ウィルソンの定理の証明と解説
定理
私の証明と似ています。
一番肝心の難しい箇所で
物凄く都合のいい考え方をして、
いきなり証明が
「はい、おしまい」
と終わってしまいます。
ウィルソンの定理
を素数とする。この時、
が成り立つ。しかも、逆も成り立つ。つまり、この式が成り立てばは素数である。
証明
補題
まず、線形合同式
は、
が互いに素の時、を法として一意に解を持ちます。
これは実は、ガロア理論の5次方程式の解が作る巡回群と似ています。こちらは和に関してですが。
証明
かつとなる
と置きます。量化は各自してください。
余りを求めるのに、引き算と足し算を使います。
まずこうなります。
つまり、です。
これが
のようになり、以下の全ての奇数を経て初めに戻ってくればいいですね。
そのためには、から数を引いて、ができ、を引いてができ、一周する前に同じ数が現れなければいいです。
ちょっとやってみましょうか。
実験とその結果、証明
からを引くとができ、そこからを引くとができ、割り切れます。
を引くと、ができます。
ができて、今度はができます。
一周目でができれば、
余りで、
余りです。
つまりをで割り、余りがでもでも、引き算で全ての数ができます。
余りで、 余りです。商は1ですが、どうでもいいです。
つまり、こういうことです。
余りと割る数の2つの数が
互いに素になると、ユークリッドの互除法により余りでを作ることができます。
余りには初めの数も含まれ、
初めの数から、引く数を引いて、がと互いに素であればいいです。とが互いに素であれば、とも互いに素です。
一意に存在するかどうかですが、割られる数を更に足したり引いたりしてしまうと、割られる数を割る数個足したり引いたりしないと、余りが変わってしまいます。
従って一意に存在します。
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再掲
線形合同式
は、
が互いに素の時、を法として一意に解を持ちます。
同じことを何度も繰り返すようですが、
だと
つまり、が素数なのに、またはがの約数であることになります。
みたいな素数が、とかで割り切れることになります。
これは矛盾です。
つまり、
です。
一番大事な箇所
あっという間に終わります。
とします。
線形合同式
は、
が互いに素の時、を法として一意に解を持ちます。(三回目)
つまり、の時、
それと組になるが、
の範囲に、ただ1つ存在します。
この時、を法としているので、です。
一意に定まるので、に対して1つのが定まり、をとした時に、が
の範囲の、一意の解として定まります。
に対してもに対しても、1つが取れ、に近い大きな側の数も、より小さな数のが取れます。
ただし、(が)に対して1つあるとしか言っていないので、より小さな数が、より大きな数と(との)組として存在する訳ではありません。複雑怪奇な組み合わせでも、一意に存在することから余らないことが言えるだけです。
仕上げ
の組を全て掛けます。
進法の各桁をで割るような感じで、いくら掛けても余りがなら余りはです。
も掛けて、最後にを掛けます。
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