東大数理院試過去問解答例(2022B03)

初めに充分性を示す。互いに素な$a,b$を取る。このとき単射
$$\begin{array}{rl}\mathbb{Z}[X]& \hookrightarrow A:=\mathbb{Z}[Y^5+Y^3{Z}^2,Z^6]\end{array}$$
を考えたとき、$as+bt=1$なる整数$s,t$に対して変換
$$\begin{array}{rl}\mathbb{Z}[Y^5+Y^3{Z}^2,Z^6]& \to \mathbb{Z}[Y^5+Y^3{Z}^2,Z^6]\\ Y^5+Y^3{Z}^2& \mapsto a(Y^5+Y^3{Z}^2)+b{Z}^6\\ Z^6& \mapsto t(Y^5+Y^3{Z}^2)+s{Z}^6\end{array}$$
を考えることで、$\mathbb{Z}[Y^5+Y^3{Z}^2,Z^6]=\mathbb{Z}[a(Y^5+Y^3{Z}^2)+b{Z}^6,s(Y^5+Y^3{Z}^2)+t{Z}^6]$は自由$\mathbb{Z}[X]$-加群であることがわかる。次に$\mathbb{Z}[Y^5+Y^3{Z}^2,Z]$は自由$\mathbb{Z}[Y^5+Y^3{Z}^2,Z^6]$-加群である。次に$\mathbb{Z}[Y,Z]$は$\mathbb{Z}[Y^5+Y^3{Z}^2,Z]$上自由であるから、以上より$\mathbb{Z}[Y,Z]$は${\varphi }_{a,b}$によって自由$\mathbb{Z}[X]$-加群になっている。

次に必要性を示す。$\gcd (a,b)=d\ne 1$とする。ここで$\mathbb{Z}[Y,Z]$が自由$\mathbb{Z}[X]$-加群であったとする。このとき$M=\mathbb{Z}[Y,Z]/\mathrm{Im}({\varphi }_{a,b})$も自由加群になる。しかし$f=\frac{1}{d}(a(Y^5+Y^3{Z}^2)+b{Z}^6)$とおくと、$f$は$M$に於いて$0$でない捩れ元になっているから$M$の自由性に矛盾する。以上から$\mathbb{Z}[Y,Z]$は$\mathbb{Z}[X]$-加群として自由ではない。