Lasker-Noetherの定理の系

$I_{1}, I_{2}, \dots, I_{n}$ を可換環のイデアルとすると $\sqrt{⋂_{i = 1}^{n} I_{i}} = ⋂_{i = 1}^{n} \sqrt{I_{i}}$ が成り立つ.

帰納法により, $n = 2$ の場合を示せば十分である.
( $\subseteq$ ) $x \in \sqrt{I_{1} \cap I_{2}}$ を任意にとる. このときある $ν \geq 1$ が存在して $x^{ν} \in I_{1} \cap I_{2}$ となるから, $x \in \sqrt{I_{1}}$ と $x \in \sqrt{I_{2}}$ がともに成り立つ. すなわち $x \in \sqrt{I_{1}} \cap \sqrt{I_{2}}$ が成り立つ.
( $\supseteq$ ) $x \in \sqrt{I_{1}} \cap \sqrt{I_{2}}$ をとり, 正整数 $m, n$ を $x^{m} \in I_{1}, x^{n} \in I_{2}$ となるようにとる. このとき $x^{m + n} = x^{m} x^{n}$ は $I_{1} \cap I_{2}$ に含まれるから, $x \in \sqrt{I_{1} \cap I_{2}}$ である.

Lasker-Noetherの定理

可換環上のNoether加群の任意の部分群に準素分解が存在する.

Laster-Noeterの定理

可換Noether環 $A$ のイデアル $I$ で $I = \sqrt{I}$ が成り立つならば, $I$ を有限個の素イデアルの共通部分として表すことができる.

$I = Q_{1} \cap Q_{2} \cap \dots \cap Q_{n}$ を $I$ の準素分解とする. $\sqrt{Q_{i}}$ は任意の $i$ に対して素イデアルだから, 補題により $I = \sqrt{I} = ⋂_{i = 1}^{n} \sqrt{Q_{i}}$ と素イデアルの共通部分として表すことができる.

投稿日：2024年9月11日

更新日：23日前

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