Commutative hyperoperationsという概念がある。
(長いので以降CHと呼ぶ。)
和訳すると「可換ハイパー演算」であり、
1915年Albert A. Bennettの論文[1]において考案された。
加算
という関係を持つことを一般化し、
という漸化式で定義される2項演算
(この式は元の論文とは違う表記をしている。)
似たような概念として、
のような式で定義される2項演算の列、the hyperoperationsがある。
"Commutative hyperoperations"という命名は恐らくこれと比較してのものだと思う。
CHを定義する式から明らかに全ての項が可換である。
最近、
Tetration Forum
のとあるスレッドを閲覧していた際にこの概念を知ったのだけど、
"CHの一般項は
さらに全ての隣接する2項は分配法則をもつ"という書き込み[2]があったが、
調べてもその証明が出てこなかったので自分で証明しようと思う。
前書きで
定義域などの細かいことを気にしないなら
また関数の右上に
である。
CHの一般項の式で
力学系の相図を知っているのなら
どんな実数
最終的に負になり値を(実数の範囲で)定義できなくなる。
ここで
任意の
よって任意の
となる。
自然数
と定める。
列
によって定義される2項演算
の無限列とする。
列
であり
次にある
を仮定する。
このとき
数学的帰納法から題意は示された。
任意の
任意の
定義1から
加法
命題1から
ここで
ゆえに
ゆえに
任意の
任意の
自明である。
任意の
任意の
任意の
任意の
※指数法則による
任意の
任意の
ある
加法
ゆえに任意の
任意の
ある
任意の
任意の
ある
加法
ゆえに
したがって
任意の
任意の
ある
以上から任意の
単位元
任意の
CHの一般項の
拡張して両側無限列
またCHのこれらの性質は加算と乗算とべき乗の代数的な構造をもとに成り立っているので、
同じ性質をもつ2項演算を用いて新たなCHを構成できるかもしれないが、
それゆえに書いててあまり面白くないと感じたのでこれ以上自分でCHについて書くことはないと思う。