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今までの研究成果のまとめ(抜粋)

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今までの約数に関する研究で得られた式がそれなりの数になったので,重要だと思えるものをいくつか抜粋して以下に載せることにした.今後も増えていくと思う.良く知られたものもあるがとやかく言わないでほしい.

$$ \sigma _x(n) \geq n^x+(\sigma_0(n)-2) n^{\frac{x}{2}} +1 $$
が成り立つ.

$$ \prod_{d\vert n,d\gt 0}d^x=n^{\frac{\sigma_0(n)}{2}x} $$
が成り立つ.

自然数$m,n$と,$0$または$1$以上の実数$x$に対し以下が成り立つ.

$$ \sigma_x(m)\sigma_x(n)\geq \sigma_x(mn)\geq m^x\sigma_x(n) $$

自然数$n$$\sigma_1(n)$が互いに素であるとき,$n$$\dfrac{\sigma_1(n)}{n}$は一対一対応する.

実数$x$以下で最大の整数を$\lbrack x \rbrack$で表す.
$$ \sigma_0(n)\leq 2\lbrack \sqrt n \rbrack $$
が成り立ち,等号成立は$n=2,3,6,8,12,24$である.

不等式
$$ \log_n(\sigma_1(n)) \geq \sigma_0(n)^{\frac{1}{2\Omega(n)}}\ \ \ \ (n\gt 1) $$
の解は$n=2,4,8,16$である.

投稿日:20231113
更新日:322
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約数関数、数列関係の記事を中心に書いていきます。 記事の内容に間違いがあれば教えてくれるとありがたいです。

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