指数関数によく似た級数が閉じた微分方程式を満たすこと
\begin{equation}
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{(n!)^2}
\end{equation}
を考えます.これが閉じた微分方程式を満たすことを示します.
$g(x) = f(e^x)$と置きます.これを$x$で二回微分すると,収束半径が無限大なので項別微分ができて,それぞれの項は
\begin{equation}
\dfrac{d^2}{dx^2} \dfrac{e^{nx}}{(n!)^2} = \dfrac{e^{nx}}{((n-1)!)^2}
\end{equation}
になります.従って
\begin{equation}
g''(x) = e^x\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{e^{(n-1)x}}{((n-1)!)^2} = e^x g(x)
\end{equation}
となります.$g'(x) = e^xf'(e^x),g''(x) = e^x f'(e^x) + e^{2x}f''(e^x)$などを使うと上の式は
\begin{equation}
e^xf'(e^x) + e^{2x}f''(e^x) = e^x f(e^x)
\end{equation}
となります.両辺を$e^x$で割り,$e^x = y$と置くと$f(y)$は閉じた形の微分方程式
\begin{equation}
f'(y) + y f''(y) = f(y)
\end{equation}
を満たすことが分かりました.
\begin{equation}
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{(n!)^k}
\end{equation}
のときも同様にすれば閉じた微分方程式が得られます.
