輪と位相

代数学,輪,位相

138

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

はじめに

AAGと名乗ってます。今日はちょっと特殊な代数系について語ります。
前提知識としては、環論と位相空間のちょっとした知識があれば十分だと思います。

輪

輪(wheel)

組 $(W, +, \cdot, 0, 1, /)$ が輪であるとは以下の公理を満たす代数系である。
( $W$ を動く全称量化が初めにつく場合省略する)

$(W, +, 0), (W, \cdot, 1)$ は可換モノイド
$/ / x = x$
$/ (x y) = / x / y$
$(x + y) z + 0 z = x z + y z$
$(x + y z) / y = x / y + z + 0 y$
$0 \cdot 0 = 0$
$(x + 0 y) z = x z + 0 y$
$/ (x + 0 y) = / x + 0 y$
$0 / 0 + x = 0 / 0$

名称について

「輪」という日本語表記は Wikipedia によると暫定的なもので、「車輪」「ホイール」とも呼ばれますが、この記事では「輪」で統一します

$R$ を可換環, $S$ を積閉集合とする.
$W = R \times R / \equiv$ とおく.
ただし、 $(x, y) \equiv (x^{'}, y^{'}) \Leftrightarrow \exists s, s^{'} \in S, s x = s^{'} x^{'} \land s y = s^{'} y^{'}$
以下、 $(x, y)$ の同値類を $[x, y]$ で表す。
$0^{'} = [0, 1], 1^{'} = [1, 0]$
$[x, y] + [x^{'}, y^{'}] = [x y^{'} + x^{'} y, y y^{'}]$
$[x, y] \cdot [x^{'}, y^{'}] = [x x^{'}, y y^{'}]$
$/ [x, y] = [y, x]$
とおくと、 $(W, 0^{'}, 1^{'}, +, \cdot, /)$ は輪となる。(証明略)
これを $⊙_{S} R$ で表す。

商輪は局所化に似てると思います。名前の通り商によって輪を作ります。
特に $x \mapsto [x, 1]$ で定まる写像を「埋め込み」と呼ぶことにします。

この記事では以降用いませんが、
輪の射を $0, 1, +, \cdot, /$ を保つ射とすれば完備・余完備となり、
局所化と同様に商輪は左随伴となります。
(右随伴は( ${0 x = 0 | x \in W}, {0 x = 0 / x = 0 | x \in W}$ )です。)

位相輪

※ここから独自の定義です。

位相輪

輪 $(W, +, \cdot, 0, 1, /)$ について
$W$ に位相が定まり、 $+, \cdot, /$ が連続になるとき、
$(W, +, \cdot, 0, 1, /)$ を位相輪と呼ぶ。

$⊙_{R^{*}} R$ が位相輪で、埋め込み $R \to ⊙_{R^{*}} R$ が位相的に埋め込みになっているものは、
$⊙_{R^{*}} R - {0 / 0}$ が $S^{1}$ と同相で、 $0 / 0$ を含む開集合は全体集合のみである。

(アイデア)

まず、 $y \neq 0$ について、 $[x, y] = [x y^{- 1}, 1]$ であり、 $[1, 0] = [x, 0]$ であるから、 $⊙_{R^{*}} R - {1 / 0, 0 / 0}$ は $R$ と同相.
以下、 $⊙_{R^{*}} R$ を $R \cup {1 / 0, 0 / 0}$ とみなす。
$R \cup {1 / 0}$ について、 $x \mapsto / x$ は自己同相写像であるから、これにより $0$ の近傍と $/ 0$ の近傍との1対1対応がある. つまり、 $R \cup {1 / 0} ≅ S^{1}$
$x \mapsto x / 0$ を考えると $0 / 0$ を含む開集合の逆像は $0$ 周辺の要素を含む、つまり $0 / 0$ を含む開集合は $1 / 0$ も含む.
$x \mapsto a + 0 / x$ (ただし $a \in R$ )を考えると $0 / 0$ を含む開集合の逆像は $0$ 周辺の要素を含む、つまり $0 / 0$ を含む開集合は $a$ も含む.
したがって、 $0 / 0$ を含む開集合は全体のみである. $◼$