今月の東進数学コンクールについて

今月の問題
大学数学(初等も)初心者なので間違えてたら教えていただきたいです
まず軽く実験をします
$n=2$のとき最大値$\frac{1}{2}$
$n=3$のとき最大値$\frac{1}{\sqrt{2}}$
勘が鋭い方はここで気づくかもしれませんが(私は気づきませんでした)
$n=4$のときを気合で解くと最大値$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$
最大値は$cos\frac{\pi }{n+1}$と予想できる
三角関数,もっと言うとチェビシェフ多項式が出そうなことを頭において考えてみる

(証明)
対称行列$A$を,直交行列$T$によって対角化をすると
${}^{t}TAT$=$diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$
$x=Ty$とおくと
$y_1^2+y_2^2+\dots +y_n^2={}^{t}yy={}^t({}^{t}Tx)({}^{t}Tx)={\Vert x\Vert }^2=1$
${}^{t}xAx={}^t(Ty)ATy={}^{t}y({}^{t}TAT)y$
$={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\dots +{\lambda }_n{y}_n^2\le {\lambda }_M(y_1^2+y_2^2+\dots +y_n^2)={\lambda }_M$
(等号成立は${\lambda }_M$を係数に持つ$y_M^2$に対して$y_M=1,y_k=0(k\ne M)$)
(証明終わり)
(解)実二次形式$\sum _{i=1}^{n-1}{x}_i{x}_{i+1}$を定める実対称行列Aは

$A=\cdot \left(\begin{array}{cccccccccc}0& -\frac{1}{2}& 0& \dots & & & & & & 0\\ -\frac{1}{2}& 0& -\frac{1}{2}& 0& & \dots & & & & 0\\ 0& -\frac{1}{2}& 0& -\frac{1}{2}& 0& & \dots & & & 0\\ 0& 0& -\frac{1}{2}& 0& -\frac{1}{2}& 0& & \dots & & 0\\ & & & & & & & & & ⋮\\ ⋮& & & & & & & & & -\frac{1}{2}\\ & \\ 0& \dots & & & & & & 0& -\frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$ ($n$次正方行列)
であり$|\lambda E-A|=0$の解を考える
解は変わらないので$|2(\lambda E-A)|=0$とすると
$|2(\lambda E-A)|=\left|\begin{array}{cccccccccc}2\lambda & 1& 0& \dots & & & & & & 0\\ 1& 2\lambda & 1& 0& & \dots & & & & 0\\ 0& 1& 2\lambda & 1& 0& & \dots & & & 0\\ 0& 0& 1& 2\lambda & 1& 0& & \dots & & 0\\ & & & & & & & & & ⋮\\ ⋮& & & & & & & & & 0\\ & & & & & & & & & 1\\ 0& \dots & & & & & & 0& 1& 2\lambda \end{array}\right|$
$n$次正方行列$A$に対応するこの行列式を$f_n(\lambda )$とする
($f_2(\lambda )=4{\lambda }^2-1,f_3(\lambda )=8{\lambda }^3-4\lambda$)
$n\geqq 4$とする第一行で余因子展開をすると
$f_n(\lambda )=2\lambda f_{n-1}(\lambda )+(-1{)}^3\left|\begin{array}{cccccccccc}1& 1& 0& \dots & & & & & & 0\\ 0& 2\lambda & 1& 0& & \dots & & & & 0\\ 0& 1& 2\lambda & 1& 0& & \dots & & & 0\\ 0& 0& 1& 2\lambda & 1& 0& & \dots & & 0\\ & & & & & & & & & ⋮\\ ⋮& & & & & & & & & 0\\ & & & & & & & & & 1\\ 0& \dots & & & & & & 0& 1& 2\lambda \end{array}\right|$
残った行列式に対して第一列で余因子展開をすると
$f_n(\lambda )=2\lambda f_{n-1}(\lambda )-f_{n-2}(\lambda )$
これと$f_2,f_3$から第二種チェビシェフ多項式に対応する
$sinn\theta$に対応するチェビシェフ多項式を$U_n(x)$とすると
($f_n(x)=U_{n+1}(x))$
チェビシェフ多項式の性質から
($U_{n+1}(x)$)=$f_n(x)=0$の解は$cos\frac{k}{n+1}\pi (k=1,2,\dots n)$
(これが固有値となる)
補題$1$より求める最大値は$cos\frac{\pi }{n+1}$
この操作で与えられる最大値を与える$x_k(k=1,2,\dots ,n)$が全て$0$より大きいことを数学的帰納法によりしめす
$(x_k\ge 0$は前提とします)
$n=2,$の場合は条件を満たし
$2$以上$n$以下の全ての整数において最大値を与える$x_k$が正だと仮定します
$n+1$のとき,$x_i=0$($1\le i\le n+1$)となるものが存在すると仮定すると
このときの$(x_1,x_2,\dots ,x_{n+1})=(t_1,t_2,\dots ,t_{n+1})$とし
$s_j=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{t}_{i+j-n-1}(n+2-i\le j\le n+1)\\ t_{i+j}(1\le j\le n+1-i)\end{array}\end{array}$
このとき
$\sum _{i=1}^n(t_k{t}_{k+1}-s_k{s}_{k+1})=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}0(i=n+1)\\ x_1{x}_{n+1}-x_{i+1}{x}_{i+2}(i\ne n+1)\geqq 0\end{array}\end{array}$
よって最大値をとるときは$x_{n+1}=0$をとることができてこのとき
$n$の場合に対応するこの操作を繰り返すと最大値は$2$以上$n$以下の場合の最大値をとるがこれは最大値の狭義増加性に反し矛盾($n$個$0$なら積和が$0$となり最大値ではない)
以上より$x_i>0(i=1,2,\dots ,n)$