0

東大数理院試過去問解答例(2023B01)

595
0

ここでは東大数理の修士課程の院試の2023B01の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2023B01

Gは有限生成群であり、その交換子群[G:G]は有限群であるとする。
(1) Gの任意の部分群は有限生成群であることを示せ。
(2) Gの部分群
Gx={gG|gxg1=x}
は指数有限であることを示せ。
(3) 以下の条件
 (i) NGの正規指数有限部分群である
 (ii) NN[G:G]=0なるアーベル群である。
を満たす部分群Nが存在することを示せ。

  1. 部分群Hをとり、群準同型
    f:HGG/[G:G]
    をとる。ここでH:=[G:G]H={g1,,gt}とおく。またf(H)は有限生成アーベル群の部分群であるから有限生成アーベル群であり、その生成元のHへの引き戻し(を各生成元に対して一つずつとったもの)をh1,,hsとおく。H{h1,,ht,g1,,gs}で生成される。
  2. xGを任意にとる。左剰余類の集合から[G:G]への写像
    G/Gi[G:G]gGigxg1x1
    とると、これはwell-definedな単射である。よって[G:G]の有限性から結果が従う。
  3. Gが有限群であればN=0とすれば良い。以下|G|=とする。中心をC(G)とおく。(1)及び(2)からC(G)Gの指数有限部分群である。(1)によりこれは有限生成アーベル群であり、ここで同型C(G)ZriZ/piriZが取れる。これは無限群Gの指数有限部分群であるから、r0である。ここで捩れなし部分をNとすると、これが所望の条件を満たしている。
投稿日:2023109
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中