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Commutative hyperoperationsの性質

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前書き

Commutative hyperoperationsという概念がある。
(長いので以降CHと呼ぶ。)
和訳すると「可換ハイパー演算」であり、
1915年Albert A. Bennettの論文[1]において考案された。
加算 $+$ と乗算 $\times$ が
$x \times y = e^{\log (x) + \log (y)}$
という関係を持つことを一般化し、
$μ_{0} (x, y) = x + y, μ_{n + 1} (x, y) = e^{μ (\log (x), \log (y))}$
という漸化式で定義される2項演算 $μ_{n}$ の列がCHである。
(この式は元の論文とは違う表記をしている。)
似たような概念として、
$x [0] y = x + y, x [n + 1] y = \underset{y copies of x}{\underset{⏟}{x [n] x [n] \dots [n] x}}$
のような式で定義される2項演算の列、the hyperoperationsがある。
"Commutative hyperoperations"という命名は恐らくこれと比較してのものだと思う。
CHを定義する式から明らかに全ての項が可換である。
最近、 Tetration Forum のとあるスレッドを閲覧していた際にこの概念を知ったのだけど、
"CHの一般項は $μ_{n} (x, y) = \exp^{n} (\log^{n} (x) + \log^{n} (y))$ で、
さらに全ての隣接する2項は分配法則をもつ"という書き込み[2]があったが、
調べてもその証明が出てこなかったので自分で証明しようと思う。

表記の整理

前書きで $\exp$ という関数が出てきたがこれは指数関数で $\exp (x) = e^{x}$ である。
定義域などの細かいことを気にしないなら $\exp^{- 1} (x) = \log (x)$ となる。
また関数の右上に $n$ が乗っているがこれは関数の反復を表し
$f^{n} (x) = \underset{n copies of f}{\underset{⏟}{f \circ f \circ \dots \circ f}} (x) = \underset{n copies of f}{\underset{⏟}{f (f (\dots (f}} (x)) \dots)), ただし f^{0} (x) = x$
である。
CHの一般項の式で $\log$ の反復 $\log \circ \log \circ \dots \circ \log (x)$ が出現するがそもそもこのとき $x$ の定義域はどうすれば良いのだろうか。
力学系の相図を知っているのなら $x - y$ 平面上に $y = x$ と $y = \log (x)$ を描いて試して見てほしいが、
どんな実数 $x$ でも $\log$ を重ねがけするごとにどんどん値は小さくなっていき、
最終的に負になり値を(実数の範囲で)定義できなくなる。

ここで $\log$ は狭義単調増加だから
任意の $n \in N$ について、 $\log^{n}$ は狭義単調増加。
よって任意の $n \in N$ , $a \in R$ について
$x > \exp^{n} (a) ⟺ \log^{n} (x) > \log^{n} (\exp^{n} (a)) = a .$
となる。

自然数 $n$ について、実数の部分集合 $S_{n}$ を
$S_{n} := {\begin{cases} R & if n = 0 \\ {x \in R ∣ x > \exp^{n - 1} (0)} & otherwise \end{cases}$
と定める。
列 ${μ_{n}}_{n = 0}^{\infty}$ を漸化式
$μ_{0} (x, y) = x + y, μ_{n + 1} (x, y) = \exp (μ (\log (x), \log (y)))$
によって定義される2項演算
$μ_{n} : S_{n}^{2} \to R$
の無限列とする。

種々の性質

列 ${μ_{n}}_{n = 0}^{\infty}$ の一般項は
$μ_{n} (x, y) = \exp^{n} (\log^{n} (x) + \log^{n} (y))$ .

