0

院解16 京大H23 数学I 1 線形空間の和と最小多項式

19
0

なんやこれは...線型写像の響き!
「教えてTone Tone〜!」

  1. P1(x)P2(x)の最小公倍元をQ(x)とおく.Q(f)P1(x)で割り切れるからw1W1に対しQ(f)w1=0.同様にw2W2に対しQ(f)w2=0.W=W1+W2だからQ(f)=0.よってQ(f)の最小多項式P(x)Q(x)で割り切れる.
    次にP(x)P1(x)で割った商,余りをそれぞれS(x),R(x)とするとP(x)=P1(x)S(x)+R(x).するとW1上でP(f)=R(f).さらにW1上でP(f)0なのでW1上でR(f)0.P1(x)は最小多項式でRの次数はそれより小さいからR(x)=0.よってP1(x)P(x)を割り切る.同様にP2(x)P(x)を割り切るのでP(x)Q(x)で割り切れる.
    以上からP(x)=T(x)Q(x),Q(x)=U(x)P(x)を満たすモニックな多項式T,Uが存在する.このときP(x)=T(x)U(x)P(x)となるので係数を比較してT(x)=U(x)=1.よってP(x)=Q(x).
  2. (1)からfの最小多項式はf|W1の最小多項式とf|W2の最小多項式の最小公倍元である.f|W1,f|W2は共に対角化可能だから最小多項式は共に重解をもたない.よってfの最小多項式も同様である.
投稿日:20241115
更新日:20241115
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

qq_pp
qq_pp
6
3448

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中