ここでは東大数理の修士課程の院試の2023B01の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
2023B01
は有限生成群であり、その交換子群は有限群であるとする。
(1) の任意の部分群は有限生成群であることを示せ。
(2) の部分群
は指数有限であることを示せ。
(3) 以下の条件
(i) はの正規指数有限部分群である
(ii) はなるアーベル群である。
を満たす部分群が存在することを示せ。
- 部分群をとり、群準同型
をとる。ここでとおく。またf(H)は有限生成アーベル群の部分群であるから有限生成アーベル群であり、その生成元のへの引き戻し(を各生成元に対して一つずつとったもの)をとおく。はで生成される。 - を任意にとる。左剰余類の集合からへの写像
とると、これはwell-definedな単射である。よっての有限性から結果が従う。 - が有限群であればとすれば良い。以下とする。中心をとおく。(1)及び(2)からはの指数有限部分群である。(1)によりこれは有限生成アーベル群であり、ここで同型が取れる。これは無限群の指数有限部分群であるから、である。ここで捩れなし部分をとすると、これが所望の条件を満たしている。