Furstenbergの証明
Furstenbergの証明
位相空間論を用いて以下の命題を示すことが, 本記事の目的である.
素数は無限個存在する.
そのためにまず, 位相空間論の言葉について解説する.
位相空間論
集合$X$,$X$の冪集合$P(X)$の部分集合$O_X$の組$(X, O_X)$が以下の条件(1), (2)を満たすとき, 位相空間という.
(1)$(U_i)_{i\in I}$を$O_X$の元の族とする. このとき, $\bigcup_{i \in I}$$U_i \in O_X$
(2)$(U_i)_{i\in I}$を$O_X$の元の有限族とする. このとき, $\bigcap_{i \in I}$$U_i \in O_X$
位相空間$(X, O_X)$を位相空間$X$と略す場合もある. また, $O_X$を位相空間$X$の位相という. $O_X$の元を位相空間$X$の開集合という.
位相空間$X$に対して, $X$の部分集合$X'$で$X\setminus X' \in O_X$となるとき, $X'$を位相空間$X$の閉集合という.
次に簡単な閉集合の性質を述べる.
$X$を位相空間, $O_X$を位相空間$X$の位相, $O'_X$を位相空間Xの閉集合全体の集合とする.このとき, (1), (2)が成り立つ.
(1)$(U'_i)_{i\in I}$を$O'_X$の元の有限族とする. このとき, $X\setminus\bigcup_{i \in I}$$U'_i \in O_X$
(2)$(U'_i)_{i\in I}$を$O'_X$の元の族とする. このとき, $X\setminus\bigcap_{i \in I}$$U_i \in O_X$
- $X\setminus\bigcup_{i \in I}$$U'_i $$=$$\bigcap_{i \in I}$$X\setminus U'_i \in O_X$
- $X\setminus\bigcap_{i \in I}$$U'_i $$=$$\bigcup_{i \in I}$$X\setminus U'_i \in O_X$
次に開基を定義していく.
集合$X$に対し, 部分集合$B\subset P(X)$が以下の条件(1), (2)を満たすとき, $X$の開基という.
(1) $\forall x\in X, \exists b\in B, x\in b$
(2) $\forall a, b\in B, \forall x\in a\cap b ,\exists c\in B, x\in c \subset a\cap b $
次の命題は開基によって生成される位相を表している.
集合$X$に対し, 部分集合$B\subset P(X)$を$X$の開基とする.
このとき, 集合$O_B=\{U\in P(X)\colon \forall x\in U, \exists b\in B, x\in b\subset U\}$は$X$の位相である. この位相を開基$B$によって生成された位相という.
$(U_i)_{i\in I}$を$O_B$の元の族とする. $O_B$の定義より, 任意の$ x\in $$\bigcup_{i\in I}U_i$に対して, $x\in b\subset U_i$となる$i\in I$と$b\in B$が存在する. ゆえに, $\bigcup_{i\in I}U_i \in O_B$
$(U_i)_{i\in I}$を$O_B$の元の有限族とする.任意の$x\in\bigcap_{i\in I}U_i$に対して,$\forall i\in I, \exists b\in B, x\in b\subset U_i$ が成り立つ. このとき,$U_i$に対応する$ b\in B$を$b_i$と表すことにする.開基の定義より$\exists c\in B, x\in c\subset\bigcap_{i\in I}b_i\subset \bigcap_{i\in I}U_i $が成り立つ. ゆえに, $\bigcap_{i\in I}U_i \in O_B$
命題1の証明
それでは命題1の証明をしていきたいと思う.
整数全体の集合$\mathbb{Z}$に対して, 部分集合$B\coloneqq \{a\mathbb{Z} +b \colon a\in\mathbb{Z}\setminus \{0\}, b\in\mathbb{Z} \}$($a\mathbb{Z} +b\coloneqq\{az+b\colon z\in \mathbb{Z}\}$)とする.
まず, $a\in\mathbb{Z}\setminus \{0\}, b\in\mathbb{Z}$を固定し, $\mathbb{Z}= \bigcup_{i = 0}^{a-1} (a\mathbb{Z} +b+i)$ となることを示す.$\mathbb{Z} \supset \bigcup_{i = 0}^{a-1} (a\mathbb{Z} +b+i)$は明らか.$\mathbb{Z}\subset \bigcup_{i = 0}^{a-1} (a\mathbb{Z} +b+i)$を示す.任意の$z\in \mathbb{Z}$に対して, $z=an+r (n,r\in \mathbb{Z},0 \leq r \lt a)$と表せ, $z=an+b+(r-b)$このとき, $ r-b=an'+r'(n',r'\in \mathbb{Z},0 \leq r' \lt a)$ であり,$z=a(n+n')+b+r'\in\bigcup_{i = 0}^{a-1} (a\mathbb{Z} +b+i)$である. ゆえに$\mathbb{Z}=\bigcup_{i = 0}^{a-1} (a\mathbb{Z} +b+i)$
次に部分集合$B$が開基であることを示す.
任意の$x\in\mathbb{Z}$に対し, $x\in b$となる$b\in B$が存在することは$\mathbb{Z}=\bigcup_{i = 0}^{a-1} (a\mathbb{Z} +b+i)$ よりわかる($\bigcup_{i = 0}^{a-1} (a\mathbb{Z} +b+i)$は無縁和になっている).
$\forall a, b\in B$,$\exists c,e\in\mathbb{Z}\setminus \{0\}, \exists d,f\in\mathbb{Z},a=c\mathbb{Z}+d,b=e\mathbb{Z}+f$ が成り立つ.このとき, 任意の$x\in a\cap b $に対して,$c\mathbb{Z}+x=c\mathbb{Z}+d,e\mathbb{Z}+x=e\mathbb{Z}+f$となり,
$x\in ce\mathbb{Z}+x\subset a\cap b(ce\mathbb{Z}+x\in B)$となることがわかる.ゆえに$B$は集合$X$の開基である.
開基$B$によって生成される$X$の位相を$O_B$とし, この位相により$X$を位相空間と考える.
$\mathbb{Z}\setminus (a\mathbb{Z}+b)=\bigcup_{i = 1}^{a-1} (a\mathbb{Z} +b+i)$ より,任意の$a\mathbb{Z}+b\in B$は位相空間$X$の閉集合であることがわかる.また,$\pm 1$を除き任意の整数は素数の積で表されるので,$\mathbb{Z}\setminus\{-1,1\}= \bigcup_{p\colon \mathsf{prime} }p\mathbb{Z} $となり,左辺は閉集合でないので, 右辺は無限個の閉集合の和集合でなければならない.よって, 素数は無限個である.
いかがだったでしょうか？
この証明はHillel Furstenbergというアメリカの数学者が学部生のときに思いついた証明方法らしいです. 位相空間を使ってどうやって素数が無限個あることを証明するんだ！と思いますが, 証明を読んでみるとうまく証明してますよね.
こういうことが自分で思いつくぐらい, 数学とお友達になりたいですね, ボクは.
Reference
[1][Furstenberg「素数の無限性について」 - 空論上の砂、楼閣上の机。] 永月杏 ブログ
[2]圏論によるトポロジー 森北出版
