位数がnの群はn次対称群の部分群として書ける

どうも

　こんにちは　ごててんです　最近は数学を一切せずにブルーロックを読んでいました.

どういう人向けの記事？

　群論を少し勉強したことがある人向けの記事です. 準同型を知っていると読めると思います.
　群論をそれなりに勉強した人がタイトルを見たらまあ何を紹介する記事なのか全部わかると思うので読まなくていいです（？？？）

記事の目的

　この記事では Cayleyの定理（この名前が適切かは分かりません（）） を当たり前だと思えることが目標です.

まず定理の紹介から

具体例その1

　いきなり証明に入らずに具体例を見てみましょう. 具体例を説明するうちに上の定理の証明の手法を用いるので, 具体例を読み終わったら一旦自分で証明を考えてみるのもいいかもしれません！

　では具体例ですが, 簡単なものから行きます. $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$から$S_4$への単射準同型を考えてみます.

　そこでなのですが, 通常$S_4$の元は$1,2,3,4$を用いて$(12)(34),(123)$などと書かれますが 見やすくするために$S_4$の元を$0,1,2,3$で書くことにします.

　さて結果から出してみます. $\varphi :\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\to S_4$を次のようにすればうまくいきます.

　$\overline{0}$$\mapsto \left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ 0& 1& 2& 3\end{array}\right)=1$

　$\overline{1}$$\mapsto \left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ 1& 2& 3& 0\end{array}\right)=(0123)$

　$\overline{2}$$\mapsto \left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ 2& 3& 0& 1\end{array}\right)=(0123{)}^2$

　$\overline{3}$$\mapsto \left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ 3& 0& 1& 2\end{array}\right)=(0123{)}^3$

結果だけ見ればまあなんとなく「推察」から求めることができそうというのがありますが, これを「機械的に」行うことが証明のカギとなります. 機械的に上の対応を導出してみましょう！

頭を使うな！

　さて, 記号を対応させておきます. $\overline{0}$を$0$, $\overline{1}$を$1$, $\overline{2}$を$2$, $\overline{3}$を$3$と対応させて考えます.

　$\overline{2}$で考えてみます.

　$\overline{2}$$\mapsto \left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ & \end{array}\right)$
　この空白をどうやって埋めるか？ 考えてみます.

　$0$の行き先をどう定めるか. これを $\overline{2}+\overline{0}=\overline{2}$だから$2$に対応させる！と考えます.
　$1$の行き先をどう定めるか. これを $\overline{2}+\overline{1}=\overline{3}$だから$3$に対応させる！と考えます.
　$2$の行き先をどう定めるか. これを $\overline{2}+\overline{2}=\overline{0}$だから$0$に対応させる！と考えます.
　$3$の行き先をどう定めるか. これを $\overline{2}+\overline{3}=\overline{1}$だから$1$に対応させる！と考えます.

　その結果埋めたのが次, ということになります.

　$\overline{2}$$\mapsto \left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ 2& 3& 0& 1\end{array}\right)$

　この例はわかりやすい例すぎてよくわからないと思うので, 少しだけわかりにくい例をやってみます.

具体例その2

　$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$から$S_4$への単射準同型を考えてみます.

　$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$の元を$1,2,3,4$と次のように対応させておきます.

　$(\overline{0},\overline{0})⟷1$
　$(\overline{1},\overline{0})⟷2$
　$(\overline{0},\overline{1})⟷3$
　$(\overline{1},\overline{1})⟷4$

　さて, $(\overline{0},\overline{0})$ を機械的に$S_4$で実現しましょう. と言いたいところですがこれは単位元に行くしかないので問答無用で恒等置換$1$に対応します.

　$(\overline{1},\overline{0})$ を機械的に$S_4$で実現しましょう.

　$1$の行き先をどう定めるか. これを $(\overline{1},\overline{0})+(\overline{0},\overline{0})=(\overline{1},\overline{0})$だから$2$に対応させる！と考えます.
　$2$の行き先をどう定めるか. これを $(\overline{1},\overline{0})+(\overline{1},\overline{0})=(\overline{0},\overline{0})$だから$1$に対応させる！と考えます.
　$3$の行き先をどう定めるか. これを $(\overline{1},\overline{0})+(\overline{0},\overline{1})=(\overline{1},\overline{1})$だから$4$に対応させる！と考えます.
　$4$の行き先をどう定めるか. これを $(\overline{1},\overline{0})+(\overline{1},\overline{1})=(\overline{0},\overline{1})$だから$3$に対応させる！と考えます.

よって, 次の対応となります.

　$(\overline{1},\overline{0})$$\mapsto \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 1& 4& 3\end{array}\right)=(12)(34)$.

