任意の元が四巾等な環
先日知り合いから次のような問題を紹介されました。
環$R$について、任意の$x\in R$が
$$
x^4=x
$$
を満たすとき、$R$は可換環であることを示せ。
頑張ったのですが自力で解けず、ネットに落ちていた解答( https://math.stackexchange.com/questions/76792/ring-such-that-x4-x-for-all-x-is-commutative )を見て感動したので備忘録として解説します。
証明の前に一つ補題を示します。
環$R$が問題1の条件を満たすとき、巾等元は中心的である。
$z\in R$が$z^2=z$を満たしていたとする。このとき任意の$y$について$z(y-zy)=0$であるから
$$
(y-zy)z=((y-zy)z)^4=(y-zy)(z(y-zy))^3z=0
$$
より$yz=zyz$が従う。同様の議論により$(yz-y)z=0$から$zy=zyz$が従う。以上から任意の$y$について$yz=zy$が成り立つから、$z$は中心的である。
以下問題の証明に入ります。
まず$-x=(-x)^4=x$より$2x=0$である。これによって
$$
(x^2+x)^2=x^4+x^2=x^2+x
$$
となり$x^2+x$は巾等である。特に補題1から$x^2+x$は中心的である。
また任意にとった$x,b,c\in R$について、前述の結果を用いると
$$
\begin{split}
c(xb+bx)&=c((x+b)^2-x^2-b^2)\\
&=c(((x+b)^2+(x+b))-(x^2+x)-(x^2+x))\\
&=(((x+b)^2+(x+b))-(x^2+x)-(b^2+b))c\\
&=(xb+bx)c
\end{split}
$$
が従い、これに$c=x$を代入することで$x^2b=bx^2$がわかる。これによって任意の$x$について$x^2$は中心的である。
以上の議論から任意の$x=(x^2+x)-x^2$が中心的であることがわかったので、$R$は可換環である。
