院解16 京大H23 数学I 1 線形空間の和と最小多項式

なんやこれは...線型写像の響き！
「教えてTone Tone〜！」

$P_1(x)$と$P_2(x)$の最小公倍元を$Q(x)$とおく.$Q(f)$は$P_1(x)$で割り切れるから$w_1\in W_1$に対し$Q(f)w_1=0$.同様に$w_2\in W_2$に対し$Q(f)w_2=0$.$W=W_1+W_2$だから$Q(f)=0$.よって$Q(f)$の最小多項式$P(x)$は$Q(x)$で割り切れる.
次に$P(x)$を$P_1(x)$で割った商,余りをそれぞれ$S(x),R(x)$とすると$P(x)=P_1(x)S(x)+R(x)$.すると$W_1$上で$P(f)=R(f)$.さらに$W_1$上で$P(f)\equiv 0$なので$W_1$上で$R(f)\equiv 0$.$P_1(x)$は最小多項式で$R$の次数はそれより小さいから$R(x)=0$.よって$P_1(x)$は$P(x)$を割り切る.同様に$P_2(x)$も$P(x)$を割り切るので$P(x)$は$Q(x)$で割り切れる.
以上から$P(x)=T(x)Q(x)$,$Q(x)=U(x)P(x)$を満たすモニックな多項式$T,U$が存在する.このとき$P(x)=T(x)U(x)P(x)$となるので係数を比較して$T(x)=U(x)=1$.よって$P(x)=Q(x)$.
(1)から$f$の最小多項式は$f|_{W_1}$の最小多項式と$f|_{W_2}$の最小多項式の最小公倍元である.$f|_{W_1}$,$f|_{W_2}$は共に対角化可能だから最小多項式は共に重解をもたない.よって$f$の最小多項式も同様である.$\Box$

投稿日：11月15日

更新日：11月15日

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