　もう一つだけ例を計算してみます.

　$(\overline{1},\overline{1})$ を機械的に$S_4$で実現しましょう.

　$1$の行き先をどう定めるか. これを $(\overline{1},\overline{1})+(\overline{0},\overline{0})=(\overline{1},\overline{1})$だから$4$に対応させる！と考えます.
　$2$の行き先をどう定めるか. これを $(\overline{1},\overline{1})+(\overline{1},\overline{0})=(\overline{0},\overline{1})$だから$3$に対応させる！と考えます.
　$3$の行き先をどう定めるか. これを $(\overline{1},\overline{1})+(\overline{0},\overline{1})=(\overline{1},\overline{0})$だから$2$に対応させる！と考えます.
　$4$の行き先をどう定めるか. これを $(\overline{1},\overline{1})+(\overline{1},\overline{1})=(\overline{0},\overline{0})$だから$1$に対応させる！と考えます.

よって, 次の対応となります.

　$(\overline{1},\overline{1})$$\mapsto \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 3& 2& 1\end{array}\right)=(14)(23)$.

　残りも計算してまとめると, 次のようになります.

　$(\overline{0},\overline{0})$$\mapsto \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 2& 3& 4\end{array}\right)=1$

　$(\overline{1},\overline{0})$$\mapsto \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 1& 4& 3\end{array}\right)=(12)(34)$

　$(\overline{0},\overline{1})$$\mapsto \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 4& 1& 2\end{array}\right)=(13)(24)$

　$(\overline{1},\overline{1})$$\mapsto \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 3& 2& 1\end{array}\right)=(14)(23)$
　Kleinの4元群だということを思い出せば当たり前な表示になりましたね！

乗法表を見てみよう

さっきの対応の下の部分だけを見てみましょう.

　これって, 演算の表になっているのでは！？ということになります.
　そうです. さきほどまで行っていたのは, 演算の表を置換の下の部分に一行ずつ入れていけば, 対称群の部分群として埋め込むことができるのでは！？ ということだったのです. これがこの記事のメインのアイデアです.

定理の証明に入ろう！

　もう一度定理の主張を書きます.

　はい. まずはちょっと見やすく記号を整理します. $G=\{1,2,3,...,n\}$と書いて, 演算を$\ast$の記号で書き表すことにします.

　写像$\varphi :G\to S_n$を次で定めます.

$m$$\mapsto \left(\begin{array}{cccc}1& 2& ...& n\\ m\ast 1& m\ast 2& ...& m\ast n\end{array}\right)$

　これが単射準同型であれば証明終了です！

そもそもこれって Well-defined か？

　写像, とさきほどは書いてしまいましたが 実は写像かどうかはちゃんとチェックしなければなりません.

なぜなら $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& ...& n\\ m\ast 1& m\ast 2& ...& m\ast n\end{array}\right)$ の下の段が本当に「$1$から$n$を一つずつ」であるかが分からないからです. 置換であるには, このチェックが必要です.

　どうチェックするかですが, 左から$m$をかける写像が全単射であれば大丈夫で, その証明も簡単です. なぜなら左から$m^{-1}$をかける写像が逆写像になるからですね. 逆写像を持てば全単射です. よって上の対応は Well-defined です！

準同型であることを証明したい！

　これも簡単です. 愚直に考えてみます.

　$\varphi (x)\varphi (y)=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& ...& n\\ x\ast 1& x\ast 2& ...& x\ast n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 2& ...& n\\ y\ast 1& y\ast 2& ...& y\ast n\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& ...& n\\ x\ast y\ast 1& x\ast y\ast 2& ...& x\ast y\ast n\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& ...& n\\ (x\ast y)\ast 1& (x\ast y)\ast 2& ...& (x\ast y)\ast n\end{array}\right)$

$=\varphi (x\ast y)$

　よって準同型です！

単射であることを証明すれば終わり！

　これも落ち着いて考えれば簡単です.

　$\varphi (x)=\varphi (y)$ とします. このとき

$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& ...& n\\ x\ast 1& x\ast 2& ...& x\ast n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& ...& n\\ y\ast 1& y\ast 2& ...& y\ast n\end{array}\right)$
　が成立しています. つまり任意の$G$の元$m$に対して$x\ast m=y\ast m$です.
　ということは！ 右から$m$の逆元をかけて$x=y$がわかるので単射です！ 証明完了！！！

おつかれさまでした

　ここまで読んでいただきありがとうございました！
　定理の主張をみるとなんとなくいい感じですが, 証明してみればなんてことない, 結構当たり前寄りの主張だと思えましたでしょうか. それでは～～～