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フォイエルバッハ点のとある性質の証明

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今回の記事では, Emelyanov’s Theorem をオイラー・ポンスレ点と直角双曲線を用いて証明する.
次の補題が本質的である.

垂心系を成さない四点 $A, B, C, P$ のオイラー・ポンスレ点を $X$ としたとき, $P$ の三角形 $A B C$ における cevian circle は $X$ を通る.

四点 $A, B, C, P$ を通る直角双曲線を $H$ とする. 有名事実として三角形 $A B C$ の九点円は $H$ の中心を通る. 同様にして, 三角形 $B C P, C A P, A B P$ の九点円は $H$ の中心を通る. よって, $H$ の中心は $X$ に一致する. ここで, $P$ の三角形 $A B C$ における cevian triangle を $D E F$ としたとき, 前回の記事の補題 3 より三角形 $D E F$ の内心と傍心は $H$ 上にある. 傍心三角形の九点円はもとの三角形の外接円に一致するので, 円 $D E F$ が $X$ を通ることが示された.

Emelyanov’s Theorem

三角形 $A B C$ において, フォイエルバッハ点を $F e$ , 角の二等分線と対辺の交点をそれぞれ $D, E, F$ とする. このとき, 四点 $F e, D, E, F$ は共円である.

フォイエルバッハ双曲線を $H$ とする. 有名事実として $H$ の中心は $F e$ であり, また, 四点 $A, B, C, I$ のオイラー・ポンスレ点は $F e$ に一致する. よって, 四点 $A, B, C, I$ に補題 1 を適用することで示された.

この定理を用いると, 次のような性質を示すことができる.

三角形 $A B C$ において, 角の二等分線と対辺の交点を $D E F$ とし, 外フォイエルバッハ点を $F e_{A}, F e_{B}, F e_{C}$ とする. このとき, 三角形 $D E F$ と三角形 $F e_{A} F e_{B} F e_{C}$ は相似である.

内接円, $∠ A$ -傍接円, 九点円に monge's theorem を適用することで, 三点 $F e, D, F e_{A}$ の共線を得る. 同様にして, 三点 $F e, E, F e_{B}$ , 三点 $F e, F, F e_{C}$ は共線である. すると,
定理 2 より, $∠ D E F = ∠ D F e F = ∠ F e_{A} F e F e_{C} = ∠ F e_{A} F e_{B} F e_{C}$ .
同様にして $∠ E F D = ∠ F e_{B} F e_{C} F e_{A}$ なので示された.