今までの研究成果のまとめ(抜粋)

$${\sigma }_x(n)\ge n^x+({\sigma }_0(n)-2)n^{\frac{x}{2}}+1$$
が成り立つ．

$$\prod _{d|n,d>0}{d}^x=n^{\frac{{\sigma }_0(n)}{2}x}$$
が成り立つ．

自然数$m,n$と，$0$または$1$以上の実数$x$に対し以下が成り立つ．

$${\sigma }_x(m){\sigma }_x(n)\ge {\sigma }_x(mn)\ge m^x{\sigma }_x(n)$$

自然数$n$と${\sigma }_1(n)$が互いに素であるとき，$n$と${\displaystyle \frac{{\sigma }_1(n)}{n}}$は一対一対応する．

実数$x$以下で最大の整数を$[x]$で表す．
$${\sigma }_0(n)\le 2[\sqrt{n}]$$
が成り立ち，等号成立は$n=2,3,6,8,12,24$である．

不等式
$${\log }_n({\sigma }_1(n))\ge {\sigma }_0(n{)}^{\frac{1}{2\mathrm{\Omega }(n)}}(n>1)$$
の解は$n=2,4,8,16$である．