新規作成
院解16 京大H23 数学I 1 線形空間の和と最小多項式
院解16 京大H23 数学I 1 線形空間の和と最小多項式
0
qq_pp
大学数学基礎
解説
院解16 京大H23 数学I 1 線形空間の和と最小多項式
0
0
19
0
LaTeXエクスポート
なんやこれは...線型写像の響き!
「教えてTone Tone〜!」
P
1
(
x
)
と
P
2
(
x
)
の最小公倍元を
Q
(
x
)
とおく.
Q
(
f
)
は
P
1
(
x
)
で割り切れるから
w
1
∈
W
1
に対し
Q
(
f
)
w
1
=
0
.同様に
w
2
∈
W
2
に対し
Q
(
f
)
w
2
=
0
.
W
=
W
1
+
W
2
だから
Q
(
f
)
=
0
.よって
Q
(
f
)
の最小多項式
P
(
x
)
は
Q
(
x
)
で割り切れる.
次に
P
(
x
)
を
P
1
(
x
)
で割った商,余りをそれぞれ
S
(
x
)
,
R
(
x
)
とすると
P
(
x
)
=
P
1
(
x
)
S
(
x
)
+
R
(
x
)
.すると
W
1
上で
P
(
f
)
=
R
(
f
)
.さらに
W
1
上で
P
(
f
)
≡
0
なので
W
1
上で
R
(
f
)
≡
0
.
P
1
(
x
)
は最小多項式で
R
の次数はそれより小さいから
R
(
x
)
=
0
.よって
P
1
(
x
)
は
P
(
x
)
を割り切る.同様に
P
2
(
x
)
も
P
(
x
)
を割り切るので
P
(
x
)
は
Q
(
x
)
で割り切れる.
以上から
P
(
x
)
=
T
(
x
)
Q
(
x
)
,
Q
(
x
)
=
U
(
x
)
P
(
x
)
を満たすモニックな多項式
T
,
U
が存在する.このとき
P
(
x
)
=
T
(
x
)
U
(
x
)
P
(
x
)
となるので係数を比較して
T
(
x
)
=
U
(
x
)
=
1
.よって
P
(
x
)
=
Q
(
x
)
.
(1)から
f
の最小多項式は
f
|
W
1
の最小多項式と
f
|
W
2
の最小多項式の最小公倍元である.
f
|
W
1
,
f
|
W
2
は共に対角化可能だから最小多項式は共に重解をもたない.よって
f
の最小多項式も同様である.
◻
投稿日:2024年11月15日
更新日:2024年11月15日
この記事を高評価した人
高評価したユーザはいません
この記事に送られたバッジ
バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう
バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。
バッチを贈る
投稿者
qq_pp
6
3448
0
Followers
0
Follow
コメント
他の人のコメント
コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中
qq_pp
院解16 京大H23 数学I 1 線形空間の和と最小多項式