院解16 京大H23 数学I 1 線形空間の和と最小多項式

なんやこれは...線型写像の響き！
「教えてTone Tone〜！」

$P_{1} (x)$ と $P_{2} (x)$ の最小公倍元を $Q (x)$ とおく. $Q (f)$ は $P_{1} (x)$ で割り切れるから $w_{1} \in W_{1}$ に対し $Q (f) w_{1} = 0$ .同様に $w_{2} \in W_{2}$ に対し $Q (f) w_{2} = 0$ . $W = W_{1} + W_{2}$ だから $Q (f) = 0$ .よって $Q (f)$ の最小多項式 $P (x)$ は $Q (x)$ で割り切れる.
次に $P (x)$ を $P_{1} (x)$ で割った商,余りをそれぞれ $S (x), R (x)$ とすると $P (x) = P_{1} (x) S (x) + R (x)$ .すると $W_{1}$ 上で $P (f) = R (f)$ .さらに $W_{1}$ 上で $P (f) \equiv 0$ なので $W_{1}$ 上で $R (f) \equiv 0$ . $P_{1} (x)$ は最小多項式で $R$ の次数はそれより小さいから $R (x) = 0$ .よって $P_{1} (x)$ は $P (x)$ を割り切る.同様に $P_{2} (x)$ も $P (x)$ を割り切るので $P (x)$ は $Q (x)$ で割り切れる.
以上から $P (x) = T (x) Q (x)$ , $Q (x) = U (x) P (x)$ を満たすモニックな多項式 $T, U$ が存在する.このとき $P (x) = T (x) U (x) P (x)$ となるので係数を比較して $T (x) = U (x) = 1$ .よって $P (x) = Q (x)$ .
(1)から $f$ の最小多項式は $f |_{W_{1}}$ の最小多項式と $f |_{W_{2}}$ の最小多項式の最小公倍元である. $f |_{W_{1}}$ , $f |_{W_{2}}$ は共に対角化可能だから最小多項式は共に重解をもたない.よって $f$ の最小多項式も同様である. $◻$

投稿日：2024年11月15日

更新日：2024年11月15日

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