任意の元が四巾等な環

$z\in R$が$z^2=z$を満たしていたとする。このとき任意の$y$について$z(y-zy)=0$であるから
$$(y-zy)z=((y-zy)z{)}^4=(y-zy)(z(y-zy){)}^{3}z=0$$
より$yz=zyz$が従う。同様の議論により$(yz-y)z=0$から$zy=zyz$が従う。以上から任意の$y$について$yz=zy$が成り立つから、$z$は中心的である。

まず$-x=(-x{)}^4=x$より$2x=0$である。これによって
$$(x^2+x{)}^2=x^4+x^2=x^2+x$$
となり$x^2+x$は巾等である。特に補題1から$x^2+x$は中心的である。

また任意にとった$x,b,c\in R$について、前述の結果を用いると
$$\begin{array}{rl}c(xb+bx)& =c((x+b{)}^2-x^2-b^2)\\ & =c(((x+b{)}^2+(x+b))-(x^2+x)-(x^2+x))\\ & =(((x+b{)}^2+(x+b))-(x^2+x)-(b^2+b))c\\ & =(xb+bx)c\end{array}$$
が従い、これに$c=x$を代入することで$x^{2}b=b{x}^2$がわかる。これによって任意の$x$について$x^2$は中心的である。

以上の議論から任意の$x=(x^2+x)-x^2$が中心的であることがわかったので、$R$は可換環である。