メネラウスの定理とチェバの定理の一般化

直線$QR$と$BC$の交点を$P'$とすると、条件[i]は次のようになる。

1. 3点$P,Q,R$が一直線上にある。
   $\Leftrightarrow\ P$と$P'$が一致する。
   $\Leftrightarrow\ [B,C;P,K_a]=[B,C;P',K_a]$

以下、直線$k,BC,QR$が一点で交わるかどうかで場合分けする。

◇直線$k,BC,QR$が一点で交わるとき。
このとき$K_a$と$P'$が一致するので$\,[B,C;P',K_a]=1\,$である。…①
また、$K_a$を中心とする配景写像を考えると$\,[A,B;R,K_c]=[A,C;Q,K_b]\,$が成り立つ。…②
ここで複比の性質より$\,\displaystyle [A,C;Q,K_b]=\frac{1}{[C,A;Q,K_b]}\,$なので、②は
$\,[C,A;Q,K_b][A,B;R,K_c]=1\,$となる。…②'
①,②'より、条件[ii]は次のようになる。
\begin{align} \quad&\ [B,C;P,K_a][C,A;Q,K_b][A,B;R,K_c]=1 \\ &\Leftrightarrow\ [B,C;P,K_a]=1 \\ &\Leftrightarrow\ [B,C;P,K_a]=[B,C;P',K_a] \end{align}

◇直線$k,BC,QR$が一点で交わらないとき。
直線$k$と$QR$の交点を$O$とし、直線$OA$と$BC$の交点を$S$とおく。
$O$を中心とする配景写像により$\,[C,A;Q,K_b]=[C,S;P',K_a]\,$および$\,[A,B;R,K_c]=[S,B;P',K_a]\,$が成り立つ。…③,④
また、一直線上にある5点が作る3つの複比に関する恒等式により、$[B,C;P',K_a][C,S;P',K_a][S,B;P',K_a]=1$となる。…⑤
③,④,⑤より、条件[ii]は次のようになる。
\begin{align} \quad&\ [B,C;P,K_a][C,A;Q,K_b][A,B;R,K_c]=1 \\ &\Leftrightarrow\ [B,C;P,K_a][C,S;P',K_a][S,B;P',K_a]=1 \\ &\Leftrightarrow\ [B,C;P,K_a]\frac{1}{[B,C;P',K_a]}=1 \\ &\Leftrightarrow\ [B,C;P,K_a]=[B,C;P',K_a] \end{align}

◇◇よって、直線$k,BC,QR$が一点で交わるときも一点で交わらないときも、条件[i]と[ii]は同値であることがわかった。

基準点が$A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)$となる斉次座標系で考える。
直線$BC$の式は$\,x=0\,$，直線$CA$の式は$\,y=0\,$，直線$AB$の式は$\,z=0\,$となる。

直線$k$の式が$\,k_1x+k_2y+k_3z=0\,$であるとする。
直線$k$は点$A,B,C$を通らないので$\,k_1\neq0,\,k_2\neq0,\,k_3\neq0\,$である。
このとき、$K_a(0,k_3,-k_2),\,K_b(-k_3,0,k_1),\,K_c(k_2,-k_1,0)$となる。

点$P$は直線$BC$上にあるのでその座標は$(0,p_2,p_3)$と書ける。ただし$\,p_2\neq0,\,p_3\neq0\,$である。
点$Q$は直線$CA$上にあるのでその座標は$(q_1,0,q_3)$と書ける。ただし$\,q_1\neq0,\,q_3\neq0\,$である。
点$R$は直線$AB$上にあるのでその座標は$(r_1,r_2,0)$と書ける。ただし$\,r_1\neq0,\,r_2\neq0\,$である。

斉次座標による複比の計算により、
$\displaystyle [B,C;P,K_a]=\frac{p_3}{p_2}\cdot\frac{k_3}{-k_2},\quad[C,A;Q,K_b]=\frac{q_1}{q_3}\cdot\frac{k_1}{-k_3},\quad[A,B;R,K_c]=\frac{r_2}{r_1}\cdot\frac{k_2}{-k_1}$
となる。

