文献あり

松坂位相P.153読者への練習問題について

はじめに

私は最近松坂和夫の「数学入門シリーズ　集合・位相入門」を使って位相空間論を勉強し始めたのですが、やっと第4章§2に入りました。
そこで,P.153の位相の例c)3つの元からなる集合Sの位相を29個全て書き出すという問題が読者への練習問題とされていたので、記事にするには少々ネタが弱いかなと思ったのですが、自分用のメモとして書くことにしました。

位相の定義

とりあえず位相の定義を書きます。

位相

$S$を1つの空でない集合とする.$S$の部分集合系$\mathfrak{O}$が次の3つの条件を満たすとき,$\mathfrak{O}$は$S$に一つの位相構造を定める,あるいは$\mathfrak{O}$は$S$における一つの位相であるという.

(Oⅰ)$S\in\mathfrak{O}$および$\varnothing\in \mathfrak{O}$
(Oⅱ)$O_1\in \mathfrak{O}$かつ$O_2\in \mathfrak{O}$ならば$O_1 \cap O_2\in \mathfrak{O}$
(Oⅲ)$(O_\lambda)_{\lambda\in\varLambda}$を$\mathfrak{O}$から成る任意の集合族(添字集合$\varLambda$は任意の有限または無限集合で、全ての$\lambda\in \varLambda$に対して$O_\lambda\in \mathfrak{O}$)とすれば$\displaystyle\bigcup_{\lambda\in \varLambda}O_\lambda\in \mathfrak{O}$

読者への練習問題

3つの元からなる集合$S= \lbrace p,q,r \rbrace $における位相を書き上げよ.

密着位相

$\mathfrak{O_1}=\lbrace \varnothing,S \rbrace$

1元集合を1つ含む

$\mathfrak{O_2}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace p \rbrace\rbrace$
$\mathfrak{O_3}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace q \rbrace\rbrace$
$\mathfrak{O_4}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace r \rbrace\rbrace$

2元集合を1つ含む

$\mathfrak{O_5}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace p,q \rbrace\rbrace$
$\mathfrak{O_6}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace p,r \rbrace\rbrace$
$\mathfrak{O_7}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace q,r \rbrace\rbrace$

1元集合1つと2元集合1つを含む

$\mathfrak{O_8}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace p \rbrace,\lbrace p ,q\rbrace\rbrace$
$\mathfrak{O_9}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace p \rbrace,\lbrace p ,r\rbrace\rbrace$
$\mathfrak{O_{10}}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace q\rbrace,\lbrace p ,q\rbrace\rbrace$
$\mathfrak{O_{11}}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace q \rbrace,\lbrace q ,r\rbrace\rbrace$
$\mathfrak{O_{12}}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace r \rbrace,\lbrace p ,r\rbrace\rbrace$
$\mathfrak{O_{13}}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace r \rbrace,\lbrace q ,r\rbrace\rbrace$
$\mathfrak{O_{14}}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace p \rbrace,\lbrace q ,r\rbrace\rbrace$
$\mathfrak{O_{15}}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace q \rbrace,\lbrace p ,r\rbrace\rbrace$
$\mathfrak{O_{16}}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace r \rbrace,\lbrace p ,q\rbrace\rbrace$

1元集合1つと2元集合2つ

$\mathfrak{O_{17}}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace p \rbrace,\lbrace p ,q\rbrace,\lbrace p ,r\rbrace\rbrace$
$\mathfrak{O_{18}}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace q \rbrace,\lbrace p ,q\rbrace,\lbrace q ,r\rbrace\rbrace$
$\mathfrak{O_{19}}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace r \rbrace,\lbrace p ,r\rbrace,\lbrace q ,r\rbrace\rbrace$

1元集合2つとその和集合

$\mathfrak{O_{20}}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace p \rbrace,\lbrace q\rbrace,\lbrace p ,q\rbrace\rbrace$
$\mathfrak{O_{21}}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace q \rbrace,\lbrace r\rbrace,\lbrace q ,r\rbrace\rbrace$
$\mathfrak{O_{22}}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace p \rbrace,\lbrace r\rbrace,\lbrace p ,r\rbrace\rbrace$

1元集合2つと2元集合2つ

$\mathfrak{O_{23}}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace p \rbrace,\lbrace q\rbrace,\lbrace p ,q\rbrace,\lbrace p ,r\rbrace\rbrace$
$\mathfrak{O_{24}}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace p \rbrace,\lbrace q\rbrace,\lbrace p ,q\rbrace,\lbrace q ,r\rbrace\rbrace$
$\mathfrak{O_{25}}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace q \rbrace,\lbrace r\rbrace,\lbrace q ,r\rbrace,\lbrace p ,r\rbrace\rbrace$
$\mathfrak{O_{26}}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace q \rbrace,\lbrace r\rbrace,\lbrace q ,r\rbrace,\lbrace p ,q\rbrace\rbrace$
$\mathfrak{O_{27}}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace p \rbrace,\lbrace r\rbrace,\lbrace p ,r\rbrace,\lbrace p ,q\rbrace\rbrace$
$\mathfrak{O_{28}}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace p \rbrace,\lbrace r\rbrace,\lbrace p ,r\rbrace,\lbrace q,r\rbrace\rbrace$

離散位相

$\mathfrak{O_{29}}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace p \rbrace,\lbrace q \rbrace,\lbrace r\rbrace,\lbrace p ,q\rbrace,\lbrace q ,r\rbrace,\lbrace p ,r\rbrace\rbrace$
の29個です.
ここで、上にも書きましたが
$\mathfrak{O_1}=\lbrace \varnothing, S \rbrace$を密着位相、
$\mathfrak{O_{29}}=\lbrace \varnothing,S,\lbrace p \rbrace,\lbrace q \rbrace,\lbrace r\rbrace,\lbrace p ,q\rbrace,\lbrace q ,r\rbrace,\lbrace p ,r\rbrace\rbrace$を離散位相といいます。

最後に

改めて、このネタはだいぶ記事の内容として弱いなぁと思いました。
また、松坂先生の集合・位相入門では「密着位相」、「離散位相」についてあまり詳しく書かれていないので、いまいちわかったようなわかってないような...
という気分です.
最後まで読んでいただきありがとうございました。
何か間違っているところがありましたらコメントしていただけると幸いです。