圏論7：アーベル圏
今回は，additive categoryにおけるkernel，cokernel，image，coimage，最後にabelian categoryを定義する．
以下，$\mathcal{C}$をadditive categoryとする．したがって$\mathcal{C}$にはzero object，zero morphism，射の加法，有限biproductがある．
射$f:A\to B$のkernelとは，射$k:K\to A$であって$f\circ k=0$を満たし，任意の射$t:T\to A$で$f\circ t=0$を満たすものに対して，ただ一つの射$u:T\to K$が存在して$t=k\circ u$となるものをいう．
このとき対象$K$をkernel対象といい，${\rm Ker}\,f$と書く．射$k$を$\ker f:{\rm Ker}\,f\to A$と書く．
図式で書くと，kernelの普遍性は次の通りである．
\begin{equation*}
\xymatrix{
T \ar@{-->}[d]_-{u} \ar[dr]^-{t} &\\
{{\rm Ker}\,f} \ar[r]_-{\ker f} & A \ar[r]_-{f} & B
}
\end{equation*}
ここで$f\circ t=0$であり，$t$は一意に${\rm Ker}\,f$を経由する．
射$f:A\to B$のcokernelとは，射$q:B\to Q$であって$q\circ f=0$を満たし，任意の射$t:B\to T$で$t\circ f=0$を満たすものに対して，ただ一つの射$u:Q\to T$が存在して$t=u\circ q$となるものをいう．
このとき対象$Q$をcokernel対象といい，${\rm Coker}\,f$と書く．射$q$を${\rm coker}\,f:B\to{\rm Coker}\,f$と書く．
図式で書くと，cokernelの普遍性は次の通りである．
\begin{equation*}
\xymatrix{
A \ar[r]^-{f} & B \ar[r]^-{{\rm coker}\,f} \ar[dr]_-{t} &
{{\rm Coker}\,f} \ar@{-->}[d]^-{u}\\
&& T
}
\end{equation*}
ここで$t\circ f=0$であり，$t$は一意に${\rm Coker}\,f$を経由する．
additive categoryにおいて，kernelをもつ射$f:A\to B$について，$f$がmonoであることと${\rm Ker}\,f\cong0$であることは同値である．
双対的に，cokernelをもつ射$f:A\to B$について，$f$がepiであることと${\rm Coker}\,f\cong0$であることは同値である．
まず$f$をmonoとする．第5回で見たように，zero morphism $0:0\to A$は$f$のkernelである．kernelは同型を除いて一意なので，${\rm Ker}\,f\cong0$である．
逆に${\rm Ker}\,f\cong0$とする．射$u,v:T\to A$が$f\circ u=f\circ v$を満たすとする．additive categoryでは差が取れるので
\begin{equation*}
f\circ(u-v)=f\circ u-f\circ v=0
\end{equation*}
である．したがって$u-v$は$\ker f:{\rm Ker}\,f\to A$を経由する．しかし${\rm Ker}\,f\cong0$なので，この射はzero morphismである．よって$u-v=0$，すなわち$u=v$である．したがって$f$はmonoである．
epiとcokernelについては，矢印を逆にした同じ議論で示される．
この命題は，第5回で残していた「kernel対象が$0$ならmono」の逆向きを，additive categoryでは差$u-v$を使って証明できる，ということである．
射$f:A\to B$について，${\rm coker}\,f:B\to{\rm Coker}\,f$が存在し，さらにそのkernelが存在するとする．
このとき
\begin{equation*}
{\rm im}\,f:{\rm Im}\,f\to B
\end{equation*}
を${\rm coker}\,f$のkernelとして定義する．対象${\rm Im}\,f$を$f$のimageといい，射${\rm im}\,f$を$f$のimage morphismという．
つまりimageは次の図式で定義される．
\begin{equation*}
\xymatrix{
{{\rm Im}\,f} \ar[r]^-{{\rm im}\,f} &
B \ar[r]^-{{\rm coker}\,f} &
{{\rm Coker}\,f}
}
\end{equation*}
ここで${\rm im}\,f=\ker({\rm coker}\,f)$である．
射$f:A\to B$について，$\ker f:{\rm Ker}\,f\to A$が存在し，さらにそのcokernelが存在するとする．
このとき
\begin{equation*}
{\rm coim}\,f:A\to{\rm Coim}\,f
\end{equation*}
を$\ker f$のcokernelとして定義する．対象${\rm Coim}\,f$を$f$のcoimageといい，射${\rm coim}\,f$を$f$のcoimage morphismという．
つまりcoimageは次の図式で定義される．