ここで[i][ii]の条件を考えると次のようになる。

1. 3点$P,Q,R$が一直線上にある。
   $\Leftrightarrow\ \mdet{0&q_1&r_1\\p_2&0&r_2\\p_3&q_3&0}=0$
   $\Leftrightarrow\ p_2q_3r_1+p_3q_1r_2=0$
2. $[B,C;P,K_a][C,A;Q,K_b][A,B;R,K_c]=1$
   $\Leftrightarrow\ \displaystyle \frac{p_3}{p_2}\cdot\frac{k_3}{-k_2}\cdot\frac{q_1}{q_3}\cdot\frac{k_1}{-k_3}\cdot\frac{r_2}{r_1}\cdot\frac{k_2}{-k_1}=1$
   $\Leftrightarrow\ p_2q_3r_1+p_3q_1r_2=0$

よって[i]と[ii]は同値である。

tmの双対なので、双対原理により真である。

dtmにおける直線$l,m,n$をそれぞれ$AP,BQ,CR$にすれば[i]と[ii]が同値であることがわかる。
また、
$\displaystyle [AC,AB;AP,AD]=[AC,AB;AP,AD_a]=[C,B;P,D_a]=\frac{1}{[B,C;P,D_a]}$
であり、同様に
$\displaystyle [BA,BC;BQ,BD]=\frac{1}{[C,A;Q,D_b]},\quad [CB,CA;CR,CD]=\frac{1}{[A,B;R,D_c]}$
であるので、[ii]の式の両辺の逆数を取ることにより[iii]と同値であることがわかる。

直線$BQ$と$CR$の交点を$T$とし、直線$AT$と$BC,QR$の交点をそれぞれ$P^*,U$とする。
また、直線$QR$と$BC$の交点を$P'$とする。

$T$を中心とする配景写像を考えると$\,[B,C,P^*,P']=[Q,R;U,P']\,$が成り立つ。…Ⅰ
$A$を中心とする配景写像を考えると$\,[B,C,P^*,P']=[R,Q;U,P']\,$が成り立つ。…Ⅱ
複比の性質より$\,[Q,R;U,P'][R,Q;U,P']=1\,$なので、Ⅰ,Ⅱの辺々を掛け合わせると
$\,[B,C,P^*,P']^2=1\,$となる。
ここで、$P'$と$P^*$が一致することはないので$\,[B,C,P^*,P']\neq1\,$より$\,[B,C,P^*,P']=-1\,$である。…Ⅲ

次に、一直線上にある5点が作る3つの複比に関する恒等式により$[B,C,P^*,P'][B,C;P',K_a][B,C;K_a,P^*]=1$である。…Ⅳ
また、複比の性質より$[B,C;P^*,K_a][B,C;K_a,P^*]=1$となる。…Ⅴ
Ⅲ,Ⅳ,Ⅴより、$[B,C;P^*,K_a]=-[B,C;P',K_a]$が成り立つ。…Ⅵ

Ⅵより、条件[i]は次のようになる。

1. 3直線$AP,BQ,CR$が一点で交わる。
   $\Leftrightarrow\ AP$と$AP^*$が一致する。
   $\Leftrightarrow\ P$と$P^*$が一致する。
   $\Leftrightarrow\ [B,C;P,K_a]=[B,C;P^*,K_a]$
   $\Leftrightarrow\ [B,C;P,K_a]=-[B,C;P',K_a]$

以下、直線$k,BC,QR$が一点で交わるかどうかで場合分けする。

◇直線$k,BC,QR$が一点で交わるとき。
このとき$K_a$と$P'$が一致するので$\,[B,C;P',K_a]=1\,$である。…①
また、$K_a$を中心とする配景写像を考えると$\,[A,B;R,K_c]=[A,C;Q,K_b]\,$が成り立つ。…②
ここで複比の性質より$\,\displaystyle [A,C;Q,K_b]=\frac{1}{[C,A;Q,K_b]}\,$なので、②は
$\,[C,A;Q,K_b][A,B;R,K_c]=1\,$となる。…②'
①,②'より、条件[ii]は次のようになる。
\begin{align} \quad&\ [B,C;P,K_a][C,A;Q,K_b][A,B;R,K_c]=-1 \\ &\Leftrightarrow\ [B,C;P,K_a]=-1 \\ &\Leftrightarrow\ [B,C;P,K_a]=-[B,C;P',K_a] \end{align}

