最短！！特殊相対論

特殊相対論の試験勉強の一環としてまとめました！！ゴールは相対論的運動方程式を導出することです！！

ローレンツ変換登場！！

$S$という座標系に対して，$S'$という座標系が$x$方向に等速度$V$で動きます。（図を見る）
$S$系の座標から$S'$系の座標へ変換する式は，普通に考えたら
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} t' = t \\ x' = x-Vt \\ y' = y \\ z' = z \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
（ガリレイ変換）ですが，特殊相対論では
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} ct' = \gamma(ct-\beta x) \\ x' = \gamma(x-\beta ct) \\ y' = y \\ z' = z \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
（ローレンツ変換）です！！　ただし，$c$は光速，$\beta = \frac{V}{c}$，$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$です。

速度の合成！！

$S''$系が$S'$に対して速度$W$で動きます。方向は$x$方向です。では$S''$系の$S$系に対する速度$U$を求めましょう！！
\begin{align} \begin{pmatrix}ct'' \\ x''\end{pmatrix} &= \gamma_W\begin{pmatrix}1 & -\beta_W \\ -\beta_W & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}ct' \\ x'\end{pmatrix} \\ &= \gamma_W \gamma_V\begin{pmatrix}1 & -\beta_W \\ -\beta_W & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -\beta_V \\ -\beta_V & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}ct \\ x\end{pmatrix} \\ &= \gamma_W \gamma_V(1+\beta_W \beta_V)\begin{pmatrix}1 & -\frac{\beta_W+\beta_V}{1+\beta_W \beta_V} \\ -\frac{\beta_W+\beta_V}{1+\beta_W \beta_V} & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}ct \\ x\end{pmatrix} \end{align}
ここで
$$\gamma_U = \gamma_W \gamma_V(1+\beta_W \beta_V)，\beta_U = \frac{\beta_W+\beta_V}{1+\beta_W \beta_V} \tag{1}$$
としてよければ
$$\begin{pmatrix}ct'' \\ x''\end{pmatrix} = \gamma_U \begin{pmatrix}1 & -\beta_U \\ -\beta_U & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}ct \\ x\end{pmatrix}$$
となり一件落着です。で，$(1)$はちゃんと$\gamma_U = \frac{1}{\sqrt{1-\beta_U^2}}$になってるの？　なってます！！（計算略）

答え
宇宙船と動きをともにするような$S'$系をとって，飛んでくる光を$S''$系とみなすと，$V=c/2$，$U=-c$です。これを$(1)$の第２式に代入して
$$-1 = \frac{\beta_W + 1/2}{1+\beta_W /2}$$
より，$\beta_W=-1$つまり$W=-c$を得ます。

不変量！！

$-(ct')^2+x'^2 = -(ct)^2+x^2$です（計算略）。つまり$-(ct)^2+x^2$はローレンツ変換に関して不変量です。これを行列で表現します。
$\bar{x}=\begin{pmatrix}ct \\ x\end{pmatrix}$，$\Lambda=\gamma\begin{pmatrix}1 & -\beta \\ -\beta & 1\end{pmatrix}$とすると
$$\bar{x}'=\begin{pmatrix}ct' \\ x'\end{pmatrix}=\gamma\begin{pmatrix}1 & -\beta \\ -\beta & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}ct \\ x\end{pmatrix}=\Lambda\bar{x}$$
です。$\eta=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$とすると
\begin{align} -(ct)^2+x^2 &= \begin{pmatrix}ct & x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}ct \\ x\end{pmatrix} \\ &= \bar{x}^T \eta \bar{x} \tag{2} \end{align}
\begin{align} -(ct')^2+x'^2 &= \bar{x}'^T \eta \bar{x}' \\ &= \bar{x}^T\Lambda^T\eta\Lambda\bar{x} \tag{3} \end{align}
$(2)$と$(3)$を見比べて，$\eta=\Lambda^T\eta\Lambda$を得ます。

答え
できたてほやほやの式$\eta=\Lambda^T\eta\Lambda$の両辺に左から$\eta$をかけて，$I=\eta\Lambda^T\eta\Lambda$です。ここでさらに両辺に右から$\Lambda^{-1}$をかけて，$\Lambda^{-1}=\eta\Lambda^T\eta$です。計算すると$\Lambda^{-1}=\gamma\begin{pmatrix}1 & \beta \\ \beta & 1\end{pmatrix}$となります。

固有時間$\cdots$

物理的意味がわからないので式だけ書きます！！すみません！！

両辺を$-(cdt)^2$で割って
\begin{align} \left(\frac{d\tau}{dt}\right)^2 &= 1-\frac{\boldsymbol{v}^2}{c^2} \\ \frac{d\tau}{dt} &= \sqrt{1-\frac{\boldsymbol{v}^2}{c^2}} = \frac{1}{\gamma_v} \end{align}
です。