\begin{equation*}
\xymatrix{
{{\rm Ker}\,f} \ar[r]^-{\ker f} &
A \ar[r]^-{{\rm coim}\,f} &
{{\rm Coim}\,f}
}
\end{equation*}
ここで${\rm coim}\,f={\rm coker}(\ker f)$である．
記法として，${\rm Im}\,f$，${\rm Coim}\,f$は対象を表し，${\rm im}\,f$，${\rm coim}\,f$は射を表す．
imageは$B$の中に入る対象であり，coimageは$A$から出ていく対象である．
image morphism ${\rm im}\,f:{\rm Im}\,f\to B$はmonoであり，coimage morphism ${\rm coim}\,f:A\to{\rm Coim}\,f$はepiである．
${\rm im}\,f$はkernel射なのでmonoである．また${\rm coim}\,f$はcokernel射なのでepiである．
imageとcoimageが存在するとき，$f$は自然にimageとcoimageを経由する．
まずimageについて見る．${\rm coker}\,f\circ f=0$であり，${\rm im}\,f$は${\rm coker}\,f$のkernelである．したがってkernelの普遍性により，ただ一つの射$a:A\to{\rm Im}\,f$が存在して
\begin{equation*}
f={\rm im}\,f\circ a
\end{equation*}
となる．図式では次のようになる．
\begin{equation*}
\xymatrix{
A \ar@{-->}[d]_-{a} \ar[r]^-{f} &
B \ar[r]^-{{\rm coker}\,f} &
{{\rm Coker}\,f}\\
{{\rm Im}\,f} \ar[ur]_-{{\rm im}\,f} &&
}
\end{equation*}
次にcoimageについて見る．$f\circ\ker f=0$であり，${\rm coim}\,f$は$\ker f$のcokernelである．したがってcokernelの普遍性により，ただ一つの射$b:{\rm Coim}\,f\to B$が存在して
\begin{equation*}
f=b\circ{\rm coim}\,f
\end{equation*}
となる．図式では次のようになる．
\begin{equation*}
\xymatrix{
{{\rm Ker}\,f} \ar[r]^-{\ker f} &
A \ar[r]^-{{\rm coim}\,f} \ar[dr]_-{f} &
{{\rm Coim}\,f} \ar@{-->}[d]^-{b}\\
&& B
}
\end{equation*}
imageとcoimageが存在するとき，自然な射
\begin{equation*}
\gamma_f:{\rm Coim}\,f\to{\rm Im}\,f
\end{equation*}
が存在する．
上の証明で得た射$b:{\rm Coim}\,f\to B$を使う．${\rm coker}\,f\circ f=0$かつ$f=b\circ{\rm coim}\,f$なので
\begin{equation*}
({\rm coker}\,f)\circ b\circ{\rm coim}\,f=0
\end{equation*}
である．${\rm coim}\,f$はcokernel射だからepiである．よって
\begin{equation*}
({\rm coker}\,f)\circ b=0
\end{equation*}
である．
いま${\rm im}\,f:{\rm Im}\,f\to B$は${\rm coker}\,f$のkernelであるから，$b$は一意に${\rm Im}\,f$を経由する．すなわち，ただ一つの射$\gamma_f:{\rm Coim}\,f\to{\rm Im}\,f$が存在して
\begin{equation*}
b={\rm im}\,f\circ\gamma_f
\end{equation*}
となる．
この射$\gamma_f$を使うと，$f$は次のように分解される．
\begin{equation*}
\xymatrix{
A \ar[r]^-{{\rm coim}\,f} &
{{\rm Coim}\,f} \ar[r]^-{\gamma_f} &
{{\rm Im}\,f} \ar[r]^-{{\rm im}\,f} &
B
}
\end{equation*}
すなわち
\begin{equation*}
f={\rm im}\,f\circ\gamma_f\circ{\rm coim}\,f
\end{equation*}
である．
imageとcoimageが存在する射$f:A\to B$について，$f=0$であることと${\rm Im}\,f\cong0$であることは同値である．また，$f=0$であることと${\rm Coim}\,f\cong0$であることも同値である．
$f=0$なら，${\rm coker}\,f={\rm id}_B$である．したがって${\rm Im}\,f=\ker({\rm id}_B)\cong0$である．逆に${\rm Im}\,f\cong0$なら，$f$は${\rm Im}\,f$を経由するのでzero morphismである．
