東大数理院試過去問解答例(2023B01)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2023B01の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2023B01

$G$は有限生成群であり、その交換子群$[G:G]$は有限群であるとする。
(1) $G$の任意の部分群は有限生成群であることを示せ。
(2) $G$の部分群
$$ G_x=\{g\in G|gxg^{-1}=x\} $$
は指数有限であることを示せ。
(3) 以下の条件
　(i) $N$は$G$の正規指数有限部分群である
　(ii) $N$は$N\cap[G:G]=0$なるアーベル群である。
を満たす部分群$N$が存在することを示せ。

部分群$H$をとり、群準同型
$$ f:H\subseteq G\twoheadrightarrow G/[G:G] $$
をとる。ここで$H':=[G:G]\cap H=\{g_1,\cdots,g_t\}$とおく。またf(H)は有限生成アーベル群の部分群であるから有限生成アーベル群であり、その生成元の$H$への引き戻し(を各生成元に対して一つずつとったもの)を$h_1,\cdots,h_s$とおく。$H$は$\{h_1,\cdots,h_t,g_1,\cdots,g_s\}$で生成される。
$x\in G$を任意にとる。左剰余類の集合から$[G:G]$への写像
$$ \begin{split} G/G_i&\to[G:G]\\ gG_i&\mapsto gxg^{-1}x^{-1} \end{split} $$
とると、これはwell-definedな単射である。よって$[G:G]$の有限性から結果が従う。
$G$が有限群であれば$N=0$とすれば良い。以下$|G|=\infty$とする。中心を$C(G)$とおく。(1)及び(2)から$C(G)$は$G$の指数有限部分群である。(1)によりこれは有限生成アーベル群であり、ここで同型$$C(G)\simeq\mathbb{Z}^r\oplus\bigoplus_i\mathbb{Z}/p_i^{r_i}\mathbb{Z}$$が取れる。これは無限群$G$の指数有限部分群であるから、$r\neq0$である。ここで捩れなし部分を$N$とすると、これが所望の条件を満たしている。

投稿日：2023年10月9日

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投稿者

佐々木藍

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佐々木藍(Ai Sasaki)です。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。X(旧Twitter)→＠sasaki_aiiro

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