$μ_{0} (x, y) = x + y = \exp^{0} (\log^{0} (x) + \log^{0} (y))$
であり $n = 0$ のとき与式は成り立つ。
次にある $n \in N$ について
$μ_{n} (x, y) = \exp^{n} (\log^{n} (x) + \log^{n} (y))$
を仮定する。
このとき
$\begin{array}{ll} μ_{n + 1} (x, y) & = \exp (μ_{n} (\log (x), \log (y))) \\ = \exp (\exp^{n} (\log^{n} (\log (x)) + \log^{n} (\log (y)))) \\ = \exp^{n + 1} (\log^{n + 1} (x) + \log^{n + 1} (y)) \end{array}$
数学的帰納法から題意は示された。

演算の閉性

任意の $m \geq n$ なる $m, n \in N$ に対して、
任意の $x, y \in S_{m}$ について
$μ_{n} (x, y) \in S_{m}$

定義1から $S_{n} \subset S_{m}$ であり、 $μ_{n} (x, y)$ が定義される。

$m = n = 0$ のとき:
加法 $+ = μ_{0}$ は実数 $R = S_{0}$ について閉じている。

$m = n \geq 1$ のとき:
命題1から
$μ_{n} (x, y) = \exp^{n} (\log^{n} (x) + \log^{n} (y)) .$
ここで $\log^{n} (x) + \log^{n} (y) \in R$ より $\exp (\log^{n} (x) + \log^{n} (y)) > 0$ .
ゆえに
$\exp^{n} (\log^{n} (x) + \log^{n} (y)) = \exp^{n - 1} (\exp (\log^{n} (x) + \log^{n} (y))) > \exp^{n - 1} (0) .$

$m > n$ のとき:
$x, y > \exp^{m - 1} (0)$ より
$\log^{n} (x), \log^{n} (y) > \exp^{m - n - 1} (0) \geq 0.$
ゆえに
$μ_{n} (x, y) = \exp^{n} (\log^{n} (x) + \log^{n} (y)) > \exp^{n} (\log^{n} (x)) > \exp^{n} (\exp^{m - n - 1} (0)) = \exp^{m - 1} (0) .$

可換性

任意の $n \in N$ に対して、
任意の $x, y \in S_{n}$ について
$μ_{n} (x, y) = μ_{n} (y, z) .$

自明である。

結合性

任意の $n \in N$ に対して、
任意の $x, y, z \in S_{n}$ について
$μ_{n} (x, μ_{n} (y, z)) = μ_{n} (μ_{n} (x, y), z) .$

$\begin{array}{lll} μ_{n} (x, μ_{n} (y, z)) & = \exp^{n} (\log^{n} (x) + \log^{n} (\exp^{n} (\log^{n} (y) + \log^{n} (z)))) & 命題1による \\ = \exp^{n} (\log^{n} (x) + \log^{n} (y) + \log^{n} (z)) & \exp (\log (x)) = x による \\ = \exp^{n} (\log^{n} (\exp^{n} (\log^{n} (x) + \log^{n} (y))) + \log^{n} (z)) \\ = μ_{n} (μ_{n} (x, y), z) \end{array}$

分配性

任意の $n \in N$ に対して、
任意の $x, y, z \in S_{n + 1}$ について
$μ_{n + 1} (x, μ_{n} (y, z)) = μ_{n} (μ_{n + 1} (x, y), μ_{n + 1} (x, z)) .$

$\begin{array}{ll} μ_{n + 1} (x, μ_{n} (y, z)) \\ = \exp^{n + 1} (\log^{n + 1} (x) + \log^{n + 1} (μ_{n} (y, z))) \\ = \exp^{n} (\exp (\log^{n + 1} (x) + \log^{n + 1} (μ_{n} (y, z)))) \\ = \exp^{n} (\exp (\log^{n + 1} (x)) \times \exp (\log^{n + 1} (μ_{n} (y, z)))) & ※ \\ = \exp^{n} (\log^{n} (x) \times \log^{n} (μ_{n} (y, z))) \\ = \exp^{n} (\log^{n} (x) \times \log^{n} (\exp^{n} (\log^{n} (y) + \log^{n} (z)))) \\ = \exp^{n} (\log^{n} (x) \times (\log^{n} (y) + \log^{n} (z))) \\ = \exp^{n} (\log^{n} (x) \times \log^{n} (y) + \log^{n} (x) \times \log^{n} (z)) \\ = \exp^{n} (\exp (\log^{n + 1} (x)) \times \exp (\log^{n + 1} (y)) + \exp (\log^{n + 1} (x)) \times \exp (\log^{n + 1} (z))) \\ = \exp^{n} (\exp (\log^{n + 1} (x) + \log^{n + 1} (y)) + \exp (\log^{n + 1} (x) + \log^{n + 1} (z))) & ※ \\ = \exp^{n} (\log^{n} (\exp^{n + 1} (\log^{n + 1} (x) + \log^{n + 1} (y))) + \log^{n} (\exp^{n + 1} (\log^{n + 1} (x) + \log^{n + 1} (z)))) \\ = μ_{n} (μ_{n + 1} (x, y), μ_{n + 1} (x, z)) \end{array}$
※指数法則による

