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ウィルソンの定理の証明と解説

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ウィルソンの定理の証明と解説

定理

私の証明と似ています。
一番肝心の難しい箇所で
物凄く都合のいい考え方をして、
いきなり証明が
「はい、おしまい」
と終わってしまいます。

ウィルソンの定理

pを素数とする。この時、
(p1)!1(modp)
が成り立つ。しかも、逆も成り立つ。つまり、この式が成り立てばpは素数である。

証明

補題

まず、線形合同式
ax1(modp)は、
a,pが互いに素の時、pを法として一意に解を持ちます。
これは実は、ガロア理論の5次方程式の解が作る巡回群と似ています。こちらは和に関してですが。

証明

a<pかつap12となる
a=p12nと置きます。量化は各自してください。
余りを求めるのに、引き算と足し算を使います。
pa=b=p+12+n
まずこうなります。
ba=2n+1
つまり、p2a=2n+1です。
これが
p(2n+1)=2m+1
p(2m+1)=2k+1
のようになり、p以下の全ての奇数を経て初めに戻ってくればいいですね。
そのためには、pから数を引いて、aができ、aを引いてbができ、一周する前に同じ数が現れなければいいです。
ちょっとやってみましょうか。

実験とその結果、証明

11から2を引くと1ができ、そこから2を引くと10ができ、割り切れます。
3を引くと、2ができます。
10ができて、今度は4ができます。
一周目で2ができれば、
11/3=3余り2で、
22/3=6余り4です。
つまり113で割り、余りが1でも2でも、引き算で全ての数ができます。
11/4=2余り3で、64=2 (2+3)/4=余り1です。商は1ですが、どうでもいいです。
つまり、こういうことです。
余りと割る数の2つの数が
互いに素になると、ユークリッドの互除法により余りで1を作ることができます。
余りには初めの数も含まれ、
初めの数aから、引く数bを引いて、c=abaと互いに素であればいいです。abが互いに素であれば、acも互いに素です。
一意に存在するかどうかですが、割られる数を更に足したり引いたりしてしまうと、割られる数dを割る数e個足したり引いたりしないと、余りが変わってしまいます。
従って一意に存在します。

再掲

線形合同式
ax1(modp)は、
a,pが互いに素の時、pを法として一意に解を持ちます。
同じことを何度も繰り返すようですが、
axだと
a2ax1
a210
(a1)(a+1)0
a1,a+10(modp)
つまり、pが素数なのに、a1またはa+1pの約数であることになります。
11みたいな素数が、4とか5で割り切れることになります。
これは矛盾です。
つまり、
axです。

一番大事な箇所

あっという間に終わります。
a=2,3,p2とします。

線形合同式
ax1(modp)は、
a,pが互いに素の時、pを法として一意に解を持ちます。(三回目)
つまり、a=2の時、
それと組になるxが、
3xp2
の範囲に、ただ1つ存在します。
この時、pを法としているので、x<pです。
一意に定まるので、2に対して1つのxが定まり、xaとした時に、x=2
2x=2p2
の範囲の、一意の解として定まります。
3に対しても4に対しても、1つxが取れ、pに近い大きな側の数も、より小さな数のxが取れます。
ただし、(xが)aに対して1つあるとしか言っていないので、より小さな数が、より大きな数と(axの)組として存在する訳ではありません。複雑怪奇な組み合わせでも、一意に存在することから余らないことが言えるだけです。

仕上げ

axの組を全て掛けます。
8進法の各桁を7で割るような感じで、いくら掛けても余りが1なら余りは1です。
1も掛けて、最後にp1を掛けます。
(p2)!(p1)1(p1)1
(p1)!1(modp)

投稿日:202356
更新日:2023126
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  1. ウィルソンの定理の証明と解説
  2. 定理
  3. 証明
  4. 再掲
  5. 一番大事な箇所
  6. 仕上げ