◇直線$k,BC,QR$が一点で交わらないとき。
直線$k$と$QR$の交点を$O$とし、直線$OA$と$BC$の交点を$S$とおく。
$O$を中心とする配景写像により$\,[C,A;Q,K_b]=[C,S;P',K_a]\,$および$\,[A,B;R,K_c]=[S,B;P',K_a]\,$が成り立つ。…③,④
また、一直線上にある5点が作る3つの複比に関する恒等式により、$[B,C;P',K_a][C,S;P',K_a][S,B;P',K_a]=1$となる。…⑤
③,④,⑤より、条件[ii]は次のようになる。
\begin{align} \quad&\ [B,C;P,K_a][C,A;Q,K_b][A,B;R,K_c]=-1 \\ &\Leftrightarrow\ [B,C;P,K_a][C,S;P',K_a][S,B;P',K_a]=-1 \\ &\Leftrightarrow\ [B,C;P,K_a]\frac{1}{[B,C;P',K_a]}=-1 \\ &\Leftrightarrow\ [B,C;P,K_a]=-[B,C;P',K_a] \end{align}

◇◇よって、直線$k,BC,QR$が一点で交わるときも一点で交わらないときも、条件[i]と[ii]は同値であることがわかった。

基準点が$A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)$となる斉次座標系で考える。
直線$BC$の式は$\,x=0\,$，直線$CA$の式は$\,y=0\,$，直線$AB$の式は$\,z=0\,$となる。

直線$k$の式が$\,k_1x+k_2y+k_3z=0\,$であるとする。
直線$k$は点$A,B,C$を通らないので$\,k_1\neq0,\,k_2\neq0,\,k_3\neq0\,$である。
このとき、$K_a(0,k_3,-k_2),\,K_b(-k_3,0,k_1),\,K_c(k_2,-k_1,0)$となる。

点$P$は直線$BC$上にあるのでその座標は$(0,p_2,p_3)$と書ける。ただし$\,p_2\neq0,\,p_3\neq0\,$である。
点$Q$は直線$CA$上にあるのでその座標は$(q_1,0,q_3)$と書ける。ただし$\,q_1\neq0,\,q_3\neq0\,$である。
点$R$は直線$AB$上にあるのでその座標は$(r_1,r_2,0)$と書ける。ただし$\,r_1\neq0,\,r_2\neq0\,$である。

直線$AP$の式は$\,p_3y-p_2z=0\,$となり、直線$BQ$の式は$\,q_1z-q_3x=0\,$となり、直線$CR$の式は$\,r_2x-r_1y=0\,$となる。

斉次座標による複比の計算により、
$\displaystyle [B,C;P,K_a]=\frac{p_3}{p_2}\cdot\frac{k_3}{-k_2},\quad[C,A;Q,K_b]=\frac{q_1}{q_3}\cdot\frac{k_1}{-k_3},\quad[A,B;R,K_c]=\frac{r_2}{r_1}\cdot\frac{k_2}{-k_1}$
となる。

ここで[i][ii]の条件を考えると次のようになる。

1. 3直線$AP,BQ,CR$が一点で交わる。
   $\Leftrightarrow\ \mdet{0&p_3&-p_2\\-q_3&0&q_1\\r_2&-r_1&0}=0$
   $\Leftrightarrow\ -p_2q_3r_1+p_3q_1r_2=0$
2. $[B,C;P,K_a][C,A;Q,K_b][A,B;R,K_c]=-1$
   $\Leftrightarrow\ \displaystyle \frac{p_3}{p_2}\cdot\frac{k_3}{-k_2}\cdot\frac{q_1}{q_3}\cdot\frac{k_1}{-k_3}\cdot\frac{r_2}{r_1}\cdot\frac{k_2}{-k_1}=-1$
   $\Leftrightarrow\ -p_2q_3r_1+p_3q_1r_2=0$

よって[i]と[ii]は同値である。

tcの双対なので、双対原理により真である。

dtcにおける直線$l,m,n$をそれぞれ$AP,BQ,CR$にすれば[i]と[ii]が同値であることがわかる。
また、
$\displaystyle [AC,AB;AP,AD]=[AC,AB;AP,AD_a]=[C,B;P,D_a]=\frac{1}{[B,C;P,D_a]}$
であり、同様に
$\displaystyle [BA,BC;BQ,BD]=\frac{1}{[C,A;Q,D_b]},\quad [CB,CA;CR,CD]=\frac{1}{[A,B;R,D_c]}$
であるので、[ii]の式の両辺の逆数を取ることにより[iii]と同値であることがわかる。