東大数理院試過去問解答例(2026B06)

位相空間$A,B$に対して$A\approx B$と書いたときは、$A$と$B$がホモトピー同値であることを指す。

1. まずマイヤービートリス完全列
   $$ \begin{array}{cccccc} &&&&\cdots&\to\\ 0&\to&\mathbb{Z}^2&\to&H^2(X,\mathbb{Z})&\to\\ 0&\to&0&\to&H^1(X,\mathbb{Z})&\to\\ \mathbb{Z}^2&\to&\mathbb{Z}^2&\to&\mathbb{Z}&\to0 \end{array} $$
   をとることで、
   $$ {\color{red}H^i(X,\mathbb{Z})=\begin{cases} \mathbb{Z}&(i=0,1)\\ \mathbb{Z}^2&(i=2)\\ 0&(\textsf{otherwise}) \end{cases}} $$
   が得られる。
2. まず$S^2$の$p$を含む半球$N'$と$q$を含む半球$S'$に分ける。そして自然な射影$p:Y\to S^2$に対して、$N:=p^{-1}(N)$及び$S:=p^{-1}(S)$とおく。このとき$N$を$N\times \{0\}$の元で代表されるもの全体$N_1$と$N\times\{1\}$の元で代表されるもの全体$N_2$に分けたとき、$N_1\cap N_2\approx S^1$であることを考慮すると、マイヤービートリス完全列
   $$ \begin{array}{cccccc} \cdots&\to&0&\to&H_3(N,\mathbb{Z})&\to\\ 0&\to&0&\to&H_2(N,\mathbb{Z})&\to\\ \mathbb{Z}&\to&\mathbb{Z}^2&\to&H_1(N,\mathbb{Z})&\to\\ \mathbb{Z}&\to&\mathbb{Z}^2&\to&\mathbb{Z}&\to&0 \end{array} $$
   であるから、
   $$ H_i(N,\mathbb{Z})\simeq\begin{cases} \mathbb{Z}&(i=0,1)\\ 0&(\textsf{otherwise}) \end{cases} $$
   が得られる。$S$についても同様である。また$N\cap S\approx S^1\times S^1$であるから、よってマイヤービートリス完全列
   $$ \begin{array}{cccccc} \cdots&\to&0&\to&H_3(X,\mathbb{Z})&\to\\ \mathbb{Z}&\to&0&\to&H_2(X,\mathbb{Z})&\to\\ \mathbb{Z}^2&\to&\mathbb{Z}^2&\to&H_1(X,\mathbb{Z})&\to\\ \mathbb{Z}&\to&\mathbb{Z}^2&\to&\mathbb{Z}&\to0 \end{array} $$
   が得られる。ここで$H_1(N_1\cap N_2,\mathbb{Z})$の生成元は一方は$p$及び$q$で消え、他方は共通部分での一次ホモロジー群の生成元の$2$倍になっているから、$1$次の列の左の準同型は
   $$ \begin{pmatrix} 2&0\\ 2&0 \end{pmatrix} $$
   で表示される。これにより
   $$ {\color{red}H_i(X,\mathbb{Z})\simeq\begin{cases} \mathbb{Z}&(i=0,2,3)\\ \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&(i=1)\\ 0&(\textsf{oherwise}) \end{cases}} $$
   がわかる。