四元ベクトル！！

これから，名前の頭に「四元」と付くものが登場します。それらは
・$\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}$というよりも$\bar{x}=\begin{pmatrix}ct \\ x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ct \\ \boldsymbol{x}\end{pmatrix}$から計算されるもので，
・微分するときは$\frac{d}{dt}$ではなく$\frac{d}{d\tau}$を使います。

四元速度から定数が作れます。作りますね。
\begin{align} \bar{u}^T\eta\bar{u} &= \gamma_v^2\begin{pmatrix}c & \boldsymbol{v}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c \\ \boldsymbol{v}\end{pmatrix} \\ &= \gamma_v^2(-c^2+\boldsymbol{v}^2) \\ &= -\gamma_v^2c^2\left(1-\frac{\boldsymbol{v}^2}{c^2}\right) \\ &= -c^2 \end{align}
この結果はなんとなく大事そうなので囲っておきます！！

さっき定理として掲げた式の両辺に$m^2$をかけて
$$\bar{p}^T\eta\bar{p}=-m^2c^2 \tag{4}$$
です。そして
\begin{align} \bar{p}^T\eta\bar{p} &= \begin{pmatrix}\gamma_v mc & \gamma_v \boldsymbol{p}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\gamma_v mc \\ \gamma_v \boldsymbol{p}\end{pmatrix} \\ &= -(\gamma_v mc)^2+(\gamma_v \boldsymbol{p})^2 \end{align}
なので結局
\begin{align} -(\gamma_v mc)^2+(\gamma_v \boldsymbol{p})^2 &= -m^2c^2 \\ \gamma_v mc &= \sqrt{m^2c^2+(\gamma_v \boldsymbol{p})^2} \\ \gamma_v mc^2 &= mc^2\sqrt{1+\left(\frac{\gamma_v \boldsymbol{p}}{mc}\right)^2} \\ &\simeq mc^2\left(1+\frac{1}{2}\left(\frac{\gamma_v \boldsymbol{p}}{mc}\right)^2\right) \\ &= mc^2+\frac{(\gamma_v \boldsymbol{p})^2}{2m} \end{align}

です。
右辺第２項は相対論的運動エネルギー$K_r$です。
右辺第１項は静止エネルギーといいます。
左辺$\gamma_v mc^2$は相対論的エネルギー$E_r$といいます。

$(4)$の両辺を$\tau$で微分して
\begin{align} 0 &= \left(\frac{d\bar{p}}{d\tau}\right)^T\eta\bar{p}+\bar{p}^T\eta\frac{d\bar{p}}{d\tau} \\ &= \bar{f}^T\eta\bar{p}+\bar{p}^T\eta\bar{f} \\ &= \begin{pmatrix}\frac{\gamma_v}{c}\frac{dE_r}{dt} & \gamma_v^2 \boldsymbol{F}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{E_r}{c} \\ \gamma_v\boldsymbol{p}\end{pmatrix}+\cdots \\ &= -\frac{E_r\gamma_v}{c^2}\frac{dE_r}{dt}+\gamma_v^3\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{p}+\cdots \end{align}
右辺の後半を省略していますが，結果は前半と同じになります。よって
\begin{align} 0 &= -\frac{E_r\gamma_v}{c^2}\frac{dE_r}{dt}+\gamma_v^3\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{p} \\ \frac{dE_r}{dt} &= \frac{c^2\gamma_v^2}{E_r}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{p} \\ &= \frac{\gamma_v}{m}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{p} \\ &= \gamma_v m\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{v} \end{align}
です。

相対論的運動方程式！！

相対論さん的には，運動エネルギーは$K_r=\frac{(\gamma_v \boldsymbol{p})^2}{2m}$で与えられるそうですので，相対論的運動量$\boldsymbol{p}_r=\gamma_v \boldsymbol{p}$を導入すれば$K_r=\frac{\boldsymbol{p}_r^2}{2m}$ってな具合に，見た目にいい感じになります。さすれば相対論的運動方程式は
\begin{align} \boldsymbol{F}_r &= \frac{d\boldsymbol{p}_r}{dt} \\ &= \frac{d\gamma_v}{dt}\boldsymbol{p}+\gamma_v\frac{d\boldsymbol{p}}{dt} \\ &= \frac{1}{mc^2}\frac{dE_r}{dt}\boldsymbol{p}+\gamma_v m\boldsymbol{a} \\ &= \frac{\gamma_v m}{c^2}(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{v})\boldsymbol{v}+\gamma_v m\boldsymbol{a} \end{align}
です！！！！！！！！！