輪と位相

代数学,輪,位相

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はじめに

AAGと名乗ってます。今日はちょっと特殊な代数系について語ります。
前提知識としては、環論と位相空間のちょっとした知識があれば十分だと思います。

輪

輪(wheel)

組$(W,+,\cdot,0,1,/)$が輪であるとは以下の公理を満たす代数系である。
($W$を動く全称量化が初めにつく場合省略する)

$(W,+,0),(W,\cdot,1)$は可換モノイド
$//x=x$
$/(xy)=/x/y$
$(x+y)z+0z=xz+yz$
$(x+yz)/y=x/y+z+0y$
$0\cdot 0=0$
$(x+0y)z=xz+0y$
$/(x+0y)=/x+0y$
$0/0+x=0/0$

名称について

「輪」という日本語表記は Wikipedia によると暫定的なもので、「車輪」「ホイール」とも呼ばれますが、この記事では「輪」で統一します

$R$を可換環,$S$を積閉集合とする.
$W=R\times R\ /\equiv $とおく.
ただし、$(x,y)\equiv(x',y') \Leftrightarrow \exists s,s'\in S, sx=s'x'\land sy=s'y'$
以下、$(x,y)$の同値類を$[x,y]$で表す。
$0'=[0,1], 1'=[1,0]$
$[x,y]+[x',y']=[xy'+x'y,yy']$
$[x,y]\cdot [x',y']=[xx',yy']$
$/[x,y]=[y,x]$
とおくと、$(W,0',1',+,\cdot,/)$は輪となる。(証明略)
これを$\odot_SR$で表す。

商輪は局所化に似てると思います。名前の通り商によって輪を作ります。
特に$x\mapsto[x,1]$で定まる写像を「埋め込み」と呼ぶことにします。

この記事では以降用いませんが、
輪の射を$0,1,+,\cdot,/$を保つ射とすれば完備・余完備となり、
局所化と同様に商輪は左随伴となります。
(右随伴は($\lbrace0x=0|x\in W\rbrace,\lbrace0x=0/x=0|x\in W\rbrace$)です。)

位相輪

※ここから独自の定義です。

位相輪

輪$(W,+,\cdot,0,1,/)$について
$W$に位相が定まり、$+,\cdot,/$が連続になるとき、
$(W,+,\cdot,0,1,/)$を位相輪と呼ぶ。

$\odot_{\mathbb{R}^*}\mathbb{R}$が位相輪で、埋め込み$\mathbb{R}\to\odot_{\mathbb{R}^*}\mathbb{R}$が位相的に埋め込みになっているものは、
$\odot_{\mathbb{R}^*}\mathbb{R}-\lbrace 0/0\rbrace$が$S^1$と同相で、$0/0$を含む開集合は全体集合のみである。

(アイデア)

まず、$y\neq0$について、$[x,y]=[xy^{-1},1]$であり、$[1,0]=[x,0]$であるから、$\odot_{\mathbb{R}^*}\mathbb{R}-\lbrace 1/0,0/0\rbrace$は$\mathbb{R}$と同相.
以下、$\odot_{\mathbb{R}^*}\mathbb{R}$を$\mathbb{R}\cup\lbrace 1/0,0/0\rbrace$とみなす。
$\mathbb{R}\cup\lbrace 1/0\rbrace$について、$x\mapsto /x$は自己同相写像であるから、これにより$0$の近傍と$/0$の近傍との1対1対応がある. つまり、$\mathbb{R}\cup\lbrace 1/0\rbrace \cong S^1$
$x\mapsto x/0$を考えると$0/0$を含む開集合の逆像は$0$周辺の要素を含む、つまり$0/0$を含む開集合は$1/0$も含む.
$x\mapsto a+0/x$(ただし$a\in\mathbb{R}$)を考えると$0/0$を含む開集合の逆像は$0$周辺の要素を含む、つまり$0/0$を含む開集合は$a$も含む.
したがって、$0/0$を含む開集合は全体のみである.$\blacksquare$