単位元の存在

任意の $n \in N$ に対して、
任意の $x \in S_{n}$ について
ある $e_{n} \in S_{n}$ が存在して、
$μ_{n} (x, e_{n}) = x .$

$n = 0$ のとき:
加法 $+ = μ_{0}$ は単位元 $0 \in R = S_{0}$ をもつ。

$n \geq 1$ のとき:
$\exp^{n} (0) > \exp^{n - 1} (0)$ .
ゆえに任意の $n \in N$ に対して、
任意の $x \in S_{n}$ について
ある $e_{n} = \exp^{n} (0) \in S_{n}$ が存在して、
$μ_{n} (x, e_{n}) = \exp^{n} (\log^{n} (x) + \log^{n} (\exp^{n} (0))) = \exp^{n} (\log^{n} (x) + 0) = \exp^{n} (\log^{n} (x)) = x .$

逆元の存在

任意の $n \in N$ に対して、
任意の $x \in S_{n}$ について
ある $x_{n}^{- 1} \in S_{n}$ が存在して、
$μ_{n} (x, x_{n}^{- 1}) = e_{n}$

$n = 0$ のとき:
加法 $+ = μ_{0}$ は逆元 $- x \in R = S_{0}$ をもつ。

$n \geq 1$ のとき:
$- \log^{n} (x) \in R$ より $\exp (- \log^{n} (x)) > 0$ .
ゆえに
$\exp^{n} (- \log^{n} (x)) = \exp^{n - 1} (\exp (- \log^{n} (x))) > \exp^{n - 1} (0) .$
したがって
任意の $n \in N$ に対して、
任意の $x \in S_{n}$ について
ある $x_{n}^{- 1} = \exp^{n} (- \log^{n} (x)) \in S_{n}$ が存在して、
$\begin{array}{l} μ_{n} (x, x_{n}^{- 1}) = \exp^{n} (\log^{n} (x) + \log^{n} (x_{n}^{- 1})) = \exp^{n} (\log^{n} (x) + \log^{n} (\exp^{n} (- \log^{n} (x)))) \\ = \exp^{n} (\log^{n} (x) - \log^{n} (x)) = \exp^{n} (0) = e_{n} \end{array}$

以上から任意の $n \in N$ について $(S_{n}, μ_{n})$ は可換群。
単位元 $e_{n}$ , 逆元 $x_{n}^{- 1}$ は一意に定まるが、
任意の $n \in N$ について $e_{n} = e x p^{n} (0) \notin S_{n + 1}$ より
$(S_{n + 1}, μ_{n}, μ n + 1)$ は環を成さない。

CHの一般項の $\exp^{n} (\log^{n} (x) + \log^{n} (y))$ という形から、
拡張して両側無限列 ${μ_{n}}_{- \infty}^{\infty}$ を構成できるかもしれない。
またCHのこれらの性質は加算と乗算とべき乗の代数的な構造をもとに成り立っているので、
同じ性質をもつ2項演算を用いて新たなCHを構成できるかもしれないが、
それゆえに書いててあまり面白くないと感じたのでこれ以上自分でCHについて書くことはないと思う。