coimageについても双対的である．$f=0$なら$\ker f={\rm id}_A$なので${\rm Coim}\,f={\rm coker}({\rm id}_A)\cong0$である．逆に${\rm Coim}\,f\cong0$なら，$f$は${\rm Coim}\,f$を経由するのでzero morphismである．
$f:A\to B$がmonoなら，${\rm coim}\,f:A\to{\rm Coim}\,f$は同型である．双対的に，$f$がepiなら，${\rm im}\,f:{\rm Im}\,f\to B$は同型である．
$f$がmonoなら${\rm Ker}\,f\cong0$である．したがって${\rm coim}\,f$はzero morphism $0\to A$のcokernelと同型であり，これは${\rm id}_A:A\to A$である．よって${\rm coim}\,f$は同型である．
epiの場合は双対的である．
$A$を環とする．${\rm Mod}_A$では，準同型$f:M\to N$について
\begin{equation*}
{\rm Ker}\,f=\{m\in M\mid f(m)=0\},\qquad
{\rm Coker}\,f=N/f(M)
\end{equation*}
である．また
\begin{equation*}
{\rm Im}\,f=f(M)\subset N,\qquad
{\rm Coim}\,f=M/{\rm Ker}\,f
\end{equation*}
であり，自然な射
\begin{equation*}
{\rm Coim}\,f=M/{\rm Ker}\,f\longrightarrow{\rm Im}\,f=f(M)
\end{equation*}
は$m+{\rm Ker}\,f\mapsto f(m)$で与えられる同型である．これは同型定理そのものである．
additive category $\mathcal{C}$がすべてのkernelとcokernelをもつとは，任意の射$f:A\to B$について$\ker f$と${\rm coker}\,f$が存在することをいう．(従って，${\rm im}\, f, {\rm coim}\, f$がある．)
すべてのkernelとcokernelをもつadditive categoryをpreabelian categoryということがある．abelian categoryは，preabelian categoryにさらに条件を加えたものである．
additive category $\mathcal{C}$がabelian categoryであるとは，次の二条件を満たすことをいう．
(i) 任意の射がkernelとcokernelをもつ．
(ii) 任意の射$f$について，自然な射
\begin{equation*}
\gamma_f:{\rm Coim}\,f\to{\rm Im}\,f
\end{equation*}
が同型である．
abelian categoryの条件(ii)は，すべての射について「同型定理」が成り立つ，と読むことができる．
つまり，任意の射$f:A\to B$は
\begin{equation*}
\xymatrix{
A \ar[r]^-{{\rm coim}\,f} &
{{\rm Coim}\,f} \ar[r]^-{\sim} &
{{\rm Im}\,f} \ar[r]^-{{\rm im}\,f} &
B
}
\end{equation*}
と分解される．ここで左の射はepi，右の射はmonoである．
abelian categoryでは，任意のmonoはある射のkernelであり，任意のepiはある射のcokernelである．より具体的に，mono $m:A\to B$は${\rm coker}\,m$のkernelであり，epi $e:A\to B$は$\ker e$のcokernelである．
$m:A\to B$をmonoとする．上で見たように${\rm Coim}\,m\cong A$である．abelian categoryでは${\rm Coim}\,m\to{\rm Im}\,m$が同型なので，$A\cong{\rm Im}\,m$である．また${\rm im}\,m:{\rm Im}\,m\to B$は${\rm coker}\,m$のkernelである．したがって$m$は同型を挟んで${\rm coker}\,m$のkernelと一致する．つまり$m$はkernel射である．
epiについては双対的に示される．
この命題の逆も成り立つ．すなわち，すべてのkernelとcokernelをもつadditive categoryにおいて，すべてのmonoがkernel射であり，すべてのepiがcokernel射であることは，abelian categoryであることと同値である．
この同値な定義をabelian categoryの定義として採用することもある．
abelian categoryでは，射$f:A\to B$がmonoであることと${\rm Ker}\,f\cong0$であることは同値であり，$f$がepiであることと${\rm Coker}\,f\cong0$であることは同値である．
これはadditive categoryで既に示した命題を，abelian categoryに適用したものである．abelian categoryではすべてのkernelとcokernelが存在するので，任意の射についてこの判定を使える．
${\rm Ab}$や${\rm Mod}_A$はabelian categoryである．kernel，cokernel，image，coimageは通常の代数で定義されるものと一致する．
次回以降は，abelian categoryの中で完全列や完全関手を扱う．
