する解答がフランスの数学者Christian Ballot氏により与えられている. また, オリジナルではLucas数 $L_{p}$ を使った $F_{p}^{2} L_{p}$ を法としているが, もちろん同じものである.
実は, 私が用意していた証明は, Ballot氏の証明とは全く異なるものであるのでここに書いておく.

既知の関係式 $F_{m + a} F_{m + b} = F_{m} F_{m + a + b} + (- 1)^{m} F_{a} F_{b}$ (see [3] (20a))を使って,
　　　　　　　　　　　 $F_{n p - p + k} F_{n p - k} = F_{n p - p} F_{n p} + (- 1)^{n p - p} F_{k} F_{p - k}$ .
すなわち　　　　　　　 $F_{n p - p + k} F_{n p - k} = F_{(n - 1) p} F_{n p} + (- 1)^{n - 1} F_{k} F_{p - k}$ .　　　　　　　　(1)
また, よく知られた性質 $g c d (F_{a}, F_{b}) = F_{g c d (a, b)}$ を使って,
　　　　 $g c d (F_{n p} F_{(n - 1) p}, F_{2 p} F_{p}) = F_{2 p} F_{p}, g c d (F_{2 p} F_{p}, F_{k}) = 1$ for $1 \leq k \leq p - 1$ .　　(2)
(1),(2)を用いることで次の様に式変形ができる.
　　　　　　　　　　　 ${(\binom{n p - 1}{p - 1})}_{F} = \prod_{k = 1}^{p - 1} \frac{F_{n p - k}}{F_{k}} = \prod_{k = 1}^{\frac{p - 1}{2}} \frac{F_{n p - k} F_{n p - p + k}}{F_{k} F_{p - k}}$
　　　　　　　　　　 $= \prod_{k = 1}^{\frac{p - 1}{2}} \frac{F_{(n - 1) p} F_{n p} + (- 1)^{n - 1} F_{k} F_{p - k}}{F_{k} F_{p - k}}$ (by (1))
　　　　　　　　　　 $= \prod_{k = 1}^{\frac{p - 1}{2}} (\frac{F_{n p} F_{(n - 1) p}}{F_{k} F_{p - k}} + (- 1)^{n - 1}) \equiv \prod_{k = 1}^{\frac{p - 1}{2}} (- 1)^{n - 1}$ (by (2))
　　　　　　　　　　 $= (- 1)^{\frac{(n - 1) (p - 1)}{2}}$ 　(mod $F_{2 p} F_{p}$ ). 　 $◼$

さらなる発展

2015年, 上記の未公表であった私の証明をBallot氏に見ていただき, 彼はそれをとても気に入ってくれた. 2020年, 上記の命題１をより一般的な形にしてBallot氏は論文[4]の中で書いている. その際, 私の証明のアイデアを利用していることがとてもうれしい(もちろん使用を許諾している).

(参考文献)
[1] R. Mestrovic, Wolstenholme's theorem: Its Generalizations and Extensions in the last hundred and fifty years (1862--2012), Arxiv preprint arXiv:1111.3057 (2011)
[2] H.O., Advanced problem H-737, The Fibonacci Quarterly 51.2(2013)
[3] S. Vajda, Fibonacci and Lucas Numbers and the Golden Section, DOVER (2008)
[4] C.Ballot, "Another Lucasnomial Generalization of Wolstenholme’s Congruence." Journal of Integer Sequences Vol.23(2020)

投稿日：2024年7月1日