大学数学基礎解説

法が整数の複素数の合同式

数論,複素数,合同式

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基礎知識

合同式の定義

$m|a-b$ なら　
$$ a \equiv b \pmod{m} $$

複素整数

合同式は整数についてで成り立つため

複素整数の定義

実部と虚部が共に整数である複素数のことを複素整数と呼ぶ。

という整数の定義が必要である。

法が実数の複素数の合同式

まず、具体的な数を使い複素数の合同について考えてみる。

法が実数の複素数の合同

$z_{1} = 5+4i,z_2 = 1+2iとする。$
$ z_1-z_2=4+2iより、$
$z_1とz_2実部と虚部の4と2の公約数を法として合同だと言えるとする。$

このように

法が実数の複素数の合同

$２つの複素数z_1とz_2において二つの複素数の差の実部と虚部の公約数を法として２つの複素数z_1とz_2は合同である。（虚部≠0）$

と言えるのではないだろうか。

予想の証明

$z_1 = a_1+b_1 i,z_2 = a_2 + b_2 iとする。$
$法をmとすると、m=GCD(a_1-a_2,b_1-b_2)の定義より、 $
$m|(a_1-a_2)$
$m|(b_1-b_2)$
$が成り立つ。$
$よってある整数k,lが存在して$
$a_1−a_2=mk$
$b_1−b_2=mℓ$
$と書けるので、$
$z_1−z_2=(a_1−a_2)+(b_1−b_2)i=mk+mℓi=m(k+ℓi)$
となる。
$ここで k+ℓi は複素整数なので、$
$「複素整数に対して m が割り切る」と言ってよい。$
$つまり$
$m∣(z_1−z_2)$
$が成り立つ。$
$合同の定義より、$
$m∣(z_1−z_2)⟹z_1≡z_2(modm)$
$であるから、予想は示された。$